フリードマン方程式とは
フリードマン方程式とは、アインシュタイン方程式をロバートソン-ウォーカー計量で書いたときの対角成分に相当する式です。フリードマン方程式に表れるパラメタは、宇宙モデルを決定する基本的なパラメタになります。
以下のアインシュタイン方程式から、
$$R_{ij}-\frac{1}{2}Rg_{ij}+\Lambda g_{ij}=\kappa T_{ij} -①$$
以下のフリードマン方程式が導かれます。
$$\Big(\frac{\dot{a}}{a}\Big)^2+\frac{kc^2}{a^2}-\frac{c^2}{3}\Lambda=\frac{c^4}{3}\kappa\rho -②$$$$\Big(\frac{\dot{a}}{a}\Big)^2+\frac{2\ddot{a}}{a}+\frac{kc^2}{a^2}-\Lambda c^2=-c^2\kappa p -③$$
なお、宇宙が空間的に一様で等方的であると仮定して、エネルギーテンソル $T_{ij}$ を以下で置いています。$\rho$ は密度、$p$ は圧力です。
$$T^i_j=\left(\begin{array}{ccc} -\rho c^2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & p & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p & 0 \\
0 & 0 & 0 & p \end{array}\right)$$
ロバートソン-ウォーカー計量
$a(t)$ を長さのスケールとし、ロバートソン-ウォーカー計量（FLRW計量）を以下で定義します。
$$ds^2=c^2dt^2-a^2(t)\Big(\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2d\theta^2+r^2\sin^2{\theta}d\phi^2\Big) -④$$
エネルギー保存則
②と③を書き換えると以下になります。この式はエネルギー保存則を表します。
$$\frac{d}{dt}(a^3\rho c^2)+p\frac{d}{dt}(a^3)=0 -⑤$$
長さのスケール $a(t)$ が変化する場合、第１項は、物質とともに動く境界に囲まれた空間部分のエネルギーの増加を表し、第２項は、膨張に伴ってこの領域の内部から外部に行う仕事を表します。実際の宇宙の物質分布より $\rho c^2\gg p$ とすると、
$$\frac{d}{dt}(a^3\rho c^2)=0$$
ここで被積分関数を定数 $U$ で定義すると、フリードマン方程式②は以下で表されます。
$$\frac{\dot{a}^2}{c^2}=\frac{\kappa U}{3a^2}-k+\frac{a^2}{3}\Lambda$$$$U\equiv a^3\rho c^2$$
フリードマン方程式の導出
アインシュタイン方程式①を解くと②と③が得られることを示します。まず、④より計量テンソルは以下になります。
$$g_{ij}=\left(\begin{array}{ccc} c^2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{a^2}{1-kr^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r^2a^2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -r^2a^2\sin^2{\theta} \end{array}\right)$$
また $g^i_j=g^{ik}g_{kj}=1$ より、
$$g^{ij}=\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{c^2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{1-kr^2}{a^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{r^2a^2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & -\frac{1}{r^2a^2\sin^2{\theta}} \end{array}\right)$$
クリストフェル記号の計算
クリストフェル記号を計算します。
$$\Gamma^i_{jk}=g^{il}\Gamma_{ljk}=\frac{1}{2}g^{il}\left(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^k}+ \frac{\partial g_{lk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l}\right)$$
$i=0$ の場合
計量テンソルは対角であるため以下になります。
$$\Gamma_{jk}^0=g^{00}\Gamma_{0jk}=\frac{1}{2}g^{00}\left(\frac{\partial g_{0j}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{0k}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^0}\right)$$
右辺は、$g_{00}$ は定数であるため、第３項のみ残ります、
$$\Gamma^0_{11}=-\frac{1}{2}g^{00}\frac{\partial g_{11}}{\partial x^0}=\frac{a\dot{a}}{c^2(1-kr^2)}$$$$\Gamma^0_{22}=-\frac{1}{2}g^{00}\frac{\partial g_{22}}{\partial x^0}=\frac{a\dot{a}r^2}{c^2}$$$$\Gamma^0_{33}=-\frac{1}{2}g^{00}\frac{\partial g_{33}}{\partial x^0}=\frac{a\dot{a}r^2\sin^2{\theta}}{c^2}$$
$i=1$ の場合
$$\Gamma_{jk}^1=g^{11}\Gamma_{1jk}=\frac{1}{2}g^{11}\left(\frac{\partial g_{1j}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{1k}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^1}\right)$$
$g_{ij}$ は対角成分のみで、$\theta$ と $\phi$ には依存しないので、
$$\Gamma^1_{01}=\Gamma^1_{10}=\frac{1}{2}g^{11}\frac{\partial g_{11}}{\partial x^0}=\frac{\dot{a}}{a}$$$$\Gamma^1_{11}=\frac{1}{2}g^{11}\frac{\partial g_{11}}{\partial x^1}=\frac{kr}{1-kr^2}$$$$\Gamma^1_{22}=-\frac{1}{2}g^{11}\frac{\partial g_{22}}{\partial x^1}=-r(1-kr^2)$$$$\Gamma^1_{33}=-\frac{1}{2}g^{11}\frac{\partial g_{33}}{\partial x^1}=-r(1-kr^2)\sin^2{\theta}$$
$i=2$ の場合
$$\Gamma_{jk}^2=g^{22}\Gamma_{2jk}=\frac{1}{2}g^{22}\left(\frac{\partial g_{2j}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{2k}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^2}\right)$$
$g_{ij}$ は対角成分のみで、$\theta$ と $\phi$ には依存しないので、
$$\Gamma^2_{02}=\Gamma^2_{20}=\frac{1}{2}g^{22}\frac{\partial g_{22}}{\partial x^0}=\frac{\dot{a}}{a}$$$$\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=\frac{1}{2}g^{22}\frac{\partial g_{22}}{\partial x^1}=\frac{1}{r}$$$$\Gamma^2_{33}=-\frac{1}{2}g^{22}\frac{\partial g_{33}}{\partial x^2}=-\sin{\theta}\cos{\theta}$$
$i=3$ の場合
$$\Gamma_{jk}^3=g^{33}\Gamma_{3jk}=\frac{1}{2}g^{33}\left(\frac{\partial g_{3j}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{3k}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^3}\right)$$
$g_{ij}$ は対角成分のみで、$\theta$ と $\phi$ には依存しないので、
$$\Gamma^3_{03}=\Gamma^3_{30}=\frac{1}{2}g^{33}\frac{\partial g_{33}}{\partial x^0}=\frac{\dot{a}}{a}$$$$\Gamma^3_{13}=\Gamma^3_{31}=\frac{1}{2}g^{33}\frac{\partial g_{33}}{\partial x^1}=\frac{1}{r}$$$$\Gamma^3_{23}=\Gamma^3_{32}=\frac{1}{2}g^{33}\frac{\partial g_{33}}{\partial x^2}=\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}$$
リッチテンソルの計算
リッチテンソルを計算します。
$$R_{ij}=\frac{\partial\Gamma_{ik}^k}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma_{ij}^k}{\partial x^k}+\Gamma_{ik}^l\Gamma_{jl}^k-\Gamma_{ij}^l\Gamma_{lk}^k$$
リッチテンソルの対角成分以外は０になり、対角成分は以下になります。
$i=0$ の場合
$$R_{00}=\frac{\partial\Gamma_{0k}^k}{\partial x^0}-\frac{\partial\Gamma_{00}^k}{\partial x^k}+\Gamma_{0k}^l\Gamma_{0l}^k-\Gamma_{00}^l\Gamma_{lk}^k$$$$=\frac{\partial\Gamma_{01}^1}{\partial x^0}+\frac{\partial\Gamma_{02}^2}{\partial x^0}+\frac{\partial\Gamma_{03}^3}{\partial x^0}+(\Gamma_{01}^1)^2+(\Gamma_{02}^2)^2+(\Gamma_{03}^3)^2$$$$=3\frac{\partial}{\partial t}\Big(\frac{\dot{a}}{a}\Big)+3\Big(\frac{\dot{a}}{a}\Big)^2=\frac{3\ddot{a}}{a}$$$$R^0_0=g^{00}R_{00}=\frac{3\ddot{a}}{ac^2}$$
$i=1$ の場合
$$R_{11}=\frac{\partial\Gamma_{1k}^k}{\partial x^1}-\frac{\partial\Gamma_{11}^k}{\partial x^k}+\Gamma_{1k}^l\Gamma_{1l}^k-\Gamma_{11}^l\Gamma_{lk}^k$$$$=\frac{\partial\Gamma_{11}^1}{\partial x^1}+\frac{\partial\Gamma_{12}^2}{\partial x^1}+\frac{\partial\Gamma_{13}^3}{\partial x^1}-\frac{\partial\Gamma_{11}^0}{\partial x^0}-\frac{\partial\Gamma_{11}^1}{\partial x^1}$$$$+2\Gamma_{11}^0\Gamma_{10}^1+\Big(\Gamma_{11}^1\Big)^2+\Big(\Gamma_{12}^2\Big)^2+\Big(\Gamma_{13}^3\Big)^2$$$$-\Gamma^0_{11}\Big(\Gamma^1_{01}+\Gamma^2_{02}+\Gamma^2_{02}\Big)-\Gamma^1_{11}\Big(\Gamma^1_{11}+\Gamma^2_{12}+\Gamma^2_{12}\Big)$$$$=-\frac{a\ddot{a}}{c^2(1-kr^2)}-\frac{2\dot{a}^2}{c^2(1-kr^2)}-\frac{2k}{1-kr^2}$$$$R^1_1=g^{11}R_{11}=\frac{\ddot{a}}{ac^2}+\frac{2\dot{a}^2}{a^2c^2}+\frac{2k}{a^2}$$
$i=2$ の場合
$$R_{22}=\frac{\partial\Gamma^k_{2k}}{\partial x^2}-\frac{\partial\Gamma^k_{22}}{\partial x^k}+\Gamma^l_{2k}\Gamma^k_{2l}-\Gamma^l_{22}\Gamma^k_{lk}$$$$=\frac{\partial\Gamma^3_{23}}{\partial x^2}-\frac{\partial\Gamma^0_{22}}{\partial x^0}-\frac{\partial\Gamma^1_{22}}{\partial x^1}+2\Gamma^0_{22}\Gamma^2_{20}+2\Gamma^1_{22}\Gamma^2_{21}+\Big(\Gamma^3_{23}\Big)^2$$$$-\Gamma^0_{22}\Big(\Gamma^1_{01}+\Gamma^2_{02}+\Gamma^3_{03}\Big)-\Gamma^1_{22}\Big(\Gamma^2_{12}+\Gamma^3_{13}\Big)$$$$=-\frac{a\ddot{a}r^2}{c^2}-\frac{2\dot{a}^2r^2}{c^2}-2kr^2$$$$R^2_2=g^{22}R_{22}=\frac{\ddot{a}}{ac^2}+\frac{2\dot{a}^2}{a^2c^2}+\frac{2k}{a^2}=R^1_1$$
$i=3$ の場合
$$R_{33}=\frac{\partial\Gamma^k_{3k}}{\partial x^3}-\frac{\partial\Gamma^k_{33}}{\partial x^k}+\Gamma^l_{3k}\Gamma^k_{3l}-\Gamma^l_{33}\Gamma^k_{lk}$$$$=-\frac{\partial\Gamma^0_{33}}{\partial x^0}-\frac{\partial\Gamma^1_{33}}{\partial x^1}-\frac{\partial\Gamma^2_{33}}{\partial x^2}+2\Gamma^0_{33}\Gamma^3_{30}+2\Gamma^1_{33}\Gamma^3_{31}+2\Gamma^2_{33}\Gamma^3_{32}$$$$-\Gamma^0_{33}\Big(\Gamma^1_{01}+\Gamma^2_{02}+\Gamma^3_{03}\Big)-\Gamma^1_{33}\Big(\Gamma^1_{11}+\Gamma^2_{12}+\Gamma^3_{13}\Big)-\Gamma^2_{33}\Gamma^3_{23}$$$$=-\frac{a\ddot{a}r^2\sin^2{\theta}}{c^2}-\frac{2\dot{a}^2r^2\sin^2{\theta}}{c^2}-2kr^2\sin^2{\theta}$$$$R^3_3=g^{33}R_{33}=\frac{\ddot{a}}{ac^2}+\frac{2\dot{a}^2}{a^2c^2}+\frac{2k}{a^2}=R^1_1$$
スカラー曲率の計算
スカラー曲率を計算します。
$$R=g^{ik}R_{kj}=R^0_0+R^1_1+R^2_2+R^3_3$$$$=\frac{6\ddot{a}}{ac^2}+\frac{6\dot{a}^2}{a^2c^2}+\frac{6k}{a^2}$$
アインシュタイン方程式の計算
アインシュタイン方程式①の両辺に $g^{ki}$ を掛け、$k\to i$ と置き換えると、
$$R^i_j-\frac{1}{2}Rg^i_j+\Lambda g^i_j=\kappa T^i_j$$
$i=0$ の場合
$$R^0_0-\frac{1}{2}Rg^0_0+\Lambda g^0_0=\kappa T^0_0$$
これより②が導かれます。
$$\Big(\frac{\dot{a}}{a}\Big)^2+\frac{kc^2}{a^2}-\frac{c^2}{3}\Lambda=\frac{c^4}{3}\kappa\rho \to②$$
$i\ne1$ の場合
$$R^1_1-\frac{1}{2}Rg^1_1+\Lambda g^1_1=\kappa T^1_1$$$$R^2_2-\frac{1}{2}Rg^2_2+\Lambda g^2_2=\kappa T^2_2$$$$R^3_3-\frac{1}{2}Rg^3_3+\Lambda g^3_3=\kappa T^3_3$$
これらより③が導かれます。
$$\Big(\frac{\dot{a}}{a}\Big)^2+\frac{2\ddot{a}}{a}+\frac{kc^2}{a^2}-\Lambda c^2=-c^2\kappa p \to③$$
エネルギー保存則の導出
②を $t$ で微分すると、
$$\frac{2\dot{a}\ddot{a}}{a^2}-\frac{2\dot{a}^3}{a^3}-\frac{2kc^2\dot{a}}{a^3}=\frac{c^2\kappa}{3}\frac{d}{dt}(c^2\rho) -(1)$$
一方、②×３－③ を計算すると、
$$2\Big(\frac{\dot{a}}{a}\Big)^2-\frac{2\ddot{a}}{a}+\frac{2kc^2}{a^2}=c^2\kappa(c^2\rho+p)$$
これに $\dot{a}/a$ を掛けで(1)の両辺と和を取ると、
$$c^2\kappa\frac{\dot{a}}{a}(c^2\rho+p)+\frac{c^2\kappa}{3}\frac{d}{dt}(c^2\rho)=0$$
これより⑤が導かれます。
$$\frac{d}{dt}(a^3\rho c^2)+p\frac{d}{dt}(a^3)=0 \to⑤$$
