開弦のモード展開
弦の波動方程式の解は、周期的になるため、フーリエ級数で展開（モード展開）することができます。弦の座標を $X(\tau,\sigma)$ とすると、弦の波動方程式は、
$$\frac{\partial^2X^\mu}{\partial\tau^2}-\frac{\partial^2X^\mu}{\partial \sigma^2}=0$$
この一般的な解は、任意の関数 $f,g$ により、以下で表すことができます。
$$X^\mu(\tau,\sigma)=\frac{1}{2}\Big(f^\mu(\tau+\sigma)+g^\mu(\tau-\sigma)\Big)\tag{1}$$
自由端の境界条件（$P^{\sigma\mu}=0$）の場合、
$$\frac{\partial X^\mu}{\partial\sigma}(\tau,0)=\frac{\partial X^\mu}{\partial\sigma}(\tau,\pi)=0\tag{2}$$
となるため、波動方程式の一般解は以下で表されます。（(3)の導出）
$$X^\mu(\tau,\sigma)=x_0^\#s240-1mu+\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^\mu\tau+i\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\ne0}\frac{\alpha_n^\mu}{n}e^{-in\tau}\cos{n\sigma}\tag{3}$$$$(\alpha_n^\mu)^\dagger=\alpha_{-n}^\mu$$
ここで、$x_0^\mu$ は定数、$\alpha_0^\mu$ は以下で定義されます。
$$\alpha_0^\mu=\sqrt{2\alpha’}p^\mu\tag{4}$$
$$\alpha_{\pm n}^\mu\propto \frac{n}{\sqrt{\alpha’}}$$$$\alpha_{-n}^\mu=\alpha_n^{\mu*}$$
この導関数の線形結合は $\sigma\in[0,\pi]$ において以下になります。（(5)の導出）
$$(\dot{X}^\mu\pm X^{\mu’})(\tau,\sigma)=\sqrt{2\alpha’}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\alpha_n^\mu e^{-in(\tau\pm\sigma)}\tag{5}$$
(3)の導出
(1) に境界条件 (2)（$\sigma=0$）を適用すると、
$$f^{\mu’}(\tau)=g^{\mu’}(\tau)$$
従って、$f$ と $g$ は定数分のみ差と考えられるため、(1) で $f^\mu=g^\mu$ とすると、
$$X^\mu(\tau,\sigma)=\frac{1}{2}\Big(f^\mu(\tau+\sigma)+f^\mu(\tau-\sigma)\Big)\tag{3a}$$
これに境界条件 (2)（$\sigma=\pi$）を適用すると、
$$f^{\mu’}(\tau+\pi)=f^{\mu’}(\tau-\pi)$$
となるため、$f^{\mu’}$ は $2\pi$ の周期関数であることが分かります。そのため、フーリエ展開することができます。
$$f^{\mu’}(u)=f_1^\mu+\sum_{n=1}^\infty(A_n^\mu\cos{nu}+B_n^\mu\sin{nu})\tag{3b}$$
(3b) を積分して、改めて定数 $A,B$ を書き直すと、
$$f^{\mu}(u)=f_0^\mu+f_1^\mu u+\sum_{n=1}^\infty(A_n^\mu\cos{nu}+B_n^\mu\sin{nu})$$
(3a) に代入すると、
$$X^\mu(\tau,\sigma)=f_0^\mu+f_1^\mu\tau+\sum_{n=1}^\infty(A_n^\mu\cos{n\tau}+B_n^\mu\sin{n\tau})\cos{n\sigma}\tag{3c}$$
弦の運動量密度は、(3c) より、
$$P^{\tau\mu}=\frac{1}{2\pi\alpha’}\dot{X}^\mu=\frac{1}{2\pi\alpha’}f_1^\mu+\cdots$$
これより、弦の全運動量は以下になります。尚、２項以降の積分は０になります。
$$p^\mu=\int_0^\pi P^{\tau\mu}d\sigma=\frac{1}{2\pi\alpha’}\pi f_1^\mu$$
これと、定数部を $f_0^\mu=x_0^\mu$ と置くことにより、(3c) は、
$$X^\mu(\tau,\sigma)=x_0^\mu+2\alpha’p^\mu\tau+\sum_{n=1}^\infty(A_n^\mu\cos{n\tau}+B_n^\mu\sin{n\tau})\cos{n\sigma}\tag{3d}$$
この第３項を書き換えると、
$$A_n^\mu\cos{n\tau}+B_n^\mu\sin{n\tau}=-\frac{i}{2}\Big((B_n^\mu+iA_n^\mu)e^{in\tau}-(B_n^\mu-iA_n^\mu)e^{-in\tau}\Big)$$$$=-\frac{i\sqrt{2\alpha’}}{n}(\alpha_{-n}^\mu e^{in\tau}-\alpha_n^\mu e^{-in\tau})$$
最後は、新たな変数 $\alpha_{\pm n}^\mu$ を導入しています。
$$\alpha_{\pm n}^\mu\equiv\frac{n}{2\sqrt{2\alpha’}}(B_n^\mu\mp iA_n^\mu)$$
従って、これと (4) と使うと、(3d) は、
$$X^\mu(\tau,\sigma)=x_0^\mu+\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^\mu\tau-i\sqrt{2\alpha’}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}(\alpha_{-n}^\mu e^{in\tau}-\alpha_n^\mu e^{-in\tau})\cos{n\sigma}$$
第３項の和の正負を１つにまとめると、(3) が得られます。
$$X^\mu(\tau,\sigma)=x_0^\mu+\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^\mu\tau+i\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\ne0}\frac{\alpha_n^\mu}{n}e^{-in\tau}\cos{n\sigma} \to(3)$$
(5)の導出
(3) を $\tau$ と $\sigma$ でそれぞれ微分すると、
$$\dot{X}^\mu=\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^\mu+\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\ne0}\alpha_n^\mu e^{-in\tau}\cos{n\sigma}$$$$X^{\mu’}=-i\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\ne0}\alpha_n^\mu e^{-in\tau}\sin{n\sigma}$$
従って、これにより (5) が得られます。
$$\dot{X}^\mu\pm X^{\mu’}=\sqrt{2\alpha’}\Big(\alpha_0^\mu+\sum_{n\ne0}\alpha_n^\mu e^{-in(\tau\pm\sigma)}\Big)$$$$=\sqrt{2\alpha’}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\alpha_n^\mu e^{-in(\tau\pm\sigma)} \to(5)$$
演算子の交換関係
点粒子の場合の独立な力学変数は以下のように選ばれるため、
$$\Big(x^I,x_0^-,p^I,p^+\Big)$$
これからの類推で、ハイゼンベルグ演算子の組をそれぞれ以下のように選びます。尚、添え字の $I$ は横方向の成分を表します。
$$\Big(X^I(\tau,\sigma),x_0^-(\tau),P^{\tau I}(\tau,\sigma),p^+(\tau)\Big)$$
また、弦座標 $X^I(\tau,\sigma)$ と運動量密度 $P^{\tau I}(\tau,\sigma)$ の関係を表す弦の運動方程式は以下になります。
$$P^{\tau\mu}=\frac{1}{2\pi\alpha}\dot{X}^\mu\tag{6}$$$$P^{\sigma\mu}=-\frac{1}{2\pi\alpha}X^{\mu’}\tag{7}$$
弦の異なる点は互いに干渉しないとし、以下のような交換関係を仮定します。
$$[X^I(\tau,\sigma),P^{\tau J}(\tau,\sigma’)]\equiv i\eta^{IJ}\delta(\sigma-\sigma’)\tag{8}$$$$[x_0^-(\tau),p^+(\tau)]=-i$$$$\eta^{IJ}=
\left(\begin{array}{ccc} -1 & & & \\
& 1 & & \\
& & \ddots & \\
& & & 1 \end{array}\right)$$
それ以外の交換関係は基本的に０になります。
$$[X^I(\tau,\sigma),X^J(\tau,\sigma’)]=[P^{\tau I}(\tau,\sigma),P^{\tau J}(\tau,\sigma’)]=0\tag{9}$$$$[x_0^-(\tau),X^I(\tau,\sigma)]=[x_0^-(\tau),P^{\tau I}(\tau,\sigma)]=0$$$$[p^+(\tau),X^I(\tau,\sigma)]=[p^+(\tau),P^{\tau I}(\tau,\sigma)]=0$$
(9) の左辺の $X^I$ と $X^J$ を $\sigma$ と $\sigma’$ で微分し、(9) の中辺で (6) を使うと以下が得られます。
$$[X^{I’}(\tau,\sigma),X^{J’}(\tau,\sigma’)]=[\dot{X}^I(\tau,\sigma),\dot{X}^J(\tau,\sigma’)]=0\tag{10}$$
このとき、以下の交換関係が成り立ちます（(11)の導出）。
$$[(\dot{X}^I\pm X^{I’})(\tau,\sigma),(\dot{X}^J\pm X^{J’})(\tau,\sigma’)]=\pm4\pi\alpha’i\eta^{IJ}\frac{d}{d\sigma}\delta(\sigma-\sigma’)\tag{11}$$$$[(\dot{X}^I\pm X^{I’})(\tau,\sigma),(\dot{X}^J\mp X^{J’})(\tau,\sigma’)]=0\tag{12}$$
(11)を導く
(6) を (8) に代入すると、
$$[X^I(\tau,\sigma),\dot{X}^J(\tau,\sigma’)]=2\pi\alpha’i\eta^{IJ}\delta(\sigma-\sigma’)\tag{11a}$$
両辺を $\sigma$ で微分すると、
$$[X^{I’}(\tau,\sigma),\dot{X}^J(\tau,\sigma’)]=2\pi\alpha’i\eta^{IJ}\frac{d}{d\sigma}\delta(\sigma-\sigma’)\tag{11b}$$
負号が “$+$” の場合の (11) の左辺を計算すると、
$$[(\dot{X}^I+X^{I’})(\tau,\sigma),(\dot{X}^J+X^{J’})(\tau,\sigma’)]$$$$=[\dot{X}^I(\tau,\sigma),\dot{X}^J(\tau,\sigma’)]+[\dot{X}^I(\tau,\sigma),X^{J’}(\tau,\sigma’)]$$$$+[X^{I’}(\tau,\sigma),\dot{X}^J(\tau,\sigma’)]+[X^{I’}(\tau,\sigma),X^{J’}(\tau,\sigma’)]$$
この第１項と第４項は、(10) より０になります。第２項については、(11b) と、$\eta^{IJ}=\eta^{JI}$、$\delta(x)=\delta(-x)$ に留意すると、
$$-[X^{J’}(\tau,\sigma’),\dot{X}^I(\tau,\sigma)]=-2\pi\alpha’i\eta^{JI}\frac{d}{d\sigma’}\delta(\sigma’-\sigma)$$$$=-2\pi\alpha’i\eta^{IJ}\frac{d}{d\sigma’}\delta(\sigma-\sigma’)=2\pi\alpha’i\eta^{IJ}\frac{d}{d\sigma}\delta(\sigma-\sigma’)$$
第３項は (11b) になるため、これらを代入すると⑥の右辺の符号が “$+$” の場合が得られます。
$$[(\dot{X}^I+X^{I’})(\tau,\sigma),(\dot{X}^J+X^{J’})(\tau,\sigma’)]=4\pi\alpha’i\eta^{IJ}\frac{d}{d\sigma}\delta(\sigma-\sigma’)$$
一方、負号が “$-$” の場合の (11) の左辺を同様に計算すると、
$$[(\dot{X}^I-X^{I’})(\tau,\sigma),(\dot{X}^J-X^{J’})(\tau,\sigma’)]$$$$=[\dot{X}^I(\tau,\sigma),\dot{X}^J(\tau,\sigma’)]-[\dot{X}^I(\tau,\sigma),X^{J’}(\tau,\sigma’)]$$$$-[X^{I’}(\tau,\sigma),\dot{X}^J(\tau,\sigma’)]+[X^{I’}(\tau,\sigma),X^{J’}(\tau,\sigma’)]$$$$=-4\pi\alpha’i\eta^{IJ}\frac{d}{d\sigma}\delta(\sigma-\sigma’)$$
振動モードの交換関係
光円錐座標の場合は、$\sigma\in[0,\pi]$ で (5) は以下で表されます。
$$(\dot{X}^I\pm X^{I’})(\tau,\sigma)=\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\in Z}\alpha_n^Ie^{-in(\tau\pm\sigma)}\tag{13}$$
このとき、振動モードの交換関係は以下になります。（(14)の導出、(15)の導出）
$$[\alpha_m^I,\alpha_n^J]=m\eta^{IJ}\delta_{m+n,0}\tag{14}$$$$[x_0^I,\alpha_n^J]=\sqrt{2\alpha’}i\eta^{IJ}\delta_{n,0}\tag{15}$$
また、$n=0$ の場合、(4) により (15) は次のように書き替えられます。
$$[x_0^I,p^J]=i\eta^{IJ}\tag{16}$$
エルミート性
量子力学と同様に、座標と運動量の演算子はエルミート性を持ちます。
$$(x_0^I)^\dagger=x_0^I$$$$(p^I)^\dagger=p^I$$
また、振動モードの定義より、以下の関係が成り立ちます。
$$(\alpha_n^I)^\dagger=\alpha_{-n}^I$$
(14)を導く
(11) に (13) を代入すると、
$$\sum_{m’,n’\in Z}e^{-im'(\tau+\sigma)}e^{-in'(\tau+\sigma’)}[\alpha_{m’}^I,\alpha_{n’}^J]=2\pi i\eta^{IJ}\frac{d}{d\sigma}\delta(\sigma-\sigma’)$$
両辺に次の積分を行うと、
$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\sigma e^{im\sigma}\cdot\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\sigma’e^{in\sigma’}$$
左辺については、$m=m’$、$n=n’$ 以外は０になるので、
$$(\mathrm{左辺})=e^{-i(m+n)\tau}[\alpha_m^I,\alpha_n^J]\tag{14a}$$
右辺については、以下に留意すると、
$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\sigma’e^{in\sigma’}\delta(\sigma-\sigma’)=\frac{1}{2\pi}e^{in\sigma}$$
以下になります。
$$(\mathrm{右辺})=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\sigma e^{im\sigma}i\eta^{IJ}\frac{d}{d\sigma}e^{in\sigma}$$$$=-n\eta^{IJ}\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\sigma e^{i(m+n)\sigma}=-n\eta^{IJ}\delta_{m+n,0}\tag{14b}$$
(14a) と (14b) より、
$$e^{-i(m+n)\tau}[\alpha_m^I,\alpha_n^J]=-n\eta^{IJ}\delta_{m+n,0}$$
$n=-m$ の場合は、
$$[\alpha_m^I,\alpha_{-m}^J]=m\eta^{IJ}$$
右辺は $n\ne-m$ の場合は０であるため、
$$e^{-i(m+n)\tau}[\alpha_m^I,\alpha_n^J]=0$$
となるため、いずれも (14) が成り立つことが分かります。
(15)を導く
(11a) の両辺を $\sigma\in[0,\pi]$ で積分し、(3) を代入すると、
$$2\pi\alpha’i\eta^{IJ}\int_0^\pi d\sigma\delta(\sigma-\sigma’)=\int_0^\pi d\sigma[X^I(\sigma),\dot{X}^J(\sigma’)]$$
左辺のデルタ関数の積分は１になり、右辺の $X^I(\sigma)$ の三角関数の項は消えるため、
$$2\alpha’i\eta^{IJ}=[x_0^I+\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^I\tau,\dot{X}^J(\sigma’)]\tag{15a}$$
ここで、(14) と (3) より、
$$[\alpha_0^I,\alpha_0^J]=[\alpha_0^I,\alpha_n^J]=0$$$$\dot{X}^J(\sigma’)=\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^J+\sqrt{2\alpha’}\sum_{n’\ne0}\alpha_{n’}^Je^{-in’\tau}\cos{n’\sigma’}$$
これらを使うと (15a) の $\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^I\tau$ の項は０になるため、
$$\sqrt{2\alpha’}i\eta^{IJ}=\frac{1}{\sqrt{2\alpha’}}[x_0^I,\dot{X}^J(\sigma’)]$$$$=[x_0^I,\alpha_0^J]+\sum_{n’\ne0}[x_0^I,\alpha_{n’}^J]e^{-in’\tau}\cos{n’\sigma’}$$$$=[x_0^I,\alpha_0^J]+\sum_{n’=1}^\infty[x_0^I,\alpha_{n’}^Je^{-in’\tau}+\alpha_{-n’}^Je^{in’\tau}]\cos{n’\sigma’}\tag{15b}$$
これを $\frac{1}{\pi}\int_0^\pi d\sigma\cos{n\sigma}$ で積分すると、定数項である左辺と右辺第１項は０になり、右辺第２項は、
$$\frac{1}{\pi}\int_0^\pi d\sigma\cos{n\sigma}\cos{n’\sigma}=\frac{1}{2}\delta_{n’n}$$
に留意すると、
$$0=[x_0^I,\alpha_{n}^Je^{-in\tau}+\alpha_{-n}^Je^{in\tau}]=[x_0^I,\alpha_{n}^J]e^{-in\tau}+[x_0^I,\alpha_{-n}^J]e^{in\tau}$$
これより、$n\ne0$ の場合、上式が成り立つ条件は以下であるため、
$$[x_0^I,\alpha_{n}^J]=[x_0^I,\alpha_{-n}^J]=0\tag{15c}$$
また、$n=0$ の場合は、(15b) より、
$$\sqrt{2\alpha’}i\eta^{IJ}=[x_0^I,\alpha_0^J]+\sum_{n’=1}^\infty[x_0^I,\alpha_{n’}^Je^{-in’\tau}+\alpha_{-n’}^Je^{in’\tau}]\cos{n’\sigma’}$$$$=[x_0^I,\alpha_0^J]+\sum_{n’=1}^\infty\Big([x_0^I,\alpha_{n’}^J]e^{-in’\tau}+[x_0^I,\alpha_{-n’}^J]e^{in’\tau}\Big)\cos{n’\sigma’}$$
右辺の第２項は (15c) より０になるため、
$$\sqrt{2\alpha’}i\eta^{IJ}=[x_0^I,\alpha_0^J]$$
これと (15c) より (15) が成り立つことが分かります。
消滅・生成演算子
古典変数での振動モードと展開係数の関係（ $n\ge1$ ）
$$\alpha_n^\mu=a_n^\mu\sqrt{n} , \alpha_{-n}^\mu=a_n^{\mu*}\sqrt{n}$$
より、量子論へにおいては、エルミート共役な消滅演算子 $a_n^I$ と生成演算子 $a_n^{I\dagger}$ を以下のように定義します（ $n\ge1$ ）。
$$\alpha_n^I=a_n^I\sqrt{n} , \alpha_{-n}^I=a_n^{I\dagger}\sqrt{n}\tag{17}$$
このとき、これは以下の交換関係が成り立ちます（(18)(19)の導出）。
$$[a_m^I,a_n^J]=[a_m^{I\dagger},a_n^{J\dagger}]=0\tag{18}$$$$[a_m^I,a_n^{J\dagger}]=\delta_{m,n}\eta^{IJ}\tag{19}$$
(18)(19)を導く
(14)より、
$$[\alpha_m^I,\alpha_n^J]=m\eta^{IJ}\delta_{m+n,0}=m\eta^{IJ}\delta_{m,-n}$$
従って、
$$[\alpha_m^I,\alpha_{-n}^J]=m\eta^{IJ}\delta_{m,n}$$
$m$ と $n$ が異なる符号の場合、右辺は０になり、左辺の演算子の添え字は同じ符号となるため、(18) が得られます。
$$[a_m^I,a_n^J]=0$$
一方、$m$ と $n$ が正の符号の場合は、(17) を代入すると以下になります。
$$[\sqrt{m}a_m^I,\sqrt{n}a_n^{J\dagger}]=m\eta^{IJ}\delta_{m,n}$$
右辺は $m=n$ 以外は０になるため (19) が得られます。
