ニュートン法とは

/計算数学

ニュートン法

ニュートン法とは、高次方程式の根(ゼロ点)を求めるための数値計算法です。ニュートン法は、関数が単調に増加または減少している範囲で有効な方法です。

関数 $f(x)$ の根を $\alpha$($f(\alpha)=0$)とします。根の付近の適当な点 $a_1$ について、$a_2$ を計算します。

$$a_2=a_1-\frac{f(a_1)}{f'(a_1)}  -①$$

同様に $a_2$ から次の $a_3$ を計算します。

$$a_3=a_2-\frac{f(a_2)}{f'(a_2)}$$

これを繰り返すと、点 $a_n$ は限りなく根 $\alpha$ に近づいていきます。そして、$x_n$ の変化量が許容誤差範囲 $\epsilon$ 未満になれば、そこで計算を止め、$a_n$ を根と考えます。

$|a_n-a_{n-1}|\lt\epsilon$ ならば、$\alpha=a_n$

①の導出

テイラー展開より、

$$f(b)=f(a)+(b-a)f'(a)+\frac{1}{2}(b-a)^2f^{(2)}(a)+\cdots$$

$b$ を根($f(b)=0$)とします。$a$ を根の付近とすると、右辺の第3項以降は無視できるため、

$$0=f(a)+(b-a)f'(a)$$

従って、以下の $b$ を根の近似解と考えることができます。

$$b=a-\frac{f(a)}{f'(a)}$$

2分法

2分法とは、根が存在する範囲を適当に定め、その範囲を狭めていくことで根を求める手法です。2分法も、関数が単調に増加または減少している範囲で有効な方法です。

関数 $f(x)$ の根を $\alpha$ とし、根の付近の適当な範囲[$a_1$、$b_1$] について、中間点 $c_1$ を計算します。

$$c_1=\frac{a_1+b_1}{2}$$

この中間点について、

$f(a_1)f(c_1)\gt0$ であれば、$a_2=c_1$、$b_2=b_1$
$f(a_1)f(c_1)\lt0$ であれば、$a_2=a_1$、$b_2=c_1$

同様に $a_2$、$b_2$ から次の $c_2$ を計算します。

$$c_2=\frac{a_2+b_2}{2}$$

これを繰り返すと、範囲[$a_n$、$b_n$]は限りなく狭められていきます。そして、範囲[$a_n$、$b_n$]が許容誤差範囲 $\epsilon$ 未満になれば、そこで計算を止め、その中間点を根と考えます。

$|a_n-b_n|\lt\epsilon$ ならば、
$$\alpha=\frac{a_n+b_n}{2}$$

 

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