弦の運動方程式（弦理論）

弦の運動方程式
弦の運動量
ローレンツ対称性
パラメータ付け
弦の波動方程式

弦の運動方程式

南部・後藤の作用は以下で与えられるため、

$$S=\int_{\tau0}^{\tau1}d\tau\int_0^{\sigma1}d\sigma{\mathcal L}(\dot{X}^\mu,X’^\mu)　　-①$$

$${\mathcal L}(\dot{X}^\mu,X’^\mu)=-\frac{T_0}{c}\sqrt{(\dot{X}^\mu X’_\mu)^2-(\dot{X}^\mu\dot{X}_\mu)(X^{\nu’} X’_\nu)}$$$$X^\mu=(X^0(\tau,\sigma),X^1(\tau,\sigma),\cdots,X^d(\tau,\sigma))$$

$\dot{X}$、$X’$ の共役変数 $P^\tau$、$P^\sigma$ を以下で定義すると、

$$P^\tau_\mu\equiv\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\dot{X}^\mu}=-\frac{T_0}{c}
\frac{(\dot{X}^\nu X’_\nu)X_\mu’-(X^{\nu’} X’_\nu)\dot{X}_\mu}{\sqrt{(\dot{X}^\nu X’_\nu)^2-(\dot{X}^\rho\dot{X}_\rho)(X^{\nu’} X’_\nu)}}$$$$P^\sigma_\mu\equiv\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial X^{\mu’}}=-\frac{T_0}{c}
\frac{(\dot{X}^\nu X’_\nu)\dot{X}_\mu-(\dot{X}^\nu\dot{X}_\nu)X’_\mu}{\sqrt{(\dot{X}^\nu X’_\nu)^2-(\dot{X}^\rho\dot{X}_\rho)(X^{\nu’} X’_\nu)}}$$

相対論的な弦の運動方程式は以下で表されます（②導出）。

$$\frac{\partial P_\mu^\tau}{\partial\tau}+\frac{\partial P_\mu^\sigma}{\partial \sigma}=0　　-②$$

②の導出

作用①の変分が０である条件を求めます。

$$\delta S=\int_{\tau0}^{\tau1}d\tau\int_0^{\sigma1}d\sigma\delta{\mathcal L}=0　　-(1)$$

ラグラジアンの変分を取り、$\delta\dot{X}=\partial(\delta X)/\partial\tau$ 、$\delta X’=\partial(\delta X)/\partial\sigma$ であるため、

$$\delta{\mathcal L}=\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\dot{X}^\mu}\delta\dot{X}^\mu+\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial X^{\mu’}}\delta X^{\mu’}$$$$=P^\tau_\mu\frac{\partial(\delta X^\mu)}{\partial\tau}+P^\sigma_\mu\frac{\partial(\delta X^\mu)}{\partial\sigma}$$

部分積分を行うと、

$$\delta{\mathcal L}=\frac{\partial}{\partial\tau}(P^\tau_\mu\delta X^\mu)+\frac{\partial}{\partial\sigma}(P^\sigma_\mu\delta X^\mu)-\Big(\frac{\partial P_\mu^\tau}{\partial\tau}+\frac{\partial P_\mu^\sigma}{\partial \sigma}\Big)\delta X^\mu　　-(2)$$

(2)の第１項については、以下のような境界条件を仮定します。

$$\int_{\tau0}^{\tau1}d\tau\int_0^{\sigma1}d\sigma\frac{\partial}{\partial\tau}(P^\tau_\mu\delta X^\mu)=\int_0^{\sigma1}d\sigma\Big[P^\tau_\mu\delta X^\mu\Big]_{\tau0}^{\tau1}=0$$$$\delta X^\mu(\tau_0,\sigma)=\delta X^\mu(\tau_1,\sigma)=0$$

(2)の第2項については、以下のような自由端（ノイマン境界条件）の境界条件を仮定します。この場合、弦の運動において端点における弦の変分 $\delta X^\mu$ には制約を与えません。

$$\int_{\tau0}^{\tau1}d\tau\int_0^{\sigma1}d\sigma\frac{\partial}{\partial\sigma}(P^\sigma_\mu\delta X^\mu)=\int_{\tau0}^{\tau1}d\tau\Big[P^\sigma_\mu\delta X^\mu\Big]_{0}^{\sigma1}=0$$$$P_\mu^\sigma(\tau,0)=P_\mu^\sigma(\tau,\sigma_1)=0$$

従って、作用の変分(1)は以下になります。

$$\delta S=-\int_{\tau0}^{\tau1}d\tau\int_0^{\sigma1}d\sigma\Big(\frac{\partial P_\mu^\tau}{\partial\tau}+\frac{\partial P_\mu^\sigma}{\partial \sigma}\Big)\delta X^\mu$$

これが $\delta X$ によらず０になる必要があるため、運動方程式②が得られます。

弦の運動量

ラグラジアンの対称性による保存量（カレント）の概念を、弦の世界面に対して適用します。「ラグラジアン密度の対称性」で用いた作用の定義

$$S=\int{\mathcal L}\Big(\phi^\mu(q),\partial_a\phi^\mu(q)\Big)dq^0\cdots dq^d$$$$\partial_a\phi^\mu\equiv\frac{\partial\phi^\mu}{\partial q^a}$$

に対して、以下のように、場の変数 $\phi^\mu$ を弦の座標 $X^\mu$ に、座標 $q^a$ を弦の世界面（２次元）に対応を行うと、

$$\phi^\mu　\to　X^\mu$$$$(q^0,\cdots,q^d)　\to　(\tau,\sigma)$$

以下の南部・後藤の作用が得られます。

$$S=\int{\mathcal L}(\partial_\tau X^\mu,\partial_\sigma X^\mu)d\tau d\sigma$$

弦の世界面上のカレント

「ラグラジアン密度の対称性」で定義したカレントを弦の世界面に適用すると、定義より、（③④を導く）

$$J_\mu^\tau=\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_\tau X^\mu)}=P_\mu^\tau　　－③$$$$J_\mu^\sigma=\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_\sigma X^\mu)}=P_\mu^\sigma　　－④$$

このカレントの保存則は以下で表されます。これは、①であることが分かります。

$$\partial_a J_\mu^a=\frac{\partial P_\mu^\tau}{\partial\tau}+\frac{\partial P_\mu^\sigma}{\partial\sigma}=0　　-⑤$$

弦の世界面上のチャージ

「ラグラジアン密度の対称性」で定義したチャージは、カレントの第０成分を空間積分することで得られますが、

$$Q_\mu=\int J_\mu^0dq^1\cdots dq^d$$

弦の世界面に適用すると、チャージは弦の運動量 $p_\mu$ に相当します。

$$p_\mu(\tau)=\int_0^{\sigma1}P_\mu^\tau(\tau,\sigma)d\sigma　　－⑥$$

この弦の運動量は、次のように一般化することができ、（⑦を導く）

$$p_\mu=\int_c(P_\mu^\tau d\sigma-P_\mu^\sigma d\tau)　　－⑦$$

以下のような保存則が成り立ちます。ここでは静的ゲージ $\tau=t$ を選択しています。（⑧を導く）

$$\frac{dp_\mu}{d\tau}=\frac{dp_\mu}{dt}=0　　-⑧$$

③④の導出

カレントの定義式は以下であるため、

$$\epsilon^\mu J_\mu^a\equiv\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_a\phi)}\delta\phi$$

ここで $\tau$ 成分について考え、 $\phi\to X^\mu$、$\delta\phi=\delta X^\mu=\epsilon^\mu$（$\epsilon^\mu$ は定数）と置き替えると、

$$\epsilon^\mu J_\mu^\tau=\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\dot{X}^\mu}\epsilon^\mu$$

さらに、$\dot{X}^\mu$ の共役変数 $P_\mu^\tau$ は以下で定義されるため、

$$P^\tau_\mu\equiv\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\dot{X}^\mu}$$

これらより③が導かれます。また、$\sigma$ 成分も同様にして、④を導くことができます。

⑦の導出

⑥と⑦が等しいことを示します。まず、２次元の発散定理は以下であるため、

$$\oint(A^xdy-A^ydx)=\int_S\Big(\frac{\partial A^x}{\partial x}+\frac{\partial A^y}{\partial y}\Big)dxdy$$

これは①より、以下のように書き換えることができます。

$$\oint(P_\mu^\tau d\sigma-P_\mu^\sigma d\tau)=\int\Big(\frac{\partial P_\mu^\tau}{\partial\tau}+\frac{\partial P_\mu^\sigma}{\partial\sigma}\Big)d\tau d\sigma=0　　－(3)$$

左辺の積分を、下図のような世界面上（$\tau,\sigma$）の閉領域の積分（$a\to b\to c\to d$）と考えます。ここで、経路 $c$ は端点（$\sigma=0,\sigma=\sigma_1$）を結ぶ任意の経路です。

このとき、(3)は以下のように書き換えられます。

$$0=\oint(P_\mu^\tau d\sigma-P_\mu^\sigma d\tau)$$$$=\Big(-\int_a+\int_b+\int_c-\int_d\Big)(P_\mu^\tau d\sigma-P_\mu^\sigma d\tau)$$

経路 $b,d$ 上では $d\sigma=0$、さらに自由端点の境界条件

$$P_\mu^\sigma(\tau,0)=P_\mu^\sigma(\tau,\sigma_1)=0　　-⑨$$

を使うと、経路 $b,d$ 上の積分は０になります。また、$a$ 上では $d\tau=0$であるため、(3)は以下のように簡略化されます。

$$0=-\int_aP_\mu^\tau d\sigma+\int_c(P_\mu^\tau d\sigma-P_\mu^\sigma d\tau)$$

この結果より⑦が得られることが分かります。

$$\int_0^{\sigma_1}P_\mu^\tau d\sigma=\int_c(P_\mu^\tau d\sigma-P_\mu^\sigma d\tau)$$

⑧の導出

⑧の左辺に⑥と⑤を代入すると、

$$\frac{dp_\mu}{d\tau}=\int_0^{\sigma1}\frac{dP_\mu^\tau}{d\tau}d\sigma$$$$=-\int_0^{\sigma1}\frac{dP_\mu^\sigma}{d\sigma}d\sigma=\Big[P_\mu^\sigma\Big]_0^{\sigma_1}$$

自由端点の境界条件⑨を使うと以下になり、$p_\mu$ が保存されることが得られます。

$$\frac{dp_\mu}{d\tau}=0$$

ローレンツ対称性

カレントの定義式で $J_\mu^a\to J_{\mu\nu}^a$ と置き、④と⑨より、

$$\epsilon^{\mu\nu}J_{\mu\nu}^a=\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_aX^\mu)}\delta X^\mu=P_\mu^a\epsilon^{\mu\nu}X_\nu$$

また、無限小の線形変換は無限小の定数 $\epsilon^{\mu\nu}$ により、

$$X^\mu\to X^\mu+\delta X^\mu=X^\mu+\epsilon^{\mu\nu}X_\nu　　-⑨$$

相対論的な弦はローレンツ不変の要請 $\delta(\eta_{\mu\nu}X^\mu X^\nu)=0$ より、$\epsilon^{\mu\nu}$ は反対称となるため（導出）、$J_{\mu\nu}^a$ が反対称になるように置き換えます。

$$\epsilon^{\mu\nu}J_{\mu\nu}^a=-\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu}(X_\mu P_\nu^a-X_\nu P_\mu^a)$$

ローレンツ･カレント

ローレンツ･カレントは以下で定義され、

$$M_{\mu\nu}^a\equiv X_\mu P_\nu^a-X_\nu P_\mu^a$$

カレントの対称性と保存則は以下で表されます。

$$M_{\mu\nu}^a=-M_{\nu\mu}^a$$$$\frac{\partial M_{\mu\nu}^a}{\partial\tau}+\frac{\partial M_{\mu\nu}^a}{\partial\sigma}=0$$

ローレンツ･チャージ

ローレンツ･チャージは以下で定義され、$\tau$ は一定と置きます。

$$M_{\mu\nu}^a\equiv\int(M_{\mu\nu}^\tau d\sigma-M_{\mu\nu}^\sigma d\tau)$$$$=\int_{\tau=\mathrm{const}}M_{\mu\nu}^\tau(\tau,\sigma)d\sigma=\int(X_\mu P_\nu^\tau-X_\nu P_\mu^\tau)d\sigma$$

チャージの対称性は以下で表されます。

$$M_{\mu\nu}=-M_{\nu\mu}$$

反対称性の証明

ローレンツ不変性の要請と⑨より、

$$0=\delta(\eta_{\mu\nu}X^\mu X^\nu)=2\eta_{\mu\nu}(\delta X^\mu)X^\nu=2\eta_{\mu\nu}(\epsilon^{\mu\rho}X_\rho)X^\nu=2\epsilon^{\mu\rho}X_\rho X_\mu$$

$\epsilon_{\mu\nu}$ の対称な部分と反対称な部分に分けると、反対称な部分は互いに打ち消すため寄与はなく、対称な部分は上式の要請より０になることが分かります。従って、$\epsilon_{\mu\nu}$ が反対称になることが分かります。

$$\epsilon_{\mu\nu}=-\epsilon_{\nu\mu}$$

パラメータ付け

弦の世界面について、適当なパラメータ付けと制約条件を設けることで、相対論的弦の運動方程式は波動方程式に帰着します。ここでは、以下の仮定を置きます。$P(\tau,\mu)$ は弦の運動量密度、$n_\mu$ は超平面の法線を表します。

弦の座標 $X(\tau,\mu)$ の線形結合は $\tau$ に等しい。
$$n_\mu X(\tau,\mu)\propto\tau$$
開弦の端点において $n\cdot P^\sigma=0$ とする。

静的ゲージを一般化した以下のようなパラメータ付けを行います。尚、開弦の場合 $\beta=2$ 、閉弦の場合 $\beta=1$ となります（⑩の導出）（⑪の導出）（⑫の導出）。

$$n\cdot X=\beta\alpha(n\cdot p)\tau　　-⑩$$$$n\cdot p=\frac{2\pi}{\beta}(n\cdot P^\tau)　　-⑪$$$$n\cdot P^\sigma=0　　-⑫$$

また、$\alpha$ は勾配パラメータ、

$$\alpha=\frac{1}{2\pi T_0\hbar c}$$

$p$ は世界面上の保存量、

$$p^\mu(\tau)=\int P^{\tau\mu}(\tau,\sigma)d\sigma　　-⑥$$

そして、弦の運動量密度は以下になります。尚、以下は自然単位系（$c=\hbar=1$）を使っています。

$$P^{\tau\mu}=-\frac{1}{2\pi\alpha}
\frac{(\dot{X}\cdot X’)X^{\mu’}-X’^2\dot{X}^\mu}{\sqrt{(\dot{X}\cdot X’)^2-\dot{X}^2X’^2}}　　-⑭$$$$P^{\sigma\mu}=-\frac{1}{2\pi\alpha}
\frac{(\dot{X}\cdot X’)\dot{X}^\mu-\dot{X}^2X^{\mu’}}{\sqrt{(\dot{X}\cdot X’)^2-\dot{X}^2X’^2}}　　-⑮$$

パラメータ付けにより、以下の制約条件が得られます（⑯の導出）（⑰の導出）。

$$\dot{X}\cdot X’=0　　-⑯$$$$\dot{X}^2+X’^2=0　　-⑰$$

⑦と⑧をまとめて次のように表すこともできます。

$$(\dot{X}\pm X’)^2=0$$

⑩の導出

⑬の両辺に $n$ のスカラー積をとって、$\tau$ で微分します。

$$\frac{d}{d\tau}(n\cdot p)=\int\frac{\partial}{\partial\tau}(n\cdot P^{\tau})d\sigma$$

運動方程式⑳を代入し、積分すると、仮定２より右辺は０になります。

$$\frac{d}{d\tau}(n\cdot p)=-\int\frac{\partial}{\partial\sigma}(n\cdot P^{\sigma})d\sigma=-\Big[n\cdot P^{\sigma}\Big]_{\sigma1}^{\sigma2}=0$$

従って、$n\cdot p$ は一定値になるため、仮定１と合せて次の関係式を仮定します。ここで、自然単位系を使うと、$\tau$ と $\sigma$ は無次元になります。

$$n\cdot X=\lambda(n\cdot p)\tau$$

尚、$\lambda$ は定数ですが、$\tau$ は単位を持たないため、距離を運動量で（速度を力で）割った次元（$M^{-1}T$）を持つことが分かります。従って、$\lambda$ を以下のように置きます。

$$\lambda\sim\frac{c}{T_0}=2\pi\alpha\hbar c$$

自然単位系であるため、$\lambda=2\alpha$ で定義すると、開弦の場合の⑩が得られます。

$$n\cdot X=2\alpha(n\cdot p)\tau　　\to⑩$$

⑪の導出

⑭により、$P^\mu$ は $\sigma$ のパラメータの付け替えに対し、$d/d\sigma$ のように変換するため、以下のように表すことができます。

$$P^\tau(\tau,\sigma)=\frac{d\sigma’}{d\sigma}P^\tau(\tau,\sigma’)$$$$n\cdot P^\tau(\tau,\sigma)=\frac{d\sigma’}{d\sigma}n\cdot P^\tau(\tau,\sigma’)$$

$n\cdot P^\tau$ が $\sigma’$ に依存している場合、パラメータ付けにより、$n\cdot P^\tau$ が $\sigma$ に依存しないよう $\sigma$ を選ぶことができます。従って、次のように置くことができ、

$$a(\tau)\equiv n\cdot P^\tau(\tau,\sigma)$$

この両辺を $0\le\sigma\le\pi$ で積分すると、⑬より、

$$\pi a(\tau)=\int_0^\pi n\cdot P^\tau(\tau,\sigma)d\sigma=n\cdot p$$

これ上の式に代入すると、開弦の場合の②が求められます。

$$n\cdot P^\tau(\tau,\sigma)=\frac{n\cdot p}{\pi}　　\to⑪$$

⑫の導出

運動方程式⑩に対し $n$ のスカラー積をとると、

$$\frac{\partial}{\partial\tau}(n\cdot P^\tau)+\frac{\partial}{\partial\sigma}(n\cdot P^\sigma)=0$$

⑪により第１項は０になるため、

$$\frac{\partial}{\partial\sigma}(n\cdot P^\sigma)=0$$

仮定２により、開弦の端点で０になるため、少なくとも開弦では端点以外でも $n\cdot P^\sigma=0$ が成り立ちます。

⑯の導出

⑮の両辺で $n$ とスカラー積をとり、

$$n\cdot P^{\sigma}=-\frac{1}{2\pi\alpha}
\frac{(\dot{X}\cdot X’)\partial_\tau(n\cdot X)-\dot{X}^2\partial_\sigma(n\cdot X)}{\sqrt{(\dot{X}\cdot X’)^2-\dot{X}^2X’^2}}$$

⑩より $\partial_\sigma(n\cdot X)=0$ であるから、

$$n\cdot P^{\sigma}=-\frac{1}{2\pi\alpha}
\frac{(\dot{X}\cdot X’)\partial_\tau(n\cdot X)}{\sqrt{(\dot{X}\cdot X’)^2-\dot{X}^2X’^2}}$$

一方、⑩より $\partial_\tau(n\cdot X)\ne0$ であり、⑫より $n\cdot P^\sigma=0$ であるため、

$$\dot{X}\cdot X’=0　　\to⑯$$