ゾンマーフェルト展開
ゾンマーフェルト展開（Sommerfeld expansion）とは、低温領域におけるフェルミ粒子系の積分を近似する方法です。固体物理学や統計力学で非常によく用いられ、自由電子気体の比熱や化学ポテンシャルなどを解析的に求める際の基本的な手法です。
フェルミ粒子の物理量は一般に以下の積分で表されます。
$$I=\int_0^\infty H(\epsilon)f(\epsilon)d\epsilon -①$$
ここで、$H(\epsilon)$ は状態密度やエネルギーなどを含む滑らかな関数で、$f(\epsilon)$ は以下のフェルミ・ディラック分布です。
$$f(\epsilon)=\frac{1}{e^{(\epsilon-\mu)/kT}+1}$$
$T=0$ の場合
$T=0$ の場合、フェルミ分布は、
$$f(\epsilon)=\left\{\begin{array}{ll}
1 & (\epsilon\lt\mu) \\
0 & (\epsilon\gt\mu)\end{array} \right.$$
のような階段関数になるため①は、
$$I_0=\int_0^\mu H(\epsilon)d\epsilon -②$$
低温域の場合
$kT\ll E_F$（低温域）の場合、①は以下のように近似展開（ゾンマーフェルト展開）できます。この第１項は $T=0$ での結果で、第２項は温度補正になります。
$$I=\int_0^\mu H(\epsilon)d\epsilon+\frac{\pi^2}{6}(kT)^2H'(\mu)+\frac{7\pi^4}{360}(kT)^4H^{(3)}(\mu)+\cdots -③$$
物理量の計算
ゾンマーフェルト展開の特徴は、フェルミ・ディラック分布の形だけを利用した普遍的な近似公式であることです。そのため、どのような物理量でも $H(\epsilon)$ の形でまとめれば同じ展開公式を利用することができます。
電子数
電子数 $N$ を求める場合は、$H(\epsilon)=D(\epsilon)$ と置きます。$D(\epsilon)$ は状態密度です。
$$N=\int_0^\infty D(\epsilon)f(\epsilon)d\epsilon$$
内部エネルギー
内部エネルギー $U$ を求める場合は、$H(\epsilon)=\epsilon D(\epsilon)$ と置きます。
$$U=\int_0^\infty\epsilon D(\epsilon)f(\epsilon)d\epsilon$$
一般の期待値
ある物理量 $A(\epsilon)$ の期待値を求める場合は、$H(\epsilon)=A(\epsilon)D(\epsilon)$ と置きます。
$$\braket{A}=\int_0^\infty A(\epsilon)D(\epsilon)f(\epsilon)d\epsilon$$
ゾンマーフェルト展開の導出
関数Gを以下で定義すると、
$$G(\epsilon)\equiv\int_0^\epsilon H(x)dx$$
$G'(\epsilon)=H(\epsilon)$ より、
$$I=\int_0^\infty G'(\epsilon)f(\epsilon)d\epsilon$$
部分積分を行うと、
$$I=\Big[G(\epsilon)f(\epsilon)\Big]_0^\infty-\int_0^\infty G(\epsilon)f'(\epsilon)d\epsilon=-\int_0^\infty G(\epsilon)f'(\epsilon)d\epsilon$$
$f$ を微分すると、$G(0)=0$ 、$f(\infty)=0$ であるため（④の導出）、
$$f'(\epsilon)=-\frac{e^{(\epsilon-\mu)/kT}}{kT(e^{(\epsilon-\mu)/kT}+1)^2}=-\frac{1}{4kT}\mathrm{sech}^2{\Big(\frac{(\epsilon-\mu)}{2kT}\Big)} -⓸$$
これより、$x\equiv(\epsilon-\mu)/kT$ とし、重み関数 $w(x)$ を定義します。また、$kT\ll E_F$ とすると、
$$I=\int_0^\infty G(\epsilon)\frac{1}{4kT}\mathrm{sech}^2{\Big(\frac{\epsilon-\mu}{2kT}\Big)}d\epsilon$$$$=\int_{-\mu/kT}^\infty G(\mu+kTx)w(x)dx=\int_{-\infty}^\infty G(\mu+kTx)w(x)dx$$$$w(x)\equiv\frac{1}{4}\mathrm{sech}^2{\Big(\frac{x}{2}\Big)}$$
$x/\beta\ll1$ としてテイラー展開すると、
$$G(\mu+kTx)=G(\mu)+kTxG'(\mu)+\frac{(kTx)^2}{2}G”(\mu)+\frac{(kTx)^3}{6}G^{(3)}(\mu)+\cdots$$
重み関数は偶関数 $w(x)=w(-x)$ であるため、$x$ の奇数項の積分は０になります。
$$I=\int_{-\infty}^\infty\Big(G(\mu)+\frac{(kTx)^2}{2}G”(\mu)+\frac{(kTx)^4}{24}G^{(4)}(\mu)+\cdots\Big)w(x)dx$$
ここで以下の既知の積分を利用します（⑤の導出）。
$$\int_{-\infty}^\infty w(x)dx=1 -⑤$$$$\int_{-\infty}^\infty x^2w(x)dx=\frac{\pi^2}{3} -⑥$$$$\int_{-\infty}^\infty x^4w(x)dx=\frac{7\pi^4}{15} -⑦$$
これを代入し、$G’=H$ で元に戻すと、ゾンマーフェルト展開③が得られます
$$I=\int_0^\epsilon H(x)dx+\frac{(kT)^2}{2}H'(\mu)\frac{\pi^2}{3}+\frac{(kT)^4}{24}H^{(3)}(\mu)\frac{7\pi^4}{15}+\cdots$$
⓸の導出
$x=(\epsilon-\mu)/kT$ と置くと、
$$f(x)=\frac{1}{e^x+1}$$
これを微分すると、$dx/d\epsilon=1/kT$ より、
$$f'(\epsilon)=\frac{df}{dx}\frac{dx}{d\epsilon}=-\frac{1}{kT}\frac{e^x}{(e^x+1)^2}$$
左辺の $dx/d\epsilon$ の部分を書き換え、$\cosh{y}=(e^y+e^{-y})/2$ を使うと、
$$\frac{e^x}{(e^x+1)^2}=\frac{1}{(e^{x/2}+e^{-x/2})^2}=\frac{1}{4\cosh^2{(x/2)}}$$
ここでと置くと、④が得られます。
$$f'(x)=-\frac{1}{4kT}\mathrm{sech}^2{\Big(\frac{x}{2}\Big)}$$
⑤の導出
以下を計算します。
$$M_0=\int_{-\infty}^\infty w(x)dx=\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{4}\mathrm{sech}^2{\Big(\frac{x}{2}\Big)}dx$$
ここで、
$$\frac{d}{dx}\tanh{\Big(\frac{x}{2}\Big)}=\frac{1}{2}\mathrm{sech}^2{\Big(\frac{x}{2}\Big)}$$
なので、$\tanh{(\pm\infty)}=\pm1$ より⑤が得られます。
$$M_0=\frac{1}{2}\Big[\tanh{\Big(\frac{x}{2}\Big)}\big]_{-\infty}^\infty=1$$
