リーマン曲率テンソルとは

/幾何学

リーマン曲率テンソル

リーマン曲率テンソルとは、空間の曲率を表すテンソルで、平らな空間の場合は0になります。リーマン曲率テンソルは、2階の共変微分の順序を入れ替えた際の差分を表します。

$$A_lR_{ijk}^l=A_{i:j:k}-A_{i:k:j}  -①$$

ここでリーマン曲率テンソル $R_{ijk}^l$ は以下で定義されます。

$$R_{ijk}^l\equiv\Gamma_{ik,j}^l-\Gamma_{ij,k}^l+\Gamma_{ik}^m\Gamma_{mj}^l-\Gamma_{ij}^m\Gamma_{mk}^l  -②$$

共変微分については、次の記事を参照ください。

共変微分とは | 散策路
目次 共変微分とはテンソルの条件反変微分はテンソルではない共変微分はテンソルである 共変微分とは 共変微分とは、曲線座標においてテンソルとなる微分です。物理法則は、座標系に関わらず成り立つものであるため、場の微分は共変微
リーマン曲率テンソルを導く

リーマン曲率テンソル(①)は共変微分の定義である2つの式、

$$A_{i:j}=A_{i,j}-\Gamma_{ij}^lA_l  -③$$

$$T_{ij:k}=T_{ij,k}-\Gamma_{ik}^lT_{lj}-\Gamma_{jk}^lT_{il}  -④$$

を使って確認することができます。まず、①の右辺1項の $A_{i:j}$ をテンソルとみなし、④を使うと、

$$A_{i:j:k}=A_{i:j,k}-\Gamma_{ik}^lA_{l:j}-\Gamma_{jk}^lA_{i:l}$$

これに共変微分に③を使うと、

$$A_{i:j:k}=(A_{i,j}-\Gamma_{ij}^lA_l)_{,k}-\Gamma_{ik}^l(A_{l,j}-\Gamma_{lj}^mA_m)-\Gamma_{jk}^l(A_{i,l}-\Gamma_{il}^mA_m)$$

次に同様にして $A_{i:k:j}$ を求めると、

$$A_{i:k:j}=(A_{i,k}-\Gamma_{ik}^lA_l)_{,j}-\Gamma_{ij}^l(A_{l,k}-\Gamma_{lk}^mA_m)-\Gamma_{kj}^l(A_{i,l}-\Gamma_{il}^mA_m)$$

①の左辺($A_{i:j:k}-A_{i:k:j}$)を計算し、$A_{i,j,k}=A_{i,k,j}$ と $\Gamma^l_{jk}=\Gamma^l_{kj}$ を利用すると、①の右辺(リーマン曲率テンソル)が導かれます。

対称性

リーマン曲率テンソルは次の対称性を持ちます。

$R_{ijkl}=-R_{ijlk}  -⑤$
$R_{ijkl}=-R_{jikl}  -⑥$
$R_{ijkl}=R_{klij}=R_{lkji}  -⑦$
ビアンキの関係式とは
ビアンキの恒等式、リーマン曲率テンソル、クリストッフェル記号、共変微分、添え字の巡回置換

まず、⑤はリーマン曲率テンソルの定義より明らかです。

⑥と⑦の導出

リーマン曲率テンソルの定義より、

$$R_{ijkl}=g_{in}R^n_{jkl}=g_{in}\Big(\Gamma_{jl,k}^n-\Gamma_{jk,l}^n+\Gamma_{jl}^m\Gamma_{mk}^n-\Gamma_{jk}^m\Gamma_{ml}^n\Big)$$

右辺第1項に次の関係を使うと、

$$g_{in}\Gamma^n_{jl,k}+g_{in,k}\Gamma^n_{jl}=(g_{in}\Gamma^n_{jl})_{,k}=\Gamma_{ijl,k}$$

以下になります。

$$R_{ijkl}=\Gamma_{ijl,k}-g_{in,k}\Gamma^n_{jl}+\Gamma_{jl}^n\Gamma_{ink}-\{k,l\mbox{ 交換項}\}$$

ここで、右辺第3項の $m$ は $n$ に置換えています。次に、クリストッフェル記号の定義より得られる関係式 $\Gamma_{ink}+\Gamma_{nik}=g_{in,k}$ を使うと、

$$R_{ijkl}=\Gamma_{ijl,k}-\Gamma_{nik}\Gamma^n_{jl}-\{k,l\mbox{ 交換項}\}$$

$$=\Gamma_{ijl,k}-\Gamma_{nik}\Gamma^n_{jl}-\Gamma_{ijk,l}+\Gamma_{nil}\Gamma^n_{jk}$$

$$=\frac{1}{2}(g_{il,jk}-g_{jl,ik}-g_{ik,jl}+g_{jk,il})+g^{mn}(\Gamma_{nil}\Gamma_{mjk}-\Gamma_{nik}\Gamma_{mjl})$$

第1項について、$i,j$ の交換に対して反対称であることが分かります。第2項についても、$n,m$ は入れ替えることができるので、$i,j$ の交換に対して反対称になります。さらに、⑦についても成り立つことが分かります。

 

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