パーカー理論
パーカー理論とは、太陽風の動的平衡を表した理論で、太陽風の存在を予言したことでも知られています。
動的平衡を仮定（時間微分の項は０）すると、流体の運動方程式は以下のように表されます。ここで流体とは電離した水素イオンガスで、$N$ は単位体積当たりの粒子数、$m$ は質量、$v$ は速度、$T$ は温度、$M$ は太陽の質量、$G$ は万有引力定数、$k$ はボルツマン係数です。
$$Nmv\frac{dv}{dr}+\frac{d}{dr}(NkT)+\frac{GMmN}{r^2}=0 -①$$
第１項は運動量の移動、第２項は密度勾配による外向きの力（$p=NkT$）、第３項は重力による内向きの力をそれぞれ表します。
また、流体の質量の保存則に対応する式は以下になります。これは、ある立体角を単位時間に通過する粒子数が等しいことを表します。
$$Nvr^2=C(\mbox{一定}) -②$$
最終的に①は以下のように書き換えられます。ここで、音速を $c$、太陽表面（$r=a$）での脱出速度を $u$ と置いています。
$$\Big(\frac{c^2}{v^2}-1\Big)\frac{dv}{dr}=\frac{au^2}{2vr^2}-\frac{2c^2}{rv} -③$$
$dv/dr\gt0$ であるため、③の両辺の符号は一致します。
$$v\lt c : r_c\lt\frac{au^2}{4c^2}$$$$v\gt c : r_c\gt\frac{au^2}{4c^2}$$
以上より、太陽から一定距離 $r_c$ 離れると、太陽風の速度が音速を超えることが分かります。この距離を具体的に計算すると、温度100万度での音速は 170km/s、太陽の脱出速度は 617km/s であるため、
$$r_c=\frac{au^2}{4c^2}\cong3.3a$$
③を導く
②を①に代入して、$N$ を消します。
$$mv\frac{dv}{dr}+\frac{vr^2}{C}\frac{d}{dr}\Big(\frac{CkT}{vr^2}\Big)+\frac{GMm}{r^2}=0$$
次に音速 $c$ と、
$$c^2\sim\frac{p}{\rho}=\frac{kT}{m}$$
太陽表面での脱出速度 $u$ を代入すると、
$$\frac{1}{2}mu^2-\frac{GmM}{a}=0$$$$u^2=\frac{2GM}{a}$$
以下が得られます。
$$\frac{dv}{dr}+c^2r^2\frac{d}{dr}\Big(\frac{1}{vr^2}\Big)+\frac{au^2}{2vr^2}=0$$
これより③を得ることができます。
