直交曲線座標とは

/物理数学

直交曲線座標

直交曲線座標とは、局所的には各基底ベクトルが互いに直交している、曲がった空間の座標系です。以下は、3次元空間の場合を扱います。

直交曲線座標($q_1,q_2,q_3$)と直交平面座標($x_1,x_2,x_3$)の座標変換は、一般に以下で表されます。

$$dx_i=\sum_{j=1}^3\frac{\partial x_i}{\partial q_j}dq_j$$

このとき、座標変換を行っても”長さ”($ds$)は不変であるため、以下が成り立ちます。尚、和は全て1~3で行うものとします。

$$ds^2=\sum_idx_i^2=\sum_i\sum_{j,k}\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\frac{\partial x_i}{\partial q_k}dq_jdq_k$$

計量の定義

座標系の計量(メトリック)を導入します。

$$h_{jk}\equiv\sum_i\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\frac{\partial x_i}{\partial q_k}$$

ここで、直交条件 $h_{jk}=0$($j\ne k$)を導入し、計量の対角成分を $\sqrt{h_{jj}}\to h_j$ と置き換えると、

$$h_j^2=\sum_i\Big(\frac{\partial x_i}{\partial q_j}\Big)^2  -①$$

さらに、座標変換は以下のように書くことができ、

$$dx_i=h_idq_i  -②$$

微小体積

微小体積は以下で表すことができます。

$$dx_1dx_2dx_3=h_1h_2h_3dq_1dq_2dq_3$$

微分の公式

勾配($\mathrm{grad}$)

スカラー $\phi$ の勾配は以下で表されます。

$$\mathrm{grad}\phi=\Big(\frac{\partial\phi}{h_1\partial q_1},\frac{\partial\phi}{h_2\partial q_2},\frac{\partial\phi}{h_3\partial q_3}\Big)$$

導出

スカラー $\phi$ の微小変位をとり、途中で②を使っています。

$$\delta\phi=\phi(q_1+\delta q_1,q_2+\delta q_2,q_3+\delta q_3)-\phi(q_1,q_2,q_3)$$

$$=\frac{\partial\phi}{\partial q_1}\delta q_1+\frac{\partial\phi}{\partial q_2}\delta q_2+\frac{\partial\phi}{\partial q_3}\delta q_3$$

$$=\frac{1}{h_1}\frac{\partial\phi}{\partial q_1}\delta x_1+\frac{1}{h_2}\frac{\partial\phi}{\partial q_2}\delta x_2+\frac{1}{h_3}\frac{\partial\phi}{\partial q_3}\delta x_3$$$$\equiv(\mathrm{grad}\phi)\cdot d{\bf r}$$

分散($\mathrm{div}$)

ベクトルの分散は以下で表されます。

$$\mathrm{div}{\bf A}=\frac{1}{h_1h_2h_3}\left(\frac{\partial(h_2h_3A_1)}{\partial q_1}+\frac{\partial(h_3h_1A_2)}{\partial q_2}+\frac{\partial(h_1h_2A_3)}{\partial q_3}\right)$$

導出

ガウスの発散定理より、

$$\int_S{\bf A}\cdot d{\bf S}=\int_V\mathrm{div}{\bf A}dV  -(1)$$

(1)の左辺の被積分部を微小立方体の面上で計算すると、

$${\bf A}\cdot d{\bf S}=(A_1dydz)_{q1+\delta}-(A_1dydz)_{q1}+(A_2dzdx)_{q2+\delta}$$$$-(A_2dzdx)_{q1}+(A_3dxdy)_{q3+\delta}-(A_3dxdy)_{q1}$$

この右辺の第1項と第2項について変形すると、

$$=(A_1h_2h_3dq_2dq_3)_{q1+\delta}-(A_1h_2h_3dq_2dq_3)_{q1}$$$$=[(A_1h_2h_3)_{q1+\delta}-(A_1h_2h_3)_{q1}]dq_2dq_3$$$$=\frac{\partial(A_1h_2h_3)}{\partial q_1}dq_1dq_2dq_3$$

第3項~第6項も同様に計算できます。一方、(1)の右辺の被積分部は、

$$\mathrm{div}{\bf A}dV=\mathrm{div}{\bf A}dxdydz=\mathrm{div}{\bf A}h_1h_2h_3dq_1dq_2dq_3$$

これらより、ベクトルの分散が導かれます。

回転($\mathrm{rot}$)

ベクトルの回転は以下で表されます。

$$(\mathrm{rot}{\bf A})_i=\frac{1}{h_jh_k}\left(\frac{\partial(h_kA_k)}{\partial q_j}-\frac{\partial(h_jA_j)}{\partial q_k}\right)$$

導出

ストークスの定理より、

$$\oint{\bf A}\cdot d{\bf s}=\int_S(\mathrm{rot}{\bf A})\cdot d{\bf S}  -(2)$$

(2)の左辺を $q_3$ 面に平行な閉領域で積分すると、

$$({\bf A}\cdot d{\bf s})_3=(A_1dx)_{q1,q2}+(A_2dy)_{q1+\delta,q2}-(A_1dx)_{q1,q2+\delta}-(A_2dy)_{q1,q2}$$$$=(A_1h_1dq_1)_{q1,q2}+(A_2h_2dq_2)_{q1+\delta,q2}-(A_1h_1dq_1)_{q1,q2+\delta}-(A_2h_2dq_2)_{q1,q2}$$

$$=\frac{\partial(A_1h_1)}{\partial q_2}dq_2dq_1-\frac{\partial(A_2h_2)}{\partial q_1}dq_1dq_2$$

(2)の右辺は、

$$[(\mathrm{rot}{\bf A})\cdot d{\bf S}]_3=(\mathrm{rot}{\bf A})_3dxdy=(\mathrm{rot}{\bf A})_3h_1h_2dq_1dq_2$$

これらより、ベクトルの回転が導かれます。

ラプラシアン($\Delta$)

ラプラシアン($\Delta\equiv\mathrm{div}\cdot\mathrm{grad}$)は以下で表されます。

$$\Delta=\frac{1}{h_1h_2h_3}\Big[\frac{\partial}{\partial q_1}\Big(\frac{h_2h_3}{h_1}\frac{\partial}{\partial q_1}\Big)$$$$+\frac{\partial}{\partial q_2}\Big(\frac{h_3h_1}{h_2}\frac{\partial}{\partial q_2}\Big)+
\frac{\partial}{\partial q_3}\Big(\frac{h_1h_2}{h_3}\frac{\partial}{\partial q_3}\Big)\Big]$$

 

数学
解析学、代数学、幾何学、統計分析、数学基礎、物理数学
散策路TOP
力学、電磁気・相対論、熱・統計力学、量子力学、物性物理、機械学習、情報処理、金融、物理数学

 

タイトルとURLをコピーしました