音波とは

/連続体力学

音波の波動方程式

音波とは、気体や液体、個体などに関わらず、物質の中を伝わる疎密波(縦波)です。

物質の微小部分の変位を $\xi(x,t)$ とした場合、連続体の運動方程式は以下で表されます。尚、$\rho$ は密度、$p$ は圧力です。

$$\rho\frac{\partial v}{\partial t}=-\frac{\partial p}{\partial x}  -①$$$$v=\frac{\partial\xi}{\partial t}$$

このとき、$c$ を波動の伝わる速さ(音速)とすると、音波の波動方程式は以下になります。

$$\frac{\partial^2p}{\partial x^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2p}{\partial t^2}  -②$$$$c=\sqrt{\frac{\kappa}{\rho}}$$

尚、$\kappa$ は体積断熱率で、圧力と体積変化の関係を表します。

$$\Delta p=-\kappa\frac{\Delta V}{V}$$

また、音速は比熱比 $\gamma$($=C_p/C_v$)を使って以下のように表すこともできます。

$$c=\sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}}  -③$$

②の導出

一辺が($\Delta x,1,1$)、体積が $V=\Delta x$ の微小部分を考えます。$x$ 軸方向の変位を $\xi$ とすると、

$$V+\Delta V=\Delta x+\xi(x+\Delta x)-\xi(x)=\Big(1+\frac{\partial\xi}{\partial x}\Big)\Delta x$$

$$\frac{\Delta V}{V}=\frac{\partial\xi}{\partial x}$$

これに体積弾性率を使うと、

$$p=-\kappa\frac{\partial\xi}{\partial x}$$

この両辺を時間で2回微分して、①を使うと以下になります。

$$\frac{\partial^2p}{\partial t^2}=\frac{\kappa}{\rho}\frac{\partial^2p}{\partial x^2}$$

③の導出

ポアソンの状態方程式より、

$pV^\gamma=\alpha$(定数)

これを、$p=\alpha V^{-\gamma}$ として両辺を $V$ で微分し、

$$\frac{dp}{dV}=-\alpha\gamma V^{-\gamma-1}=-\frac{\gamma p}{V}$$

体積断熱率の定義に代入すると、

$$\kappa=-\frac{\Delta p}{\Delta V/V}=\gamma p$$

音のエネルギー

波動方程式②の正弦波の解を以下で置くと、

$$p(x,t)=A\sin{k(x-ct)}$$

①に代入して積分すると、変位は以下になります。

$$\xi=\xi_0\cos{k(x-ct)}$$$$\xi_0\equiv\frac{A}{\rho c^2k}$$

波動のエネルギーは、周波数と振幅の2乗に比例するため、音のエネルギーは以下で表されます。

$$I=\frac{\rho\omega^2\xi_0^2c}{2}=\frac{A^2}{2\rho c}$$

 

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