ポアソンの状態方程式とは

/熱・統計力学

ポアソンの状態方程式とは

ポアソンの状態方程式は、理想気体を断熱条件の下で、準静的に変化させた場合の圧力 $p$ と体積 $V$ の関係を表します。

$$pV^\gamma=\mathrm{const}  -①$$

ここで、定数 $\gamma$ は定圧比熱 $C_p$ と定積比熱 $C_V$ と比で表されます。

$$\gamma\equiv\frac{C_p}{C_V}$$$$C_V\equiv\Big(\frac{\delta Q}{\partial T}\Big)_V$$$$C_p\equiv\Big(\frac{\delta Q}{\partial T}\Big)_p$$

尚、特に粒子密度 $\rho$ と体積の積が一定(粒子数が一定)であると仮定すると、ポアソンの状態方程式は下記のように書くこともできます。$\rho V=\mathrm{const}$ より、

$$p\rho^{-\gamma}=\mathrm{const}$$

以下、ポアソンの状態方程式を導くため、次の理想気体の状態方程式と、

$$pV=RT  -②$$

熱力学の第1法則を前提とします。

$$dU=\delta Q-pdV  -③$$

ポアソンの状態方程式を導く

比熱の定義式に③を代入すると、

$$C_V=\Big(\frac{\partial U}{\partial T}\Big)_V$$$$C_p=\Big(\frac{\partial U}{\partial T}\Big)_V+p\Big(\frac{\partial V}{\partial T}\Big)_p=C_V+p\Big(\frac{\partial V}{\partial T}\Big)_p$$

従って、これと②より、

$$C_p-C_V=p\Big(\frac{\partial V}{\partial T}\Big)_p=R  -(1)$$

一方、$Q$ の微分をとり、③を使うと、

$$\delta Q=\Big(\frac{\delta Q}{\partial T}\Big)_VdT+\Big(\frac{\delta Q}{\partial V}\Big)_TdV$$$$=C_VdT+pdV$$

ここで断熱変化 $\delta Q=0$ であるから、

$$C_VdT+pdV=0  -(2)$$

次に、②の微小変化をとり、(2) と (1) を順次利用すると、

$$pdV+Vdp=RdT=-\frac{pR}{C_V}dV$$$$=\Big(1-\frac{C_p}{C_V}\Big)pdV$$$$\frac{dp}{p}+\frac{C_p}{C_V}\frac{dV}{V}=0$$

これを積分すると①が得られます。

$$\ln{p}+\frac{C_p}{C_V}\ln{V}=\ln{\Big(pV^{C_p/C_V}\Big)}=\mathrm{const}$$

 

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