波動方程式とは

/連続体力学

波動方程式

波動方程式とは、音波や電磁波などの波動現象を記述するための方程式です。長さ $L$、線密度 $\rho$ の弦が、$x$ 軸方向に張力 $T$ で張られている弦の波動(振幅 $y$)を表す波動方程式は以下で表されます。

$$\frac{\partial^2y}{\partial x^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2y}{\partial t^2}  -①$$$$c=\sqrt{\frac{T}{\rho}}$$

波動方程式の導出

ニュートンの運動方程式 $F=ma$ を基に考えます。この右辺は、弦の素片 $\Delta x$ と、$y$ 軸方向の変位の加速度により、

$$ma=\rho\Delta x\frac{\partial^2y}{\partial t^2}$$

弦の素片に働く力は、その両端の張力の差になります。弦の方向と軸のなす角度を $\theta$ とすると、$\sin{\theta}\cong\Delta y/\Delta x$ であり、$\Delta x\to0$ とすると、

$$F=T\sin{\theta’}-T\sin{\theta}$$$$\cong T\frac{\Delta y}{\Delta x}(x+\Delta x)-T\frac{\Delta y}{\Delta x}(x)$$$$\cong T\Delta x\frac{\partial^2y}{\partial x^2}$$

最後はテイラー展開を使いました。これらにより、ニュートン運動方程式は以下になります。

$$T\Delta x\frac{\partial^2y}{\partial x^2}=\rho\Delta x\frac{\partial^2y}{\partial t^2}$$

波の一般解

この波動方程式の一般解は以下で表されます。

$$y(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)$$$$=f(kx-\omega t)+g(kx+\omega t)$$

ここで、$v$ は波の速度(位相速度)、$\omega$ は角振動数、$k$ は波数、$\nu$ は振動数、$\lambda$ は波長です。それぞれの関係は以下になります。

$$c=\frac{\omega}{k}=\nu\lambda  -②$$$$\omega=2\pi\nu  ,  k=\frac{2\pi}{\lambda}$$

境界条件

弦の両端が固定端の場合は、

$$y(0,t)=y(L,t)=0  -③$$

弦の振動は、固有振動の重ね合わせとして表すことができます。

$$y(x,t)=\sum_{n=1}^\infty A_n\sin{\frac{n\pi x}{L}}\sin{\Big(\frac{n\pi ct}{L}+\alpha_n\Big)}$$

導出

境界条件より、任意の波形は以下のフーリエ級数で表すことができます。

$$y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n\sin{\frac{n\pi x}{L}}$$

これを①に代入すると以下になります。

$$\frac{d^2a_n}{dt^2}+\Big(\frac{n\pi c}{L}\Big)^2a_n=0$$$$a_n=A_n\sin{\Big(\frac{n\pi ct}{L}+\alpha_n\Big)}$$

群速度

群速度とは、波の重ね合わせにより生じる「うねり」の速度です。波がエネルギーを運ぶ速度は群速度になります。

角振動数と波数の近い2つの波を重ね合わせると、

$$y=A[\sin{(\omega_1t-k_1x)}+\sin{(\omega_2t-k_2x)}]$$$$=2A\sin{\Big(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t-\frac{k_1+k_2}{2}x\Big)}\cos{\Big(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t-\frac{k_1-k_2}{2}x\Big)}$$

これは波長の短い波($\omega_1+\omega_2$ と $k_1+k_2$)の振幅が、波長の長い波($\omega_1-\omega_2$ と $k_1-k_2$)の周期で振動しているように見えます。この長い波長の波を「うねり」と呼びます。このとき群速度は以下で表されます。

$$v=\frac{\omega_1-\omega_2}{k_1-k_2}=\frac{d\omega}{dk}$$

 

古典物理
力学、連続体力学、電磁気学、波動・光学、相対論、熱力学、物理化学
散策路TOP
力学、電磁気・相対論、熱・統計力学、量子力学、物性物理、機械学習、情報処理、金融、物理数学

 

タイトルとURLをコピーしました