群論とは

/代数学

群の定義

群とは、ある代数的な算術(代数的構造)が定義された集合で、数学の基本的概念というだけでなく、物理学などの自然科学の分野に広く応用されています。群は、二項演算、単位元、逆元、結合法則の4つが成り立つ集合として定義されます。

群の定義を以下に整理します。「○」は成り立つことを、「-」は対象外であることを表します。

名称 二項演算 単位元 逆元 結合則 可換則 分配則
半群
モノイド
可換群
アーベル群

横軸の意味は以下になります。ここで、集合 $A$ の元 $a,b$ の演算を $a\cdot b$ で表します。

  • 二項演算
    任意の $a,b\in A$ に対して、$a\cdot b\in A$ が成り立つ。
  • 単位元
    任意の $a\in A$ に対して、$a\cdot e=e\cdot a=a$ となる $e\in A$ が存在する。
  • 逆元
    任意の $a\in A$ に対して、$a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e$ となる $a^{-1}\in A$ が存在する。
  • 結合則
    任意の $a,b,c\in A$ に対して、$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$ が成り立つ。
  • 可換則
    任意の $a,b\in A$ に対して、$a\cdot b=b\cdot a$ が成り立つ。
  • 分配則
    任意の $a,b,c\in A$ の積と和に対して、$a(b+c)=ab+ac$ が成り立つ。

群の種類

部分群

群 $A$ の部分集合 $A’$ について、$A’$ 自身の乗法が群になる場合、$A’$ は $A$ の部分群と言います。群 $A$ の部分集合 $A’$ が部分群であるための必要十分条件は、以下になります。

任意の $a,b\in A’$ に対して、$ab\in A’$
かつ、
任意の $a\in A’$ に対して、$a^{-1}\in A’$

置換群

置換群とは、$n$ 個の文字の置換全ての集合です。置換 $\sigma$ を以下で定義すると、2つの置換の積 $\sigma\sigma’$ は群になります。

$$\sigma=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 & \cdots & n \\
\sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \end{array}\right)$$

置換の数は $n!$ であるため、置換群は有限個の元から構成されます(有限群)。

巡回群

巡回群とは、任意の元がある特定の元 $a$(生成元)の累乗 $a^k$($k$ は整数)で表される集合です。

$$\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}=\{a^{k1},a^{k2},\cdots,a^{kn}\}$$

代表的な巡回群は1の累乗根で、自然数 $n$ に対して $a^n=1$ が成り立つ $a$ です。このとき $a$ は複素数で表され、最小の $n$ は $a$ の位数と呼ばれます。

直積群

直積群とは、2つの群 $A,B$ の元を組みとする群 $A\times B$ です。

任意の $a\in A,b\in B$ に対して、$ab=ba\in A\times B$

直交群:O(n)

直交群とは、直交行列の集合です。直交行列 $M$ は、$n$ 次元ユークリッド空間の長さを変えない変換を表し、以下の特徴を持ちます。

$$M^t=M^{-1}$$

ユニタリ群:U(n)

ユニタリ群とは、ユニタリ行列の集合です。ユニタリ行列 $U$ は、$n$ 次元空間のベクトル ${\bf v}$ の直積 ${\bf v}^*\cdot{\bf v}$ を不変に保つ変換を表し、以下の特徴を持ちます。

$$U^\dagger=U^{-1}$$

特殊ユニタリ群:SU(n)

特殊ユニタリ群とは、行列式が1になるユニタリ行列の集合です。

$U^\dagger=U^{-1}$ かつ、$\mathrm{det}U=1$

 

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