太陽風のパーカー理論とは

/宇宙物理

パーカー理論

パーカー理論とは、太陽風の動的平衡を表した理論で、太陽風の存在を予言したことでも知られています。

動的平衡を仮定(時間微分の項は0)すると、流体の運動方程式は以下のように表されます。ここで流体とは電離した水素イオンガスで、$N$ は単位体積当たりの粒子数、$m$ は質量、$v$ は速度、$T$ は温度、$M$ は太陽の質量、$G$ は万有引力定数、$k$ はボルツマン係数です。

$$Nmv\frac{dv}{dr}+\frac{d}{dr}(NkT)+\frac{GMmN}{r^2}=0  -①$$

第1項は運動量の移動、第2項は密度勾配による外向きの力($p=NkT$)、第3項は重力による内向きの力をそれぞれ表します。

また、流体の質量の保存則に対応する式は以下になります。これは、ある立体角を単位時間に通過する粒子数が等しいことを表します。

$$Nvr^2=C(\mbox{一定})  -②$$

最終的に①は以下のように書き換えられます。ここで、音速を $c$、太陽表面($r=a$)での脱出速度を $u$ と置いています。

$$\Big(\frac{c^2}{v^2}-1\Big)\frac{dv}{dr}=\frac{au^2}{2vr^2}-\frac{2c^2}{rv}  -③$$

$dv/dr\gt0$ であるため、③の両辺の符号は一致します。

$$v\lt c  :  r_c\lt\frac{au^2}{4c^2}$$$$v\gt c  :  r_c\gt\frac{au^2}{4c^2}$$

以上より、太陽から一定距離 $r_c$ 離れると、太陽風の速度が音速を超えることが分かります。この距離を具体的に計算すると、温度100万度での音速は 170km/s、太陽の脱出速度は 617km/s であるため、

$$r_c=\frac{au^2}{4c^2}\cong3.3a$$

③を導く

②を①に代入して、$N$ を消します。

$$mv\frac{dv}{dr}+\frac{vr^2}{C}\frac{d}{dr}\Big(\frac{CkT}{vr^2}\Big)+\frac{GMm}{r^2}=0$$

次に音速 $c$ と、

$$c^2\sim\frac{p}{\rho}=\frac{kT}{m}$$

太陽表面での脱出速度 $u$ を代入すると、

$$\frac{1}{2}mu^2-\frac{GmM}{a}=0$$$$u^2=\frac{2GM}{a}$$

以下が得られます。

$$\frac{dv}{dr}+c^2r^2\frac{d}{dr}\Big(\frac{1}{vr^2}\Big)+\frac{au^2}{2vr^2}=0$$

これより③を得ることができます。

 

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