【高校数学】データ分析・確率

/高校数学

データの分析(数学Ⅰ)

代表値

平均値、中央値、最頻値の定義は以下になります。

  • 平均値:
    $$\bar{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)$$
  • 中央値(メジアン):データを大きさの順に並べたときに中央の位置にくる値。
  • 最頻値(モード):データにおける最も個数の多い値。

分散と標準偏差

分散と標準偏差の定義は以下になります。

  • 分散:偏差(各値と平均値の差)の2乗の平均値。
    $$V=\frac{1}{n}\Big((x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2\Big)$$
  • 標準偏差:分散の平方根。
    $$S=\sqrt{V}$$
  • 分散と平均値の関係式
    $$V=\overline{x^2}-(\bar{x})^2$$

相関関係

データ $x,y$ の標準偏差をそれぞれ $S_x,S_y$ 、共分散を $S_{xy}$ とすると、相関係数は以下で定義されます。

$$r=\frac{S_{xy}}{S_xS_y}  (-1\le r\le1)$$$$S_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$$

場合の数と確率(数学A)

個数定理

集合 $A$ の要素の個数を $n(A)$ 、全体集合を $U$ とすると、以下の関係が成り立ちます。

  • $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$
  • $n(\bar{A})=n(U)-n(A)$
  • $n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)+n(A\cap B\cap C)$
    $-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)$
  • $n(U)\ge n(A\cup B)$
  • $n(A\cap B)\le n(A)$
  • $n(A\cup B)\le n(A)+n(B)$

和の法則と積の法則

事象 $A,B$ の起こり方がそれぞれ $m,n$ 通りとするとき、

  • 和の法則:$A$ または $B$ の起こる場合の数は $m+n$
  • 積の法則:$A$ と $B$ がともに起る場合の数は $m\times n$

順列

順列、円順列、数珠順列、重複順列の数は以下で表されます。

  • 順列:異なる $n$ 個から $r$ 個を取る順列の総数は、
    $${}_nP_r=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}$$
  • 円順列:異なる $n$ 個の順列の総数は、
    $$(n-1)!=\frac{{}_nP_n}{n}$$
  • 数珠順列:円順列を裏返せる場合の順列の巣数は、円順列の半分となります。
    $$\frac{(n-1)!}{2}=\frac{{}_nP_n}{2n}$$
  • 重複順列:異なる $n$ 個から $r$ 個を取る重複順列の総数は $n^r$

組合せ

組合せとは、同じものを含む順列の総数です。

  • 組合せの数:異なる $n$ 個から $r$ 個を取る組合せの総数は、
    $${}_nC_r=\frac{{}_nP_r}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$
  • 同じものを含む順列:$a$ が $p$ 個、$b$ が $q$ 個、$c$ が $r$ 個 $\cdots$ 合計 $n$ 個を全ての並べ方の総数は以下になります。
    $$\frac{n!}{p!q!r!\cdots}={}_nC_p\times{}_{n-p}C_q\times{}_{n-p-q}C_r\times\cdots$$$$n=p+q+r+\cdots$$
  • 組分け:$n$ 人をA組 $p$ 人、B組 $q$ 人、C組 $r$ 人に分ける組分けの総数は、
    $${}_nC_p\times{}_{n-p}C_q$$
    3組同数であれば、各組は区別ができないため、
    $$\frac{{}_nC_p\times{}_{n-p}C_q}{3!}$$
  • 重複組合せ数:異なる $n$ 個から $r$ 個を取る重複組合せ($n\lt r$ も可)の総数は、
    $${}_nH_r={}_{n+r-1}C_r$$
  • ${}_nC_r$ の関係式:
    $${}_nC_r={}_nC_{n-r}  ,  {}_nC_r={}_{n-1}C_{r-1}+{}_{n-1}C_r$$

確率

事象 $A$ の起る確率を $P(A)$ とすると、以下の関係が成り立ちます。

  • 基本定理:
    $$0\le P(A)\le 1  ,  $P(\phi)=0$$
  • 加法定理:事象 $A,B$ が互いに排反する場合、
    $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$
  • 余事象の確率:
    $$P(\bar{A})+P(A)=1$$
  • 反復事象の確率:
    事象 $A$ の起る確率 $p$ を、その余事象を $q=1-p$ とすると、この試行を $n$ 回くり返す反復試行において、事象 $A$ が $r$ 回起る確率は、
    $$P={}_nC_rp^rq^{n-r}$$
  • 条件付き確率:
    事象 $A$ が起ったときに事象が起る確率 $P_A(B)$ は以下で表されます。
    $$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$
  • 乗法定理:
    $$P(A\cap B)=P_A(B)P(A)$$

 

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