【高校数学】集合と論証・整数

/高校数学

集合と論証(数学Ⅰ)

集合の基本

集合で使われる用語は以下になります。ここで、$A,B$ は集合、$U$ は全体集合を表します。

  • 部分集合:$A\subset B$ 、「$x\in A$ ならば $x\in B$」が成り立つ。
  • 相等:$A=B$ 、「$A\subset B$ かつ $B\subset A$」が成り立つ。
  • 共通集合:$A\cap B=${$x|x\in A$ かつ $x\in B$ }
  • 和集合:$A\cup B=${$x|x\in A$ または $x\in B$ }
  • 補集合:$\overline{A}=${$x|x\in U$ かつ $x\notin A$ }

ド・モルガンの法則

ド・モルガンの法則は以下のように表されます。

  • $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$ 、$\overline{A\cup B\cup C}=\overline{A}\cap\overline{B}\cap\overline{C}$
    ⇒「$A$ または $B$」でなければ「$\overline{A}$ かつ $\overline{B}$」
  • $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$ 、$\overline{A\cap B\cap C}=\overline{A}\cup\overline{B}\cup\overline{C}$
    ⇒「$A$ かつ $B$」でなければ「$\overline{A}$ または $\overline{B}$」

命題と条件

命題の真偽は以下のように行われます。

  • 真の場合:証明する。
  • 偽の場合:反例を1つ挙げる。

2つの条件 $p$ 、$q$ がある場合、

  • $p\Rightarrow q$ が真であるとき、
    $q$ は $p$ であるための必要条件
    $p$ は $q$ であるための十分条件
  • $p\Rightarrow q$ 、$q\Rightarrow p$ がともに真であるとき、
    $q$ は $p$($p$ は $q$)であるための必要十分条件

整数の性質(数学A)

約数

自然数 $N$ の素因数分解が $N=p^aq^br^c\cdots$ となるとき、

  • 正の約数の個数は以下で表されます。
    $(a+1)(b+1)(c+1)\cdots$
  • 正の約数の総和は以下で表されます。
    $(1+p+\cdots+p^a)(1+q+\cdots+q^b)(1+r+\cdots+r^c)\cdots$

最大公約数と最小公倍数

2つの自然数 $a$ 、$b$ の最大公約数を $g$ 、最小公約数を $l$ とし、$a=ga’$ 、$b=gb’$ とすると、以下が成り立ちます。

  • $a’$ と $b’$ は互いに素である。
  • $l=ga’b’$
  • $ab=gl$

除法と余り

$a$ を整数、$b$ を正の整数とし、$a$ を $b$ で割ったときの商を $q$ 、余りを $r$ とすると、

$$a=bq+r  ,  0\le r\lt b$$

全ての整数は余りにより分類することができます。

  • $2k$ 、$2k+1$(偶数、奇数)
  • $3k$ 、$3k+1$ 、$3k+2$(3で割った余りが0、1、2)
  • 一般に、$m$ が2以上の自然数のとき、
    $mk$ 、$mk+1$ 、$mk+2$ 、$\cdots$、$mk+(m-1)$

2つの整数 $a$ 、$b$ について、$a-b$ が $m$ の倍数であるとき、$a$ と $b$ は $m$ を法として合同であるといい、以下のように表します。これを合同式と呼びます。

$$a\equiv b\pmod{m}$$

互除法

2つの正の整数 $a$ 、$b$ について、$a$ を $b$ で割ったときの商を $q$ 、余りを $r$ とすると、

  • $r\ne0$ のとき、$a$ と $b$ の最大公約数は、$b$ と $r$ の最大公約数に等しい。
  • $r=0$  のとき、$a$ と $b$ の最大公約数は、$b$ である。

ユークリッド互除法は、$a$ と$b$ の最大公約数を求める方法で、以下のような手順を繰り返します。

  1. $a$ を $b$ で割った余りを $r$ とする。
  2. $r=0$ ならば、$b$ が $a$ と $b$ の最大公約数。
    $r\ne0$ ならば、$a$ を $b$ 、$b$ を $r$ で置き換えて1から繰り返す。

1次不定方程式

2つの整数 $a$ 、$b$ が互いに素であるとき、1次不等式 $ax+by=c$ について、

  • 任意の整数 $c$ に対し、この1次不等式を満たす整数 $x$ 、$y$ が存在する。
  • 1組の整数解が $x=\alpha$ 、$y=\beta$ であるとき、全ての整数解は、
    $x=bn+\alpha$ 、$y=-an+\beta$($n$ は整数)で表される。

有限小数と循環小数

既約分数 $m/n$ について以下のことが成り立ちます。

  • 分数の素因数が2、5だけからなる場合、
    $m/n$ は有限小数で表される。
  • 分数の素因数が2、5以外のものがある場合、
    $m/n$ は循環小数で表される。

 

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