リッチテンソル
リッチテンソル（Ricci tensor）とは、微小球の体積が平坦空間と比べてどのように変化するかを表す曲率です。リッチテンソルが正なら測地線は収束する傾向（球面のような正曲率）にあり、負なら発散する傾向（双曲面のような負極率）にあります。
リッチテンソル $R_{ij}$ は、リーマン曲率テンソル：
$$R_{ijk}^l\equiv\frac{\partial\Gamma_{ik}^l}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma_{ij}^l}{\partial x^k}+\Gamma_{ik}^m\Gamma_{mj}^l-\Gamma_{ij}^m\Gamma_{mk}^l$$
の最初と最後の添え字の縮約として定義されます。
$$R_{ij}\equiv R^k_{ijk}=\frac{\partial\Gamma_{ik}^k}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma_{ij}^k}{\partial x^k}+\Gamma_{ik}^m\Gamma_{mj}^k-\Gamma_{ij}^m\Gamma_{mk}^k -①$$
このリッチテンソルは、以下の対称性を持ちます（②の導出）。
$$R_{ij}=R_{ji} -②$$
②を導く
リーマン曲率テンソルの対称性
$$R_{kijl}=R_{jlki}=-R_{ljki}=R_{ljik}$$
の両辺に $g^{kl}$ を掛けると、
$$g^{kl}R_{kijl}=g^{kl}R_{ljik}$$$$R_{ijl}^l=R_{jik}^k$$
これより②が得られることが分かります。
スカラー曲率
スカラー曲率（Ricci scalar）とは、全方向について平均した曲率で、３次元の球面に対して正となるように定義されています。スカラー曲率 $R$ は、リッチテンソルをさらに縮約した空間全体の曲率として得られます。
$$R=R_{ii}$$
ビアンキの関係式
リーマン曲率テンソルのビアンキの恒等式より、リッチテンソルにおける関係式が得られます（③の導出）。ここで、セミコロン（ $;$ ）は共変微分を表します。
$$\Big(R^{ij}-\frac{1}{2}g^{ij}R\Big)_{;j}=0 -③$$
尚、アインシュタインテンソル $G_{ij}$ は以下で定義され、
$$G_{ij}=R^{ij}-\frac{1}{2}g^{ij}R$$
この保存則③がエネルギー運動量 $T^{ij}$ の保存則に対応し、アインシュタイン方程式の基礎となります。
$$T^{ij}_{;j}=0$$
③を導く
$$R_{ijk;l}^m+R_{ikl;j}^m+R_{ilj;k}^m=0$$
より、$m=l$ で縮約して、$g^{ij}$ を掛けると、計量 $g^{ij}$ は共変微分で保存される（$g^{ij}_{\,;k}=0$）ため、
$$(g^{ij}R_{ijk}^l)_{;l}+(g^{ij}R_{ikl}^l)_{;j}+(g^{ij}R_{ilj}^l)_{;k}=0 -⓸$$
⓸の第１項は、
$$g^{ij}R_{ijk}^l=g^{ij}g^{lm}R_{mijk}=g^{ij}g^{lm}R_{imkj}=g^{lm}R_{mk}=R^l_k$$
⓸の第３項は、
$$g^{ij}R_{ilj}^l=-g^{ij}R_{ijl}^l=-g^{ij}R_{ij}=-R$$
となるため、④は次のように書き換えられ、
$$2R^j_{k;j}-R_{;k}=0$$
添え字を入れ替えると以下が得られます。
$$g_{ki}(2R^{ij}-g^{ij}R)_{;j}=0$$
