量子開弦の交換関係

/弦理論

演算子の交換関係

弦座標 $X^I(\tau,\sigma)$ と運動量密度 $P^{\tau I}(\tau,\sigma)$ の関係を表す弦の運動方程式は以下になります。

$$P^{\tau\mu}=\frac{1}{2\pi\alpha}\dot{X}^\mu  -①$$$$P^{\sigma\mu}=-\frac{1}{2\pi\alpha}X^{\mu’}  -②$$

弦の異なる点は互いに干渉しないとし、以下のような交換関係を仮定します。

$$[X^I(\sigma),P^{\tau J}(\sigma’)]\equiv i\eta^{IJ}\delta(\sigma-\sigma’)  -③$$

$$\eta^{IJ}=
\left(\begin{array}{ccc} -1 & & & \\
& 1 & & \\
& & \ddots & \\
& & & 1 \end{array}\right)$$

それ以外の交換関係は基本的に0になります。尚、⑤は④から得られます。④の左辺を $\sigma$ と $\sigma’$ で微分すると、⑤の左辺が得られます。

$$[X^I(\sigma),X^J(\sigma’)]=[P^{\tau I}(\sigma),P^{\tau J}(\sigma’)]=0  -④$$

$$[X^{I’}(\sigma),X^{J’}(\sigma’)]=[\dot{X}^I(\sigma),\dot{X}^J(\sigma’)]=0  -⑤$$

このとき、以下の交換関係が成り立ちます。

$$[(\dot{X}^I\pm X^{I’})(\sigma),(\dot{X}^J\pm X^{J’})(\sigma’)]=\pm4\pi\alpha’i\eta^{IJ}\frac{d}{d\sigma}\delta(\sigma-\sigma’)  -⑥$$$$[(\dot{X}^I\pm X^{I’})(\sigma),(\dot{X}^J\mp X^{J’})(\sigma’)]=0  -⑦$$

⑥を導く

①を③に代入すると、

$$[X^I(\sigma),\dot{X}^J(\sigma’)]=2\pi\alpha’i\eta^{IJ}\delta(\sigma-\sigma’)  -(1)$$

両辺を $\sigma$ で微分すると、

$$[X^{I’}(\sigma),\dot{X}^J(\sigma’)]=2\pi\alpha’i\eta^{IJ}\frac{d}{d\sigma}\delta(\sigma-\sigma’)  -(2)$$

⑥の右辺を計算すると、

$$[(\dot{X}^I+X^{I’})(\sigma),(\dot{X}^J+X^{J’})(\sigma’)]$$$$=[\dot{X}^I(\sigma),\dot{X}^J(\sigma’)]+[\dot{X}^I(\sigma),X^{J’}(\sigma’)]$$$$+[X^{I’}(\sigma),\dot{X}^J(\sigma’)]+[X^{I’}(\sigma),X^{J’}(\sigma’)]$$

この第1項と第4項は、⑤より0になります。第3項は(2)になります。第2項については、$\eta^{IJ}=\eta^{JI}$、$\delta(x)=\delta(-x)$ に留意すると、

$$-[X^{J’}(\sigma’),\dot{X}^I(\sigma)]=-2\pi\alpha’i\eta^{JI}\frac{d}{d\sigma’}\delta(\sigma’-\sigma)$$$$=-2\pi\alpha’i\eta^{IJ}\frac{d}{d\sigma’}\delta(\sigma-\sigma’)=2\pi\alpha’i\eta^{IJ}\frac{d}{d\sigma}\delta(\sigma-\sigma’)$$

これらを代入すると⑥が得られます。

振動モードの交換関係

弦のモード展開は以下で表されます。

$$X^I(\tau,\sigma)=x_0^I+\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^I\tau+i\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\ne0}\frac{\alpha_n^I}{n}e^{-in\tau}\cos{n\sigma}  -⑧$$$$\alpha_0^I\equiv\sqrt{2\alpha’}p^I  -⑨$$

光円錐座標の場合は、$\sigma\in[0,\pi]$ で以下の関係が成り立ちます。

$$\dot{X}^I+X^{I’}=\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\in Z}\alpha_n^Ie^{-in(\tau+\sigma)}  -⑩$$

このとき、振動モードの交換関係は以下になります。

$$[\alpha_m^I,\alpha_n^J]=m\eta^{IJ}\delta_{m+n,0}  -⑪$$$$[x_0^I,\alpha_n^J]=\sqrt{2\alpha’}i\eta^{IJ}\delta_{n,0}  -⑫$$

また、$n=0$ の場合、⑨により⑫は次のように書き替えられます。

$$[x_0^I,p^J]=i\eta^{IJ}$$

エルミート性

量子力学と同様に、座標と運動量の演算子はエルミート性を持ちます。

$$(x_0^I)^\dagger=x_0^I$$$$(p^I)^\dagger=p^I$$

また、振動モードの定義より、以下の関係が成り立ちます。

$$(\alpha_n^I)^\dagger=\alpha_{-n}^I$$

⑪を導く

⑥に⑩を代入すると、

$$\sum_{m’,n’\in Z}e^{-im'(\tau+\sigma)}e^{-in'(\tau+\sigma’)}[\alpha_{m’}^I,\alpha_{n’}^J]=2\pi i\eta^{IJ}\frac{d}{d\sigma}\delta(\sigma-\sigma’)$$

両辺に次の積分を行うと、

$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\sigma e^{im\sigma}\cdot\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\sigma’e^{in\sigma’}$$

左辺については、$m=m’$、$n=n’$ 以外は0になるので、

$$(\mathrm{左辺})=e^{-i(m+n)\tau}[\alpha_m^I,\alpha_n^J]  -(3)$$

右辺については、以下に留意すると、

$$\int_0^{2\pi}d\sigma’e^{in\sigma’}\delta(\sigma-\sigma’)=e^{in\sigma}$$

以下になります。

$$(\mathrm{右辺})=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\sigma e^{im\sigma}i\eta^{IJ}\frac{d}{d\sigma}e^{in\sigma}$$$$=-n\eta^{IJ}\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\sigma e^{i(m+n)\sigma}$$$$=-n\eta^{IJ}\delta_{m+n,0}  -(4)$$

(3)と(4)より、

$$e^{-i(m+n)\tau}[\alpha_m^I,\alpha_n^J]=-n\eta^{IJ}\delta_{m+n,0}$$

右辺は $n=-m$ 以外は0になるため、⑪が成り立つことが分かります。

⑫を導く

(1)の両辺を $\sigma\in[0,\pi]$ で積分すると、

$$2\pi\alpha’i\eta^{IJ}\int_0^\pi d\sigma\delta(\sigma-\sigma’)=\int_0^\pi d\sigma[X^I(\sigma),\dot{X}^J(\sigma’)]$$

左辺の $X^I(\sigma)$ の三角関数の項は消え、右辺のデルタ関数の積分は1になるため、

$$2\alpha’i\eta^{IJ}=[x_0^I+\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^I\tau,\dot{X}^J(\sigma’)]  -(5)$$

ここで、⑧より、

$$\dot{X}^J(\sigma’)=\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^J+\sqrt{2\alpha’}\sum_{n’\ne0}\alpha_{n’}^Je^{-in’\tau}\cos{n’\sigma’}$$

$$[\alpha_0^I,\alpha_0^J]=[\alpha_0^I,\alpha_n^J]=0$$

であるため(5)は、

$$2\alpha’i\eta^{IJ}=[x_0^I,\dot{X}^J(\sigma’)]$$

$$\sqrt{2\alpha’}i\eta^{IJ}=[x_0^I,\alpha_0^J]+\sum_{n’\ne0}[x_0^I,\alpha_{n’}^J]e^{-in’\tau}\cos{n’\sigma’}$$

$$=[x_0^I,\alpha_0^J]+\sum_{n’=1}^\infty[x_0^I,\alpha_{n’}^Je^{-in’\tau}+\alpha_{-n’}^Je^{in’\tau}]\cos{n’\sigma’}  -(6)$$

これを $\frac{1}{\pi}\int_0^\pi d\sigma\cos{n\sigma}$ で積分すると、定数項は0になり、右辺の第2項は、

$$\frac{1}{\pi}\int_0^\pi d\sigma\cos{n\sigma}\cos{n’\sigma}=\frac{1}{2}\delta_{n’n}$$

に留意すると、

$$0=[x_0^I,\alpha_{n}^Je^{-in\tau}+\alpha_{-n}^Je^{in\tau}]$$$$=[x_0^I,\alpha_{n}^J]e^{-in\tau}+[x_0^I,\alpha_{-n}^J]e^{in\tau}  -(7)$$

これより、$n\ne0$ の場合は、⑫が成り立つことが分かります。また、$n=0$ の場合は、(6)でと置き、(7)を代入すると得られます。

$$\sqrt{2\alpha’}i\eta^{IJ}=[x_0^I,\alpha_0^J]$$

 

量子物理
量子論、量子力学、場の量子論、弦理論
散策路TOP
力学、電磁気・相対論、熱・統計力学、量子力学、物性物理、機械学習、情報処理、金融、物理数学

 

タイトルとURLをコピーしました