状態ベクトル
状態ベクトルとは、量子系の状態を複素ベクトル空間（ヒルベルト空間）のベクトルとして表現したものです。一般に、量子状態 \(a\) は、ディラックによって導入されたケットベクトル \(\ket{a}\) で表されます。
状態ベクトル（ケットベクトル）は以下の特徴を持ちます。
- 状態ベクトルは、座標表示などの基底の選び方に依存しない抽象的なベクトルである。
- 複素数倍や和を定義でき、重ね合わせの原理に従う。
- 状態ベクトルが属する空間は、内積を備えた複素ヒルベルト空間である。
なお、厳密には物理的な純粋状態は、ケットベクトルそのものではなく、全体位相を除いたケットベクトルの同値類に対応します。例えば、$\ket{a}$ と $e^{i\theta}\ket{a}$ は同じ物理状態を表します。
ブラとケット
ブラベクトルとは、ケットベクトルが属するヒルベルト空間に対する双対空間のベクトルです。ケットベクトル \(\ket{a}\) に対応するブラベクトルは、そのエルミート共役によって定義されます。ここで、エルミート共役は複素共役と転置を組み合わせた操作です。
$$\bra{a}=\ket{a}^{\dagger}$$
ブラベクトル同士、ケットベクトル同士では和を取ることができますが、ブラベクトルとケットベクトルは異なる空間に属するため、直接加算することはできません。また、ブラベクトルとケットベクトルのスカラー積は複素数になります。
$$\braket{b|a}=\braket{a|b}^*$$$$\braket{a|a}\geq 0$$
状態ベクトルの規格化条件と座標表示での完全性の条件は以下になります。この式は、座標固有状態が完全な基底を形成していることを意味します。
$$\int dx\ket{x}\bra{x}=\hat{I}$$
また、一般的な状態について以下のように展開できます。
$$\ket{a}=\hat{I}\ket{a}=\int dx\ket{x}\braket{x|a}$$
波動関数
波動関数とは、量子状態を座標などの基底に射影して得られる複素関数です。量子状態 \(\ket{a}\) を座標 \(x\) の基底で表した波動関数は、次のように定義されます。波動関数は、抽象的な状態ベクトル \(\ket{a}\) を座標表示したものに相当します。
$$\psi_a(x)\equiv\braket{x|a}\tag{1}$$
座標表示の波動関数は、座標 $x$（座標の添え字）の全ての値に対応する状態ベクトル $\bra{x}$ と、状態ベクトル $\ket{a}$ の内積と考える事ができます。波動関数の規格化条件は以下のように表されます。
$$\int dx\psi_a^*(x)\psi_a(x)=\int dx\braket{a|x}\braket{x|a}=\hat{I}\tag{2}$$$$\psi_a^*(x)=\braket{x|a}^*=\braket{a|x}$$
規格化条件は以下になります。ボルンの確率解釈として、$|\psi_a(x)|^2$ は位置 \(x\) における確率密度を表します。
$$\braket{a|a}=\int dx\braket{a|x}\braket{x|a}=\int dx\psi_a^*(x)\psi_a(x)=\hat{I}$$
演算子
演算子とは、状態ベクトルに作用して別の状態ベクトルに変換する線形写像です。演算子 \(\hat{F}\) は、ケットベクトルに左から作用し、対応するブラベクトルに右から作用します。
$$\ket{b}=\hat{F}\ket{a}$$$$\bra{b}=\bra{a}\hat{F}^{\dagger}$$
特に、\(\hat{F}\) がエルミート演算子の場合は、$\hat{F}=\hat{F}^{\dagger}$ なので以下になります。なお、エルミート演算子は、量子力学では物理量（観測可能量）を表す演算子として使われます。
$$\bra{b}=\bra{a}\hat{F}$$
完全正規直交基底を $\ket{u_n}$ とすると、演算子の行列要素は以下で表されます。
$$F_{mn}=\braket{u_m|\hat{F}|u_n}$$
各種の表示
状態ベクトルは、座標表示のほか、運動量表示（$p$ 表示）やエネルギー表示（$E$ 表示）でも表現することができます。
座標表示
演算子は、座標表示のは関数に作用して別の関数に変換します。この式は、演算子が状態ベクトルに作用した結果を座標表示したものです。
$$\psi_b(x)=\hat{F}\psi_a(x)$$$$\braket{x|b}=\braket{x|\hat{F}|a}\tag{3}$$
演算子 \(\hat{F}\) が座標表示でどのような作用をするかは、演算子の種類によって異なります。
- 位置演算子：$$\hat{x}\psi(x)=x\psi(x)$$
- 運動量演算子：$$\hat{p}\psi(x)=-i\hbar\frac{d}{dx}\psi(x)$$
また、演算子の行列要素 $F(x,x’)$ を導入すると、座標表示の演算子は一般には積分作用素として表されます。
$$\psi_b(x)=\int dx’\,F(x,x’)\psi_a(x’)$$$$F(x,x’)=\braket{x|\hat{F}|x’}$$
運動量表示
連続的な固有値を持つ運動量演算子の固有関数を基底関数とする場合、座標表示で以下のように表されます。
$$\psi_p(x)\equiv\braket{x|p}$$$$\psi_p^*(x)\equiv\braket{p|x}$$$$\braket{x|p}=\braket{p|x}^*=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{ipx/\hbar}$$
このとき以下の関係式が成り立ちます。ここでは運動量の連続スペクトルを仮定していることを明記してください。
- 固有関数の直交性
$$\int dx\psi_{p’}^*(x)\psi_p(x)=\int dx\braket{p’|x}\braket{x|p}=\braket{p’|p}=\delta(p’-p)\tag{4}$$ - 完全性の条件
$$\int dp\ket{p}\bra{p}=\hat{I}$$
- 座標表示から運動量表示への変換
状態 $a$ の座標表示 $\psi_a(x)=\braket{x|a}$［(1)］から運動量表示への変換は、運動量演算子の座標表示での固有関数 $\braket{x|p}$ によって行われます。
$$\psi_a(x)=\int dp\psi_p(x)\psi_a(p)$$$$\braket{x|a}=\int dp\braket{x|p}\braket{p|a}\tag{5}$$$$\braket{x|a}^*=\braket{a|x}=\int dp\braket{a|p}\braket{p|x}\tag{6}$$ - 規格化条件
(5)(6) を (2) に代入すると、運動量表示の規格化条件が得られます。
$$\int dp\braket{a|p}\braket{p|a}=\int dp|\psi_a(p)|^2=\hat{I}$$ - 運動量表示から座標表示への逆変換
$$\psi_a(p)=\int dx\psi_p^*(x)\psi_a(x)$$$$\braket{p|a}=\int dx\braket{p|x}\braket{x|a}$$ - 運動量表示での演算子
座標表示の (3) に (5) を代入し、左から $\braket{p’|x}$ を掛けて規格化条件④を使うと、$$\braket{p’|b}=\int dp\,
\braket{p’|\hat{F}|p}\braket{p|a}$$$$\psi_b(p’)=\int dp\,F(p’,p)\psi_a(p)$$ここで以下の関係があります。
$$\braket{p’|\hat{F}|p}\equiv\int dx\braket{p’|x}\hat{F}\braket{x|p}\equiv\int dx\psi_{p’}^*(x)\hat{F}\psi_p(x)\equiv F_{mn}$$ - 固有関数と固有値
運動量演算子は、運動量表示では連続対角行列で表すことができます。ここで、関数 $\braket{x|p}$ は運動量演算子の固有関数です。
$$\braket{p’|\hat{p}|p}=p\delta(p’-p)$$$$\hat{p}\braket{x|p}=p\braket{x|p}$$
演算子がエルミート演算子である場合は以下の関係が成り立ちます。
$$F_{mn}=F_{nm}^*$$
エネルギー表示
エネルギー表示とは、ハミルトニアン \(\hat{H}\) の固有状態を基底として量子状態を表す方法です。エネルギー固有値が離散的な場合、固有状態 \(\ket{E_n}\) は次の固有値方程式を満たします。
$$\hat{H}\ket{E_n}=E_n\ket{E_n}$$
離散スペクトルを持つ場合、エネルギー表示で以下のように表されます。
$$\psi_{E_n}(x)\equiv\braket{x|E_n}$$$$\psi_{E_n}^*(x)\equiv\braket{E_n|x}$$$$\braket{x|E_n}=\braket{E_n|x}^\dagger$$
このとき以下の関係式が成り立ちます。
- 固有関数の直交性
$$\int dx\psi_{E_m}^*(x)\psi_{E_n}(x)=\int dx\braket{E_m|x}\braket{x|E_n}=\braket{E_m|E_n}=\delta_{mn}\tag{7}$$ - 完全性の条件
$$\sum_n\ket{E_n}\bra{E_n}=\hat{I}$$ - 座標表示からエネルギー表示への変換
状態 $a$ の座標表示 $\psi_a(x)=\braket{x|a}$［(1)］からエネルギー表示への変換は、エネルギー演算子の座標表示での固有関数 $\braket{x|E_n}$ によって行われます。
$$\psi_a(x)=\sum_n\psi_{E_n}(x)\psi_a(E_n)$$$$\braket{x|a}=\sum_n\braket{x|E_n}\braket{E_n|a}\tag{8}$$$$\braket{x|a}^*=\braket{a|x}=\sum_m\braket{a|E_m}\braket{E_m|x}\tag{9}$$ - 規格化条件
⑧⑨を②に代入すると、エネルギー表示の規格化条件が得られます。
$$\sum_n\braket{a|E_n}\braket{E_n|a}=\sum_n|\psi_a(E_n)|^2=\hat{I}$$ - エネルギー表示から座標表示への逆変換
$$\psi_a(E_n)=\int dx\psi_{E_n}^*(x)\psi_a(x)$$$$\braket{E_n|a}=\int dx\braket{E_n|x}\braket{x|a}$$ - エネルギー表示での演算子
座標表示の (3) に (8) を代入し、左から $\braket{E_m|x}$ を掛けて規格化条件 (7) を使うと、
$$\braket{E_m|b}=\sum_n\braket{E_m|\hat{F}|E_n}\braket{E_n|a}$$
ここで以下の関係があります。
$$\braket{E_m|\hat{F}|E_n}\equiv\int dx\braket{E_m|x}\hat{F}\braket{x|E_n}\equiv\int dx\psi_{E_m}^*(x)\hat{F}\psi_{E_n}(x)\equiv F_{mn}$$ - 固有関数と固有値
演算子がハミルトニアン $\hat{H}$ である場合、エネルギー表示では対角行列で表すことができます。ここで、関数 $\braket{x|E_n}$ はハミルトニアンの固有関数です。エネルギー固有状態が基底になっているため、ハミルトニアンはエネルギー表示で対角行列になります。
$$\braket{E_m|\hat{H}|E_n}=E_n\delta_{mn}$$$$\hat{H}\braket{x|E_n}=E_n\braket{x|E_n}$$
