マクスウェル方程式とは
マクスウェル方程式とは、電場と磁場の振る舞いを記述する４本の方程式（①～④）であり、古典的な電磁場を記述する基礎方程式です。1864年にマクスウェルにより提示されました。
ガウスの法則
１つ目は、電場のガウスの法則で、電場を閉曲面上で積分すると閉曲面内の電荷に等しくなるという法則です。電場のガウスの法則を微分形式で書くと以下になります。${\bf D}$ は電束密度、$\rho$ は電荷密度です。
$$\nabla\cdot{\bf D}=\rho －①$$
２つ目は、磁束の保存を表すガウスの法則です。磁場の場合にも同様の法則が成立ちますが、磁場の場合には”磁荷”は存在しないため、閉曲面上の積分は常に０となります。磁場のガウスの法則を微分形式で書くと以下になります。${\bf B}$ は磁束密度です。
$$\nabla\cdot{\bf B}=0 －②$$
①を導く
電場（電束密度）は以下で表されますが、
$${\bf D}=\frac{1}{4\pi}\frac{q}{r^2}\frac{{\bf r}}{r}$$
これを閉曲面 $S$ 上で積分し、ガウスの発散定理を使うと以下になります。これは、閉曲面から出ていく流束が、内部の発散の総和に等しいことを表します。
$$q=\oint_S{\bf D}\cdot d{\bf S}=\int_V\nabla\cdot{\bf D}dV$$
また、$q$ は閉曲面内の電荷の総量であるため、電荷密度 $\rho$ の体積積分で表されます。
$$\int_V\rho dV=q$$
これらより、以下の電場のガウスの法則が得られます。
$$\int_V\nabla\cdot{\bf D}dV=\int_V\rho dV$$
②を導く
磁場（磁束密度）は以下で表されます。ここで、磁荷 $M$（Ｎ極やＳ極だけの単独の存在）は仮想上のもので、電荷のような吹き出し口（プラス電荷）や吸い込み口（マイナス電荷）は存在しません。
$${\bf B}=\frac{1}{4\pi}\frac{M}{r^2}\frac{{\bf r}}{r}$$
磁荷は存在しないため、磁束密度を閉曲面 $S$ 上で積分すると常に０となり、ガウスの発散定理を使うと以下になります。これは、閉曲面から出ていく流束が、内部の発散の総和に等しいことを表します。
$$0=\oint_S{\bf B}\cdot d{\bf S}=\int_V\nabla\cdot{\bf B}dV$$
これらより、磁場のガウスの法則が得られます。
ファラデーの法則
３つ目は、電磁誘導を表すファラデーの法則です。${\bf E}$ は電場の強さです。マイナス符号は、誘導電場が磁束変化を打ち消す向きに発生することを意味します（レンツの法則）。
$$\nabla\times{\bf E}=-\frac{\partial{\bf B}}{\partial t} －③$$
アンペールの法則
４つ目は、電流と磁場の関係を表すアンペールの法則です。${\bf H}$ は磁場の強さ、右辺第１項は変位電流です。
$$\nabla\times{\bf H}=\frac{\partial{\bf D}}{\partial t}+{\bf J} －④$$
電磁場の関係式
ここで、電場の強さと電束密度の関係は以下で表されます。電束密度は媒質の性質を吸収した電場の物理量です。尚、$\epsilon_0$ は真空の誘電率、${\bf P}$ は物質中の電気分極です。
$${\bf D}=\epsilon{\bf E}=\epsilon_0{\bf E}+{\bf P}$$
また、磁場の強さと磁束密度の関係は以下で表されます。磁束密度は媒質の性質を吸収した磁場の物理量です。尚、$\mu_0$ は真空の透磁率、${\bf M}$ は物質中の磁気分極です。
$${\bf B}=\mu{\bf H}=\mu_0{\bf H}+{\bf M}$$
さらに、電場と電流の間にはオームの法則が成り立ちます。$\sigma$ は伝導率です。
$${\bf J}=\sigma{\bf E}$$
真空中のマクスウェル方程式
真空中では電荷や電流が０となり、電気分極や磁気分極も存在しないため、
$${\bf D}=\epsilon_0{\bf E}$$$${\bf B}=\mu_0{\bf H}$$
この場合、マクスウェル方程式は以下になります。
$$\nabla\cdot{\bf E}=0$$$$\nabla\cdot{\bf H}=0$$$$\nabla\times{\bf E}=-\mu_0\frac{\partial{\bf H}}{\partial t}$$$$\nabla\times{\bf H}=\epsilon_0\frac{\partial{\bf E}}{\partial t}$$
電荷の保存則
電荷の保存則（連続の式）とは、ある閉領域内の電荷の変化は、その閉領域を出入りする電流の和に等しいとする法則です。電荷の保存則は、マクスウェル方程式より得られる重要な結果の１つで、以下で表されます。
$$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot{\bf J}=0 -⑤$$
これは、④の両辺の分散（$\nabla\cdot$）をとり、ベクトル公式（$\nabla\cdot\nabla\times{\bf H}=0$）と①を使うことで得られます。
ポテンシャル
②の発散が０のベクトル場は、ベクトル場 ${\bf A}$（ベクトルポテンシャル）の回転で表すことができるため、
$${\bf B}=\nabla\times{\bf A} -⑥$$
これを③に代入すると、
$$\nabla\times\Big({\bf E}+\frac{\partial{\bf A}}{\partial t}\Big)=0$$
回転が０のベクトル場は、スカラー場 $\phi$（スカラーポテンシャル）の勾配で表すことができるため、
$${\bf E}+\frac{\partial{\bf A}}{\partial t}=-\nabla\phi -⑦$$
ゲージ変換
ゲージ変換とは、電場 ${\bf E}$ と磁場 ${\bf B}$ を不変に保つ範囲でのポテンシャルの変換 $(\phi,{\bf A})\to(\phi’,{\bf A}’)$ で、
$${\bf B}=\nabla\times{\bf A}=\nabla\times{\bf A}’$$$${\bf E}=\frac{\partial{\bf A}}{\partial t}+\nabla\phi=\frac{\partial{\bf A}’}{\partial t}+\nabla\phi’$$
スカラー $u$ により以下のように表されます。
$$\phi=\phi’+\frac{\partial u}{\partial t}$$$${\bf A}={\bf A}’-\nabla u$$
ローレンツ条件
ローレンツ条件とは、適当にスカラー $u$ を選ぶことにより得られるポテンシャルです。ローレンツ条件は、ポテンシャルの自由度（ゲージ自由度）を固定するための条件です。
$$\epsilon\mu\frac{\partial\phi}{\partial t}+\nabla\cdot{\bf A}=0$$
ローレンツ条件を使って、⑥⑦を①に代入すると、
$$\nabla^2\phi-\epsilon\mu\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}=-\frac{\rho}{\epsilon} -⑧$$
⑥⑦を④に代入すると以下が得られます。
$$\nabla^2{\bf A}-\epsilon\mu\frac{\partial^2{\bf A}}{\partial t^2}=-\mu{\bf J} -⑨$$
これら⑥～⑨はローレンツ条件の下、マクスウェル方程式と等価になります。尚、ローレンツ条件をゲージ変換に対し不変に保つためのスカラー $u$ の条件は以下で表されます。
$$\nabla^2u-\epsilon\mu\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=0$$
