ブロッホの定理とは

/個体物理

ブロッホの定理とは

ブロッホの定理とは、結晶格子のような周期的なポテンシャルの場合に、シュレディンガー方程式の解(ブロッホ関数)が満たす特徴を表した定理です。

ブロッホ関数

シュレディンガー方程式の固有関数 $\psi$ は、次のような形で表されます。ここで、${\bf k}$ は波数ベクトルです。

$$\phi({\bf r})=\sum_{\bf k}u_{\bf k}({\bf r})e^{i{\bf k}\cdot{\bf r}}  -①$$

このとき、$u_k$ は結晶格子の周期性をもつ関数で、並進ベクトル ${\bf R}$($=n_1{\bf a}_1+n_2{\bf a}_2+n_3{\bf a}_3$)に対して以下が成り立ちます。

$$u_k({\bf r}+{\bf R})=u_k({\bf r})  -②$$

これらより、次のようにも表すこともできます。

$$\phi({\bf r}+{\bf R})=e^{i{\bf k}\cdot{\bf R}}\phi({\bf r})$$

周期的ポテンシャル

周期的なポテンシャルエネルギー $V$ を仮定すると、

$$V({\bf r}+{\bf R})=V({\bf r})$$

次の並進ベクトルと逆格子ベクトル(${\bf G}$)の関係より、

$$e^{i{\bf G}\cdot{\bf R}}=1  -③$$

ポテンシャルエネルギーは、以下のようにフーリエ展開することができます。

$$V({\bf r})=\sum_{\bf G}V_{\bf G}e^{i{\bf G}\cdot{\bf r}}  -④$$

ブロッホの定理を導く

周期的な結晶格子の場合、波動関数が①と②の形をもつことを導きます。

$N$ 個の原子が間隔 $a$ で並ぶ1次元のリング状の結晶格子を考えます。このとき、波動関数は長さ $L$($=Na$)の周期的境界条件をもつため、以下のようにフーリエ展開することができます。

$$\phi(x)=\sum_kC(k)e^{ikx}  -⑤$$

ここで、波数ベクトル $k$ は次のような値をもちます。$\lambda$ は波長を表します。

$$k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi n}{L}=\frac{2\pi n}{Na}$$

格子間隔が $a$ であれば、$m$ を整数として、逆格子ベクトルは次のように表されるため、

$$G=\frac{2\pi m}{a}$$

任意の波数ベクトルに逆格子ベクトルを加えると、

$$k’=k+G=\frac{2\pi n}{Na}+\frac{2\pi m}{a}=\frac{2\pi}{Na}(n+mN)$$$$n’=n+mN$$

従って、波数ベクトルに逆格子ベクトルを加えても、⑤のフーリエ展開に含まれるため、書き替えることができます。

$$\phi(x)=\sum_kC(k+G)e^{i(k+G)x}$$

ここで、関数 $u$ を次のように定義すると、

$$\phi(x)=\sum_ku_k(x)e^{ikx}$$$$u_k(x)\equiv C(k+G)e^{iGx}$$

③より、並進操作に対して不変(②)であることが分かります。

$$u_k(x+R)=C(k+G)e^{iG(x+R)}$$$$=C(k+G)e^{iGx}=u_k(x)$$

 

物性物理
統計力学、物理化学、個体物理、回路技術、プラズマ物理、宇宙物理
散策路TOP
古典物理、量子力学、物性論、数学、応用数学、力学、電磁気学、相対論、熱・統計力学、解析学、代数学、幾何学、統計分析、情報

 

タイトルとURLをコピーしました