数学

2021.04.13

理数の散策路
数学

解析学

テイラー展開とは
関数をある点における導関数の値を用いて多項式で近似する方法、マクローリン展開、初等関数の級数展開、収束半径
共変微分とは
曲線座標においてテンソルとなる微分、テンソルの条件、反変微分はテンソルではない、共変微分はテンソルである
変分法とは
汎関数が極値となるための関数を求める手法、オイラーの微分方程式、複数変数の場合、複数関数の場合、高階微分の場合
ローラン展開とは
負のべき数にも拡張した級数展開、テイラー展開、複素関数の表示が可能、不正則な点周りの展開が可能、ローラン展開を導く
ラグランジュ乗数法とは
制約条件下で関数の停留点を求める手法、等式制約、不等式制約、ラグランジュ関数、カルーシュ･クーン･タッカー条件

代数学

リー群とは
連続的な対称性を数学的に表現するための滑らかな多様体、リー代数、特殊直交群、ローレンツ群、ユニタリ群、特殊ユニタリ群
群とは
半群、可換群、部分群、置換群（対称群）、巡回群、直積群、直交群、回転群、点群、空間群、ユニタリ群、特殊ユニタリ群
中国の剰余定理とは
整数の剰余に関する定理、中国の算術書「孫子算経」に由来、ユークリッド互除法
合同式とは
割り算の余りが等しいことを表す数式、合同式の性質、剰余類、反射律、対称律、推移律
行列式とは
置換と互換、簡単な行列式、上三角行列の行列式、転置行列の行列式、多重線形性、交換性、行列式の積の分解、ヤコビの公式

幾何学

多様体とは
位相多様体、アトラス、可微分多様体、接ベクトル空間、座標近傍の基底、座標変換、はめ込み、埋め込み、微分形式、外微分
直交曲線座標とは
座標変換の不変量、計量の定義、直交条件、微小体積、ベクトルの微分、勾配、分散、回転、ラプラシアン、球座標、円筒座標
リッチテンソルとは
微小球の体積の平坦空間に対する変化を表す曲率、リーマン曲率テンソルの縮約、対称性、スカラー曲率、ビアンキの関係式
リーマン曲率テンソルとは
空間の曲率を表すテンソル、平らな空間の場合は０、共変微分、リーマン曲率テンソルの導出、対称性
チェバの定理とは
三角形の３つの頂点から対辺に引いた３本の線分が１点で交わるための条件を示す定理、内角による表現

統計学

相関分析とは
２つのデータ群の関係性の強さを評価する分析手法、相関係数、母相関係数、ｒ分布、ｔ分布、相関分析の手順、検定と推定
分散分析とは
データ集合の間の差異が誤差範囲かどうかを判定、データ構造式、総平方和、グループ間平方和、誤差平方和、分散、統計検定量
大数の法則とは
試行回数を増やすと標本平均が母平均に収束する、大数の強法則、大数の弱法則、チェビシェフの不等式、マルコフの不等式
二項分布とは
ベルヌーイ試行、製品の不良率が従う分布、二項分布の期待値を導く、二項分布の分散を導く、統計量、正規近似
確率と統計（高校数学）
分散、標準偏差、相関関係、個数定理、和の法則、積の法則、順列、組合せ、期待値、二項分布、正規分布、標本平均

論理・基礎論

命題論理とは
命題・論理式、論理記号、論理法則、推論規則、ド・モルガンの法則、ヒルベルト公理系、ルカシェヴィチの公理系、背理法
初等数学の公式
高次方程式、恒等式と不等式、数列、数学的帰納法、２次不等式、逆関数と合成関数、分数関数、無理関数、複素数、極限
チャーチ・チューリングのテーゼとは
直感的な計算可能性と数学的に厳密定義された計算可能性が等価であるという主張、チューリングマシン、計算モデル
チューリングマシンとは
計算を行うための基本的な機能が定義された仮想的な装置、制御部（ヘッド）、記憶部（テープ）、万能チューリングマシン
原始再帰関数とは
３つの基本関数から合成と原始再帰の操作で組み立てた有限手順で計算できる関数、ゲーデル数、表現可能、原始再帰述語

特殊関数・他

ゾンマーフェルト展開とは
低温領域におけるフェルミ粒子系の積分を近似する方法、フェルミ・ディラック分布、物理量の計算、ゾンマーフェルト展開の導出
エルミート多項式とは
エルミート多項式の母関数、エルミート多項式の一般項、エルミート微分方程式、直交条件、諸公式の導出
ルジャンドル陪関数とは
ルジャンドル陪微分方程式の解、ルジャンドル陪微分方程式、漸化式、直交関係、ルジャンドルの多項式、球面調和関数
球面調和関数とは
ラプラスの方程式の変数分離解、同次関数、体球関数の母関数、第１種のルジャンドル陪関数、球面関数の直交性
ヘルムホルツ方程式とは
ラプラス方程式、円柱座標での解法、極座標での解法、ベッセルの微分方程式、ルジャンドルの微分方程式

情報・暗号

情報伝送速度とは
単位時間当たりにノイズのある通信路を通じて正確に伝送される平均情報量、相互情報量、結合エントロピー、通信路容量
線形符号とは
ハミング符号、ベクトル空間、符号、パリティ検査行列、符号化法、複合化法、尤度関数による複合化、エラー訂正
通話路容量とは
通話路の能力を表す量、１秒当たりのビット数、報伝達速度、情報量、エントロピー、平均伝送時間
リトルの公式とは
定常的な待ち行列システム、系内の平均客数と平均滞在時間の関係、平均待ち行列長と平均待ち時間の関係
エルガマル暗号とは
位数が大きい離散対数問題の困難さ安全性の根拠、公開鍵暗号、暗号化と複合化、公開鍵の作成

機械学習

カーネル法とは
データ間の似ている度合いで学習する方法、非線形な問題を線形な問題に変換、カーネル関数、カーネルトリック、マーサーの条件
重回帰分析とは
目的変数（従属変数） と説明変数（独立変数） の間に定量的な関係、回帰式、残差、回帰式の導出と評価、寄与率、テコ比
ベイズの定理とは
ある事象の確率 を関連する条件の知識に基づいて求める手法、加法定理と乗法定理、ベイズの定理を導く、ベイズ推定
主成分分析とは
互いに相関のある多数の変数から相関のない少数の合成変数（主成分）に要約、主成分の導出、寄与率、累積寄与率、因子負荷率
ウォード法とは
クラスタ分析の手法の１つ、クラスタ内の平方和を最も小さくする基準でクラスタを形成、クラスタ間の距離

金融・ゲーム理論

ベイジアンゲームとは
情報不完備ゲーム、タイプ、自然（Nature）、信念（Belief）、期待利得、ベイジアン均衡、中古車売買、オークション理論
マックスミニとミニマックス
マックスミニ戦略は各選択肢の最悪の利得を最大にする戦略、ミニマックス戦略は各選択肢の最悪の損失を最小にする戦略
伊藤の公式とは
確率微分方程式の確率過程、ウィーナー過程、ランダムウォーク（ブラウン運動）、一般化ウィーナー過程、伊藤過程
資本資産価格モデル（CAPM）とは
CAPM、期待投資収益率と価格の関係、資本市場線、証券市場線、シャープレシオ、トレイナー尺度、ジェンセンのアルファ
効率的フロンティアとは
同じリスクに対しリターンが最大となる曲線、効用無差別曲線、最適ポートフォリオ、接点ポートフォリオ、トービンの分離定理

数値計算

ニュートン法とは
高次方程式の根を求めるための数値計算法、関数が単調に増加または減少している範囲で有効、２分法
ゴドノフ法とは
セル内は一定値としてセル境界で保存則のリーマン問題を解く手法、ゴドノフ型有限体積法、MUSCL、HLLD、CT法
ルンゲ・クッタ法とは
現在の値から次の値を求める過程で複数の中間的地点の値を利用、４次の公式、６次の公式、ルンゲ・クッタ・ギル法
シンプソンの公式とは
数値解析における数値積分の方法の１つ、分割区間を２次関数で近似、台形公式、シンプソンの公式を導く
ガウス･ザイデル法とは
連立一次方程式を反復法で解く手法、反復法、ヤコビ法、ガウス・ザイデル法、収束の条件

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2021.03.24

 

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