確率と統計（高校数学）

データの分析（数学Ⅰ）

代表値

平均値、中央値、最頻値の定義は以下になります。

平均値
$$\bar{x}=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)$$
中央値（メジアン）
データを大きさの順に並べたときに中央の位置にくる値。
最頻値（モード）
データにおける最も個数の多い値。

分散と標準偏差

分散と標準偏差の定義は以下になります。

分散：偏差（各値と平均値の差）の２乗の平均値。
$$V=\frac{1}{n}\Big((x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2\Big)$$
標準偏差：分散の平方根。
$$S=\sqrt{V}$$
分散と平均値の関係式
$$V=\overline{x^2}-(\bar{x})^2$$

相関関係

データ $x,y$ の標準偏差をそれぞれ $S_x,S_y$ 、共分散を $S_{xy}$ とすると、相関係数は以下で定義されます。

$$r=\frac{S_{xy}}{S_xS_y}　　(-1\le r\le1)$$$$S_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$$

場合の数と確率（数学Ａ）

個数定理

集合 $A$ の要素の個数を $n(A)$ 、全体集合を $U$ とすると、以下の関係が成り立ちます。

$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$
$n(\bar{A})=n(U)-n(A)$
$n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)+n(A\cap B\cap C)$
$-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)$
$n(U)\ge n(A\cup B)$
$n(A\cap B)\le n(A)$
$n(A\cup B)\le n(A)+n(B)$

和の法則と積の法則

事象 $A,B$ の起こり方がそれぞれ $m,n$ 通りとするとき、

和の法則：$A$ または $B$ の起こる場合の数は $m+n$
積の法則：$A$ と $B$ がともに起る場合の数は $m\times n$

順列

順列、円順列、数珠順列、重複順列の数は以下で表されます。

順列
異なる $n$ 個から $r$ 個を取る順列の総数は、
$${}_nP_r=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}$$
円順列
異なる $n$ 個の順列の総数は、
$$(n-1)!=\frac{{}_nP_n}{n}$$
数珠順列
円順列を裏返せる場合の順列の巣数は、円順列の半分となります。
$$\frac{(n-1)!}{2}=\frac{{}_nP_n}{2n}$$
重複順列
異なる $n$ 個から $r$ 個を取る重複順列の総数は $n^r$

組合せ

組合せとは、同じものを含む順列の総数です。

組合せの数
異なる $n$ 個から $r$ 個を取る組合せの総数は、
$${}_nC_r=\frac{{}_nP_r}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$
同じものを含む順列
$a$ が $p$ 個、$b$ が $q$ 個、$c$ が $r$ 個 $\cdots$ 合計 $n$ 個を全ての並べ方の総数は以下になります。
$$\frac{n!}{p!q!r!\cdots}={}_nC_p\times{}_{n-p}C_q\times{}_{n-p-q}C_r\times\cdots$$$$n=p+q+r+\cdots$$
組分け
$n$ 人をＡ組 $p$ 人、Ｂ組 $q$ 人、Ｃ組 $r$ 人に分ける組分けの総数は、
$${}_nC_p\times{}_{n-p}C_q$$
３組同数であれば、各組は区別ができないため、
$$\frac{{}_nC_p\times{}_{n-p}C_q}{3!}$$
重複組合せ数
異なる $n$ 個から $r$ 個を取る重複組合せ（$n\lt r$ も可）の総数は、
$${}_nH_r={}_{n+r-1}C_r$$
${}_nC_r$ の関係式
$${}_nC_r={}_nC_{n-r}$$$${}_nC_r={}_{n-1}C_{r-1}+{}_{n-1}C_r$$

［５の導出］
右辺を計算すると左辺を導くことができます。$${}_{n-1}C_{r-1}+{}_{n-1}C_r=\frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}+\frac{(n-1)!}{r!(n-1-r)!}$$$$=\frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)(n-r-1)!}+\frac{(n-1)!}{r(r-1)!(n-1-r)!}$$$$=\frac{r(n-1)!+(n-r)(n-1)!}{r(r-1)!(n-r)(n-r-1)!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}={}_nC_r$$

確率

事象 $A$ の起る確率を $P(A)$ とすると、以下の関係が成り立ちます。

基本定理
$$0\le P(A)\le 1$$$$P(\phi)=0$$
加法定理：事象 $A,B$ が互いに排反する場合、
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$
余事象の確率
$$P(\bar{A})+P(A)=1$$
反復事象の確率
事象 $A$ の起る確率 $p$ を、その余事象を $q=1-p$ とすると、この試行を $n$ 回くり返す反復試行において、事象 $A$ が $r$ 回起る確率は、
$$P={}_nC_rp^rq^{n-r}$$
条件付き確率
事象 $A$ が起ったときに事象 $B$ が起る確率 $P_A(B)$ は以下で表されます。
$$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$
乗法定理
$$P(A\cap B)=P_A(B)P(A)$$

確率分布と統計的な推測（数学Ｂ）

期待値と分散

$X$ を確率変数とすると、期待値（平均）$E(X)$ と分散 $V(X)$ は以下で定義されます。

$$E(X)=\sum_{k=1}^np_kx_k$$$$V(X)=E\Big(\big(X-E(X)\big)^2\Big)=E(X^2)-\Big(E(X)\Big)^2$$

期待値と分散

ある確率変数に確率分布の重みをつけて足し合わせた加重平均、期待値、分散、共分散、相関係数

確率変数の和と積

$X,Y$ は確率変数、$a,b$ は定数の場合、

$E(aX+b)=aE(X)+b$
$V(aX+b)=a^2V(X)$
$E(aX+bY)=aE(X)+bE(X)$
$E(XY)=E(X)E(Y)$
$V(aX+bY)=a^2V(X)+b^2V(X)$

二項分布

確率変数 $X$ が二項分布 $B(n,p)={}_nC_rp^rq^{n-r}$ 、（$p+q=1$）に従うとき、

$E(X)=np$
$V(X)=npq$

正規分布

確率変数 $X$ が正規分布 $N(m,\sigma^2)$ に従うとき、

$E(X)=m$
$V(X)=\sigma^2$

以下の場合、確率変数 $Z$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従います。

確率変数 $X$ が正規分布 $N(m,\sigma^2)$ に従うときの $Z$ $$Z=\frac{X-m}{\sigma}$$
確率変数 $X$ が二項分布 $B(n,p)$ に従うときの $Z$ $$Z=\frac{X-np}{\sqrt{npq}}$$

標本平均

母集団から $n$ 個抽出する場合、標本の平均 $\bar{X}$ の平均と標準偏差は、

$$E(\bar{X})=m$$$$\sigma(\bar{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

$n$ が十分大きければ、標本平均は正規分布 $N(m,\sigma^2/n)$ と見なすことができます。

整数（数学Ａ）

約数

自然数 $N$ の素因数分解が $N=p^aq^br^c\cdots$ となるとき、

正の約数の個数は以下で表されます。
$(a+1)(b+1)(c+1)\cdots$
正の約数の総和は以下で表されます。
$(1+p+\cdots+p^a)(1+q+\cdots+q^b)(1+r+\cdots+r^c)\cdots$

最大公約数と最小公倍数

２つの自然数 $a$ 、$b$ の最大公約数を $g$ 、最小公約数を $l$ とし、$a=ga’$ 、$b=gb’$ とすると、以下が成り立ちます。

$a’$ と $b’$ は互いに素である。
$l=ga’b’$
$ab=gl$

［１. の証明］
$a’$ と $b’$ が互いに素でないと仮定すると１以外の最大公倍数が存在します。これを $c$ とすると $a’=c\alpha$ 、$b’=c\beta$ と表すことができます。これより $a=gc\alpha$ 、$b=gc\beta$ となり、$g$ よりも大きい最大公約数 $gc$ が存在することになり矛盾します。

［２. の証明］
$l$ は最小公倍数であるため、$l=a\alpha=b\beta$ となり、$ga’\alpha=gb\beta$ であるから、$\alpha=b’$ 、$\beta=a’$ となることが分かります。

［３. の証明］
２. の両辺に $g$ を掛けると、$gl=g^2a’b’=ab$ より得られます。