【高校数学】2次関数と方程式

/代数学

2次関数(数学Ⅰ)

2次関数のグラフ

2次関数のグラフは以下になります。

  • $y=a(x-p)^2+q$($a\ne0$)のグラフ
    頂点が($p$ 、$q$)で、$a\gt0$ なら下に凸、$a\lt0$ なら上に凸の放物線を表す。
  • $y=ax^2+bx+c$($a\ne0$)のグラフ
    頂点が以下で、$a\gt0$ なら下に凸、$a\lt0$ なら上に凸の放物線を表す。

$$y=a\Big(x+\frac{b}{2a}\Big)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$$$$\mbox{頂点:}\Big(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\Big)$$

与えられた条件により、2次関数は以下のように求められます。

  • 頂点($p,q$)が与えられた場合、
    ⇒ $y=a(x-p)^2+q$ とおく。
  • 3点が与えられた場合、
    ⇒ $y=ax^2+bx+c$ に代入して3つの連立方程式を解く。

平行移動と対称移動

関数の平行移動と対称移動は以下のように変換されます。

元の点/関数 点($a,b$) 関数 $y=f(x)$
($p,q$)の平行移動 ($a+p,b+q$) $y=f(x-p)+q$
$x$ 軸の対称移動 ($a,-b$) $y=-f(x)$
$y$ 軸の対称移動 ($-a,b$) $y=f(-x)$
原点の対称移動 ($-a,-b$) $y=-f(-x)$

関数の最大と最小

区間が定められていない2次関数($y=ax^2+bx+c$)の場合は、平方完成しての形 $y=a(x-p)^2+q$ にします。

  • $a\gt0$(下に凸)のとき、$x=p$ で最小値は $q$ 、最大値はない。
  • $a\lt0$ (上に凸)のとき、$x=p$ で最大値は $q$ 、最小値はない。

区間($h\le x\le k$)が定められている場合の関数($y=ax^2+bx+c$)の場合、

  • $a\gt0$(下に凸)のとき、
    区間内に頂点がある場合、頂点で最小、頂点から遠い区間の端で最大。
    区間内に頂点がない場合、頂点に近い区間の端で最小、遠い端で最大。
  • $a\lt0$(上に凸)のとき、
    区間内に頂点がある場合、頂点で最大、頂点から遠い区間の端で最小。
    区間内に頂点がない場合、頂点に近い区間の端で最大、遠い端で最小。

解の公式

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解の公式は以下になります。

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

この2つの解を $\alpha,\beta$ とすると、

$$ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)$$$$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}  ,  \alpha\beta=\frac{c}{a}$$

判別式

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ は、判別式 $D=b^2-4ac$ に対し、

  • $D\gt0$ ならば、異なる2つの実数解をもつ。
  • $D=0$ ならば、ただ1つの実数解(重根)をもつ。
  • $D\lt0$ ならば、実数解をもたない。

2次関数 $y=ax^2+bx+c$ は、判別式 $D=b^2-4ac$ に対し、

  • $D\gt0$ ならば、$x$ 軸と異なる2点で交わる。
  • $D=0$ ならば、$x$ 軸と1点で接する。
  • $D\lt0$ ならば、$x$ 軸と共有点をもたない。

2次不等式

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$($a\gt0$)が2つの解 $\alpha,\beta$($\alpha\lt\beta$)、または重根 $\alpha$ を持つ場合、判別式 $D$ と解の関係は以下になります。

2次不等式 $D\gt0$ $D=0$ $D\lt0$
$ax^2+bx+c\gt0$ $x\lt\alpha$ 、$\beta\lt x$ なし 全ての実数
$ax^2+bx+c\lt0$ $\alpha\lt x\lt\beta$ なし なし
$ax^2+bx+c\ge0$ $x\le\alpha$ 、$\beta\le x$ $x=\alpha$ 全ての実数
$ax^2+bx+c\le0$ $\alpha\le x\le\beta$ $x=\alpha$ なし

2次関数 $f(x)=ax^2+bx+c$($a\gt0$ 、$D\gt0$)の場合、点 $k$ との関係は以下になります。

  • $k\lt\alpha$ ならば、$f(k)\gt0$
  • $\alpha\lt k\lt\beta$ ならば、$f(k)\lt0$
  • $\beta\lt k$ ならば、$f(k)\gt0$

方程式・式と証明(数学Ⅱ)

2項定理

2項定理は以下で表されます。

$$(a+b)^n={}_nC_0a^n+{}_nC_1a^{n-1}b+{}_nC_2a^{n-2}b^2+\cdots$$$$+{}_nC_ra^{n-r}b^r+\cdots+{}_nC_{n-1}ab^{n-1}+{}_nC_nb^n$$

多項定理(3項)の場合は、$(a+b+c)^n$ の一般項は以下で表されます。

$$\frac{n!}{p!q!r!}a^pb^qc^r   (p+q+r=n)$$

剰余定理と因数定理

剰余定理と因数定理は以下で表されます。

  • 剰余定理:
    整式 $P(x)$ を $x-a$ で割ったときの余りは $P(a)$ である。
    整式 $P(x)$ を $ax+b$ で割ったときの余りは $P(-b/a)$ である。
  • 因数定理:
    整式 $P(x)$ が $x-a$ を因数にもつならば、$P(a)=0$
    整式 $P(x)$ が $ax+b$ を因数にもつならば、$P(-b/a)=0$

高次方程式

高次方程式の性質は以下になります。

  • 実数係数の次方程式が虚数解 $a+bi$ をもつならば、
    それと共役な複素数 $a+bi$ も解である。
  • 3次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の3つの解を $\alpha,\beta,\gamma$ とすると、
    $$\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}$$$$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a}$$$$\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}$$$$ax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$$

恒等式と不等式

恒等式の性質は以下になります。

  • $P(x)=Q(x)$ が $x$ についての恒等式であるならば、
    $P(x)$ と$Q(x)$ の同じ次数の項の係数は一致する。
  • 2次の整式の場合:
    $ax^2+bx+c=a’x^2+b’x+c’$ が $x$ の恒等式ならば、
    $a=a’$ 、$b=b’$ 、$c=c’$ が成り立つ。

不等式について以下の関係が成り立ちます。

  • $a\gt b$ ならは、$a-b\gt0$ 、$a^2\gt b^2$
  • コーシー・シュワルツの不等式:
    $$(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge(ax+by)^2$$$$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\ge(ax+by+cz)^2$$
  • 相加平均と相乗平均:
    $a\gt0$ 、$b\gt0$ のとき以下の関係が成り立つ(等号は $a=b$ の場合)
    $$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$$

 

数学
解析学、代数学、幾何学、統計分析、数学基礎、高校数学
散策路TOP
古典物理、量子力学、物性論、数学、応用数学、力学、電磁気学、相対論、熱・統計力学、解析学、代数学、幾何学、統計分析、情報

 

タイトルとURLをコピーしました