ベルの不等式
ベルの不等式とは、量子力学において局所的な隠れた変数理論（局所実在論；local realism）が満たすべき条件です。ここで「隠れた変数」とは、粒子は観測前から測定結果を決める何らかの内部情報を指します。
この不等式が成立しないことを実験（アスペの実験）で示されたことにより、量子力学では隠れた変数は存在しない、つまり量子力学で知りうる全ての情報が得られることが実証されました。
ベルの不等式は複数ありますが、本記事では最もよく用いられる以下の CHSH型ベルの不等式（CHSHは Clauser, Horne, Shimony, Holt の頭文字）を説明します。この式の各項は後で説明します。
$$-2\le C\le2$$$$C\equiv P(L_1,R_1)-P(L_1,R_2)+P(L_2,R_1)+P(L_2,R_2) －①$$
アスペの実験
光子の偏光
ベルの不等式を説明するため、次の実験装置を考えます。Ca原子が励起状態から基底状態に戻るときに、２個の互いに直交した偏光をもつ光子を反対方向に放出することが知られており、これを利用します。
Ca原子から放出した光子は、それぞれ左右の偏光板を通過し、それぞれの検出器で測定されるとします。このとき、左右の測定器は十分離れており、一方の測定設定は他方に瞬時には伝わらないと考えます。
例えば、検出器Ｌでｘ軸方向の偏光が観測された場合、検出器Ｒではｙ軸方向の偏光が観測されます。言い代えると、偏光版Ｌをｘ軸に合わせたときに検出器Ｌで光子が観測された場合、検出器Ｒで光子が観測される確率は、偏光板をｙ軸に合わせた場合は１、ｘ軸に合わせた場合は０、45°に傾けた場合は1/2になります。
偏光板と観測確率
偏光板Ｌの方向を $L_1$ と $L_2$ の２通り、偏光板Ｒの方向を $R_1$ と $R_2$ の２通りとすると、左右の偏光板の組合せは $(L_1,R_1)$ 、$(L_1,R_2)$ 、$(L_2,R_1)$ 、$(L_2,R_2)$ の４通りとなります。
また、左右の検出器による光子の検出されるパターンの確率を以下で表します。
-
- $P_{11}$：両方の検出器で光子が観測される確率
- $P_{10}$：左の検出器のみ光子を観測される確率
- $P_{01}$：右の検出器のみ光子を観測される確率
- $P_{00}$：両方の検出器で光子が観測されない確率
このとき、①の各項は以下のように計算されます。例えば、$P_{11}(L_1,R_1)$ は、左の偏光板の方向を $L_1$ 、右の偏光板の方向を $R_1$ としたときに、両方の検出器で光子が観測される確率を表します。
$$P(L_1,R_1)=P_{11}(L_1,R_1)+P_{00}(L_1,R_1)-P_{10}(L_1,R_1)-P_{01}(L_1,R_1)$$$$P(L_1,R_2)=P_{11}(L_1,R_2)+P_{00}(L_1,R_2)-P_{10}(L_1,R_2)-P_{01}(L_1,R_2)$$$$P(L_2,R_1)=P_{11}(L_2,R_1)+P_{00}(L_2,R_1)-P_{10}(L_2,R_1)-P_{01}(L_2,R_1)$$$$P(L_2,R_2)=P_{11}(L_2,R_2)+P_{00}(L_2,R_2)-P_{10}(L_2,R_2)-P_{01}(L_2,R_2)$$
局所実在論の場合
ある偏光板の組み合わせで測定を行ったとき、それ以外の偏光板の組合せが同時に観測されていれば、局所実在論では４つの測定結果は観測前から全て決まっているため、次の16パターン（$=2^4$）が存在することになります。
| パターン | １ | ２ | ３ | ４ | ５ | ６ | ７ | ８ | ９ | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| $L_1$ | １ | ０ | １ | ０ | １ | ０ | １ | ０ | １ | ０ | １ | ０ | １ | ０ | １ | ０ |
| $L_2$ | １ | １ | ０ | ０ | １ | １ | ０ | ０ | １ | １ | ０ | ０ | １ | １ | ０ | ０ |
| $R_1$ | １ | １ | １ | １ | ０ | ０ | ０ | ０ | １ | １ | １ | １ | ０ | ０ | ０ | ０ |
| $R_2$ | １ | １ | １ | １ | １ | １ | １ | １ | ０ | ０ | ０ | ０ | ０ | ０ | ０ | ０ |
例えば、パターン１の場合、どような偏光板の組合せでも左右両方で光子が検出されるため、全ての $P_{11}$ が１、それ以外（$P_{10},P_{01},P_{00}$）は０になります。このとき、①の16個の項を確率を計算すると以下になります。負号の項を赤字で表します。
| $P_{11}(L_1,R_1)=1$ | $P_{00}(L_1,R_1)=0$ | $P_{10}(L_1,R_1)=0$ | $P_{01}(L_1,R_1)=0$ |
| $P_{11}(L_1,R_2)=1$ | $P_{00}(L_1,R_2)=0$ | $P_{10}(L_1,R_2)=0$ | $P_{01}(L_1,R_2)=0$ |
| $P_{11}(L_2,R_1)=1$ | $P_{00}(L_2,R_1)=0$ | $P_{10}(L_2,R_1)=0$ | $P_{01}(L_2,R_1)=0$ |
| $P_{11}(L_2,R_2)=1$ | $P_{00}(L_2,R_2)=0$ | $P_{10}(L_2,R_2)=0$ | $P_{01}(L_2,R_2)=0$ |
従って以下のように、$C=2$ となりベルの不等式が成り立ちます。
$$C_1=(1+0-0-0)-(1+0-0-0)+(1+0-0-0)+(1+0-0-0)=2$$
その他のパターン２（ $C_2$ ）～パターン16（ $C_{16}$ ）を計算すると、以下のように全て $2$ または $-2$ の結果となります。
| $C_1=(1+0-0-0)-(1+0-0-0)+(1+0-0-0)+(1+0-0-0)=2$ $C_2=(0+0-0-1)-(0+0-0-1)+(1+0-0-0)+(1+0-0-0)=2$ $C_3=(1+0-0-0)-(1+0-0-0)+(0+0-0-1)+(0+0-0-1)=-2$ $C_4=(0+0-0-1)-(0+0-0-1)+(0+0-0-1)+(0+0-0-1)=-2$ $C_5=(0+0-1-0)-(1+0-0-0)+(0+0-1-0)+(1+0-0-0)=-2$ $C_6=(0+1-0-0)-(0+0-0-1)+(0+0-1-0)+(1+0-0-0)=2$ $C_7=(0+0-1-0)-(1+0-0-0)+(0+1-0-0)+(0+0-0-1)=-2$ $C_8=(0+1-0-0)-(0+0-0-1)+(0+1-0-0)+(0+0-0-1)=2$ $C_9=(1+0-0-0)-(0+0-1-0)+(1+0-0-0)+(0+0-1-0)=2$ $C_{10}=(0+0-0-1)-(0+1-0-0)+(1+0-0-0)+(0+0-1-0)=-2$ $C_{11}=(1+0-0-0)-(0+0-1-0)+(0+0-0-1)+(0+1-0-0)=2$ $C_{12}=(0+0-0-1)-(0+1-0-0)+(0+0-0-1)+(0+1-0-0)=-2$ $C_{13}=(0+0-1-0)-(0+0-1-0)+(0+0-1-0)+(0+0-1-0)=-2$ $C_{14}=(0+1-0-0)-(0+1-0-0)+(0+0-1-0)+(0+0-1-0)=-2$ $C_{15}=(0+0-1-0)-(0+0-1-0)+(0+1-0-0)+(0+1-0-0)=2$ $C_{16}=(0+1-0-0)-(0+1-0-0)+(0+1-0-0)+(0+1-0-0)=2$ |
実際は、パターン１からパターン16が混在しますから、①の値はベルの不等式の範囲内の値を取ります。
量子論の場合
90°角を４等分して、L1～R1、R1～L2、L2～R2がそれぞれ22.5°になるように設定します。各偏光板の間の角度は以下になります。
| $L\backslash R$ | $R_1$ | $R_2$ |
| $L_1$ | 22.5° | 67.5° |
| $L_2$ | 22.5° | 22.5° |
このとき、①の第２項（負符号部分）のみ、角度が67.5°（＝90°－22.5°）となっていることに留意してください。
この条件で、①の項を計算します。量子論の場合は、観測されない間は光子の偏光は確定せず、どちらか片方の光子が観測された時点で初めて、双方の偏光が確定すると考えます。
まず、$P_{11}(L_1,R_1)$ ですが、左側で光子が観測されたということは、左側の光子の偏光は $L_1$ と平行であるため、右側の光子の偏光は $L_1$ と直角（$R_1$ に対し67.5°）になります。この光子が $R_1$ を通過する確率を考慮すると、マリュスの法則により、
$$P_{11}(L_1,R_1)=\frac{1}{2}\cos^2(67.5°)\cong 0.073$$
ここで、右辺の1/2は左側の光子が偏光板を通過する確率です。尚、左の光子が先に観測された前提の説明をしていますが、実際は左右の観測される順番は関係ありません。
次に、例えば $P_{10}(L_1,R_1)$ ですが、左側で光子が観測されたということは、先ほど同様、右側の光子の偏光は $R_1$ に対し67.5°になります。今度は、この光子が $R_1$ を通過”しない”確率なので、
$$P_{10}(L_1,R_1)=\frac{1}{2}\cos^2(22.5°)\cong 0.427$$
このようして、①の16個の項を計算すると、
| $P_{11}(L_1,R_1) \cong 0.073$ | $P_{00}(L_1,R_1) \cong 0.073$ | $P_{10}(L_1,R_1) \cong 0.427$ | $P_{01}(L_1,R_1) \cong 0.427$ |
| $P_{11}(L_1,R_2) \cong 0.427$ | $P_{00}(L_1,R_2) \cong 0.427$ | $P_{10}(L_1,R_2) \cong 0.073$ | $P_{01}(L_1,R_2) \cong 0.073$ |
| $P_{11}(L_2,R_1) \cong 0.073$ | $P_{00}(L_2,R_1) \cong 0.073$ | $P_{10}(L_2,R_1) \cong 0.427$ | $P_{01}(L_2,R_1) \cong 0.427$ |
| $P_{11}(L_2,R_2) \cong 0.073$ | $P_{00}(L_2,R_2) \cong 0.073$ | $P_{10}(L_2,R_2) \cong 0.427$ | $P_{01}(L_2,R_2) \cong 0.427$ |
従って、
$$C=(0.073+0.073-0.427-0.427)-(0.427+0.427-0.073-0.073)$$$$+(0.073+0.073-0.427-0.427)+(0.073+0.073-0.427-0.427)$$$$\cong -2.828(=-2\sqrt{2})\lt -2$$
となり、量子論を前提とすると、ベルの不等式が成り立たないことが分かります。このようなベルの不等式の破れは、局所実在論では説明できません。アスペ、ツァイリンガーらによる実験では、実際にベルの不等式の破れが観測されました。
チレルソン限界
チレルソン限界とは、量子力学における CHSH値の理論的最大値 $2\sqrt{2}$ です。チレルソン限界は、量子力学では演算子が非可換であるという性質から生じる限界値です。$A_i$ と $B_i$ を演算子として、改めて①を以下のように表し、
$$C=A_1B_1+A_1B_2+A_2B_1-A_2B_2 -②$$
この両辺の二乗を取ると以下になります。（③の導出）
$$C^2=4-[A_1,A_2][B_1,B_2] -③$$
量子論の場合、交換子のノルムは $|[A_1,A_2]|\le2$ 、$|[B_1,B_2]|\le2$ で、$|[A_1,A_2]||[B_1,B_2]\le4$ となるため、
$$C^2\le 8$$$$C\le2\sqrt{2}$$
古典論（局所実在論）の場合、 $|[A_1,A_2]|=0$ 、$|[B_1,B_2]|=0$ となるため、
$$C^2\le 4$$$$C\le2$$
③の導出
②を書き換え、
$$C=A_1(B_1+B_2)+A_2(B_1-B_2)$$
この２乗を取り、$A_i^2=B_j^2=1$ 、$[A_i,B_j]=0$ に留意すると③が得られます。
$$C^2=A_1(B_1+B_2)A_1(B_1+B_2)+A_1(B_1+B_2)A_2(B_1-B_2)$$$$+A_2(B_1-B_2)A_1(B_1+B_2)+A_2(B_1-B_2)A_2(B_1-B_2)$$$$=(1+B_1B_2+B_2B_1+1)+A_1A_2(B_2B_1-B_1B_2)$$$$+A_2A_1(B_1B_2-B_2B_1)+(1-B_1B_2-B_2B_1+1)$$$$=4-[A_1,A_2][B_1,B_2]$$
