演算子の交換関係
弦座標 $X^I(\tau,\sigma)$ と運動量密度 $P^{\tau I}(\tau,\sigma)$ の関係を表す弦の運動方程式は以下になります。
$$P^{\tau\mu}=\frac{1}{2\pi\alpha}\dot{X}^\mu -①$$$$P^{\sigma\mu}=-\frac{1}{2\pi\alpha}X^{\mu’} -②$$
弦の異なる点は互いに干渉しないとし、以下のような交換関係を仮定します。
$$[X^I(\sigma),P^{\tau J}(\sigma’)]\equiv i\eta^{IJ}\delta(\sigma-\sigma’) -③$$
$$\eta^{IJ}=
\left(\begin{array}{ccc} -1 & & & \\
& 1 & & \\
& & \ddots & \\
& & & 1 \end{array}\right)$$
それ以外の交換関係は基本的に０になります。尚、⑤は④から得られます。④の左辺を $\sigma$ と $\sigma’$ で微分すると、⑤の左辺が得られます。
$$[X^I(\sigma),X^J(\sigma’)]=[P^{\tau I}(\sigma),P^{\tau J}(\sigma’)]=0 -④$$
$$[X^{I’}(\sigma),X^{J’}(\sigma’)]=[\dot{X}^I(\sigma),\dot{X}^J(\sigma’)]=0 -⑤$$
このとき、以下の交換関係が成り立ちます。
$$[(\dot{X}^I\pm X^{I’})(\sigma),(\dot{X}^J\pm X^{J’})(\sigma’)]=\pm4\pi\alpha’i\eta^{IJ}\frac{d}{d\sigma}\delta(\sigma-\sigma’) -⑥$$$$[(\dot{X}^I\pm X^{I’})(\sigma),(\dot{X}^J\mp X^{J’})(\sigma’)]=0 -⑦$$
⑥を導く
①を③に代入すると、
$$[X^I(\sigma),\dot{X}^J(\sigma’)]=2\pi\alpha’i\eta^{IJ}\delta(\sigma-\sigma’) -(1)$$
両辺を $\sigma$ で微分すると、
$$[X^{I’}(\sigma),\dot{X}^J(\sigma’)]=2\pi\alpha’i\eta^{IJ}\frac{d}{d\sigma}\delta(\sigma-\sigma’) -(2)$$
⑥の右辺を計算すると、
$$[(\dot{X}^I+X^{I’})(\sigma),(\dot{X}^J+X^{J’})(\sigma’)]$$$$=[\dot{X}^I(\sigma),\dot{X}^J(\sigma’)]+[\dot{X}^I(\sigma),X^{J’}(\sigma’)]$$$$+[X^{I’}(\sigma),\dot{X}^J(\sigma’)]+[X^{I’}(\sigma),X^{J’}(\sigma’)]$$
この第１項と第４項は、⑤より０になります。第３項は(2)になります。第２項については、$\eta^{IJ}=\eta^{JI}$、$\delta(x)=\delta(-x)$ に留意すると、
$$-[X^{J’}(\sigma’),\dot{X}^I(\sigma)]=-2\pi\alpha’i\eta^{JI}\frac{d}{d\sigma’}\delta(\sigma’-\sigma)$$$$=-2\pi\alpha’i\eta^{IJ}\frac{d}{d\sigma’}\delta(\sigma-\sigma’)=2\pi\alpha’i\eta^{IJ}\frac{d}{d\sigma}\delta(\sigma-\sigma’)$$
これらを代入すると⑥が得られます。
振動モードの交換関係
弦のモード展開は以下で表されます。
$$X^I(\tau,\sigma)=x_0^I+\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^I\tau+i\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\ne0}\frac{\alpha_n^I}{n}e^{-in\tau}\cos{n\sigma} -⑧$$$$\alpha_0^I\equiv\sqrt{2\alpha’}p^I -⑨$$
光円錐座標の場合は、$\sigma\in[0,\pi]$ で以下の関係が成り立ちます。
$$\dot{X}^I+X^{I’}=\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\in Z}\alpha_n^Ie^{-in(\tau+\sigma)} -⑩$$
このとき、振動モードの交換関係は以下になります。
$$[\alpha_m^I,\alpha_n^J]=m\eta^{IJ}\delta_{m+n,0} -⑪$$$$[x_0^I,\alpha_n^J]=\sqrt{2\alpha’}i\eta^{IJ}\delta_{n,0} -⑫$$
また、$n=0$ の場合、⑨により⑫は次のように書き替えられます。
$$[x_0^I,p^J]=i\eta^{IJ}$$
エルミート性
量子力学と同様に、座標と運動量の演算子はエルミート性を持ちます。
$$(x_0^I)^\dagger=x_0^I$$$$(p^I)^\dagger=p^I$$
また、振動モードの定義より、以下の関係が成り立ちます。
$$(\alpha_n^I)^\dagger=\alpha_{-n}^I$$
⑪を導く
⑥に⑩を代入すると、
$$\sum_{m’,n’\in Z}e^{-im'(\tau+\sigma)}e^{-in'(\tau+\sigma’)}[\alpha_{m’}^I,\alpha_{n’}^J]=2\pi i\eta^{IJ}\frac{d}{d\sigma}\delta(\sigma-\sigma’)$$
両辺に次の積分を行うと、
$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\sigma e^{im\sigma}\cdot\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\sigma’e^{in\sigma’}$$
左辺については、$m=m’$、$n=n’$ 以外は０になるので、
$$(\mathrm{左辺})=e^{-i(m+n)\tau}[\alpha_m^I,\alpha_n^J] -(3)$$
右辺については、以下に留意すると、
$$\int_0^{2\pi}d\sigma’e^{in\sigma’}\delta(\sigma-\sigma’)=e^{in\sigma}$$
以下になります。
$$(\mathrm{右辺})=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\sigma e^{im\sigma}i\eta^{IJ}\frac{d}{d\sigma}e^{in\sigma}$$$$=-n\eta^{IJ}\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\sigma e^{i(m+n)\sigma}$$$$=-n\eta^{IJ}\delta_{m+n,0} -(4)$$
(3)と(4)より、
$$e^{-i(m+n)\tau}[\alpha_m^I,\alpha_n^J]=-n\eta^{IJ}\delta_{m+n,0}$$
右辺は $n=-m$ 以外は０になるため、⑪が成り立つことが分かります。
⑫を導く
(1)の両辺を $\sigma\in[0,\pi]$ で積分すると、
$$2\pi\alpha’i\eta^{IJ}\int_0^\pi d\sigma\delta(\sigma-\sigma’)=\int_0^\pi d\sigma[X^I(\sigma),\dot{X}^J(\sigma’)]$$
左辺の $X^I(\sigma)$ の三角関数の項は消え、右辺のデルタ関数の積分は１になるため、
$$2\alpha’i\eta^{IJ}=[x_0^I+\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^I\tau,\dot{X}^J(\sigma’)] -(5)$$
ここで、⑧より、
$$\dot{X}^J(\sigma’)=\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^J+\sqrt{2\alpha’}\sum_{n’\ne0}\alpha_{n’}^Je^{-in’\tau}\cos{n’\sigma’}$$
$$[\alpha_0^I,\alpha_0^J]=[\alpha_0^I,\alpha_n^J]=0$$
であるため(5)は、
$$2\alpha’i\eta^{IJ}=[x_0^I,\dot{X}^J(\sigma’)]$$
$$\sqrt{2\alpha’}i\eta^{IJ}=[x_0^I,\alpha_0^J]+\sum_{n’\ne0}[x_0^I,\alpha_{n’}^J]e^{-in’\tau}\cos{n’\sigma’}$$
$$=[x_0^I,\alpha_0^J]+\sum_{n’=1}^\infty[x_0^I,\alpha_{n’}^Je^{-in’\tau}+\alpha_{-n’}^Je^{in’\tau}]\cos{n’\sigma’} -(6)$$
これを $\frac{1}{\pi}\int_0^\pi d\sigma\cos{n\sigma}$ で積分すると、定数項は０になり、右辺の第２項は、
$$\frac{1}{\pi}\int_0^\pi d\sigma\cos{n\sigma}\cos{n’\sigma}=\frac{1}{2}\delta_{n’n}$$
に留意すると、
$$0=[x_0^I,\alpha_{n}^Je^{-in\tau}+\alpha_{-n}^Je^{in\tau}]$$$$=[x_0^I,\alpha_{n}^J]e^{-in\tau}+[x_0^I,\alpha_{-n}^J]e^{in\tau} -(7)$$
これより、$n\ne0$ の場合は、⑫が成り立つことが分かります。また、$n=0$ の場合は、(6)でと置き、(7)を代入すると得られます。
$$\sqrt{2\alpha’}i\eta^{IJ}=[x_0^I,\alpha_0^J]$$
