シュレディンガー方程式を導く

/量子力学

シュレディンガー方程式とは、電子などのミクロな状態の振る舞いを表す方程式です。このミクロな状態は、波動関数によって表すことができます。以下、シュレディンガー方程式を形式的に導きます。

時間に依存しないシュレディンガー方程式

時間に依存しない1次元のシュレディンガー方程式は以下で表されます。

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}(x)+V(x)\phi(x)=E\phi(x)  -①$$

尚、3次元の場合は、以下で表されます。

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\phi({\bf r})+V({\bf r})\phi=E\phi({\bf r})$$

①を導く

古典力学では、$x$ 方向に速度 $v$ で移動する波(波動関数)は、一般的に以下の形で表され、

$$\psi(x,t)=\psi(kx-\omega t)=\phi(x)e^{-i\omega t}  -②$$$$v=\frac{\omega}{k}$$

このとき、波動方程式は以下の形を持ちます。

$$\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}-v^2\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}=0$$

②を代入すると、時間に依存しない波動方程式が得られます。

$$\phi+\frac{1}{k^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}=0$$

これに、ド・ブロイの関係式 $p=\hbar k$ と、古典力学でのエネルギーの式

$$E=\frac{p^2}{2m}+V(x)$$

を代入すると①が得られます。

時間に依存するシュレディンガー方程式

時間に依存するシュレディンガー方程式は以下で表されます。

$$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}(x,t)=H\psi(x,t)  -③$$

③を導く

光量子のエネルギーの関係式 $E=\hbar\omega$ を②に代入します。

$$\psi(x,t)=\phi(x)e^{-iEt/\hbar}$$

この両辺を時間で微分すると、時間を含むシュレディンガー方程式が得られます。

$$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=E\psi$$

尚、右辺のエネルギー $E$ は、ハミルトニアン $H$ に置換えると③が有られます。

古典力学からの形式的移行方法

量子力学では、物理量は演算子として置換えることができます。そのため、古典物理のハミルトニアンから、座標($r$)、運動量($p$)、角運動量($l$)などについて、以下の変換を行うことで、シュレディンガー方程式を導くことができます。

物理量 演算子
座標 ${\bf r}$ ${\bf r}$
運動量 ${\bf p}$ $-i\hbar\nabla$
角運動量 ${\bf l}={\bf r}\times{\bf p}$ ${\bf l}=-i\hbar{\bf r}\times\nabla$
ハミルトニアン $H$ $$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$$

電磁場内のシュレディンガー方程式

ベクトルポテンシャルを ${\bf A}$ 、スカラーポテンシャルを $\Phi$ とすると、電磁場内のシュレディンガー方程式のハミルトニアンは以下で表されます。

$$H=\frac{1}{2m}(-i\hbar\nabla-q{\bf A})^2+q\Phi  -④$$

④を導く

${\bf A}$ と $\Phi$ を使うと、電場 ${\bf E}$ と磁場 ${\bf B}$ は以下で表されます。

$${\bf E}=-\nabla\Phi-\frac{\partial{\bf A}}{\partial t}$$$${\bf B}=\nabla\times{\bf A}$$

このとき、電磁場から荷電粒子が受けるローレンツ力は以下であるため、

$${\bf F}=q({\bf E}+{\bf v}\times{\bf B})$$

運動方程式の $x$ 軸成分は以下になります。

$$m\ddot{x}=F_x=-q\frac{\partial\Phi}{\partial x}-q\frac{\partial A_x}{\partial t}$$$$+q\dot{y}\Big(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\Big)-q\dot{z}\Big(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\Big)  -(2)$$

次のラグランジュ方程式により、

$$\frac{d}{dt}\Big(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}\Big)-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$

(2)の運動方程式が得られるためには、ラグラジアンは以下の形を持ち、

$$L=\frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-q\Phi+q(\dot{x}A_x+\dot{y}A_y+\dot{z}A_z)$$

$x$(${\bf r}$)と共役になる運動量 $p_x$(${\bf p}$)は以下になります。

$$p_x=\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}=m\dot{x}+qA_x$$$${\bf p}=m\dot{\bf r}+q{\bf A}  -(3)$$

従って、ルジャンドル変換によりハミルトニアンを求め、(3)を代入すると、

$$H=p_x\dot{x}+p_y\dot{y}+p_z\dot{z}-L$$$$=\frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)+q\Phi$$$$=\frac{1}{2m}({\bf p}-q{\bf A})^2+q\Phi$$

ここで ${\bf p}\to -i\hbar\nabla$ とすると④が得られます。

 

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