ヴィラソロモード
導関数の線形結合で $\mu=I$ および $\mu=-$ と置くと、
$$\dot{X}^I\pm X^{I’}=\sqrt{2\alpha’}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\alpha_n^Ie^{-in(\tau\pm\sigma)} -①$$$$\dot{X}^-\pm X^{-‘}=\sqrt{2\alpha’}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\alpha_n^-e^{-in(\tau\pm\sigma)} -②$$
①を以下の光円錐座標の制約条件に代入し、$n=m+p$（$m=n-p$）と置くと、
$$\dot{X}^-\pm X^{-‘}=\frac{1}{2\beta\alpha’p^+}(\dot{X}^I\pm X^{I’})^2$$$$=\frac{1}{\beta p^+}\sum_{m,p}\alpha_m^I\alpha_p^Ie^{-im(\tau\pm\sigma)}e^{-ip(\tau\pm\sigma)}$$$$=\frac{2}{\beta p^+}\sum_{n=-\infty}^{\infty}L_n^\bot e^{-in(\tau\pm\sigma)} -③$$
ここでヴィラソロ演算子は以下で定義されます。
$$L_n^\bot\equiv\frac{1}{2}\sum_p\alpha_{n-p}^I\alpha_p^I$$
また、②と③を比べると以下が得られます。
$$\sqrt{2\alpha’}\alpha_n^-=\frac{2}{\beta p^+}L_n^\bot -④$$
開弦のヴィラソロ演算子
開弦の場合は $\beta=2$ であるため、③と④は、
$$\dot{X}^-\pm X^{-‘}=\frac{1}{p^+}\sum_{n=-\infty}^{\infty}L_n^\bot e^{-in(\tau\pm\sigma)} -⑤$$$$\sqrt{2\alpha’}\alpha_n^-=\frac{1}{p^+}L_n^\bot -⑥$$
ここでヴィラソロ演算子は以下で表されます。
$$L_n^\bot=\frac{1}{2}\sum_p\alpha_{n-p}^I\alpha_p^I -⑦$$
尚、$(\alpha_n^J)^\dagger=\alpha_{-n}^J$ と⑥より、
$$(L_n^\bot)^\dagger=L_{-n}^\bot -⑧$$
$n=0$ の場合
$n=0$ の場合は、（⑨の導出）
$$L_0^\bot=\frac{1}{2}\sum_p\alpha_{-p}^I\alpha_p^I=\frac{1}{2}\alpha_0^I\alpha_0^I+\sum_{p=1}^\infty\alpha_{-p}^I\alpha_p^I+\frac{D-2}{2}\sum_{p=1}^\infty p -⑨$$
⑥と開弦の交換関係より、
$$\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^-=\frac{1}{p^+}L_0^\bot=2\alpha’p^- -⑩$$
ここで、
$$\chi\equiv\frac{D-2}{2}\sum_{p=1}^\infty p -⑪$$
と置き、改めて $L_0^\bot$ と⑨を以下で定義します。⑫の右辺は $\alpha_{\pm n}^\mu$ の定義より得られます。
$$L_0^\bot\equiv\frac{1}{2}\alpha_0^I\alpha_0^I+\sum_{p=1}^\infty\alpha_{-p}^I\alpha_p^I=\alpha’p^Ip^I+\sum_{p=1}^\infty pa_p^{I\dagger}a_p^I -⑫$$$$\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^-\equiv\frac{1}{p^+}(L_0^\bot+\chi) -⑬$$
交換関係
開弦のヴィラソロ演算子の交換関係は以下になります。（⑭の導出）（⑮の導出）
$$[L_m^\bot,\alpha_n^J]=-n\alpha_{m+n}^J -⑭$$$$[L_m^\bot,x_0^I]=-i\sqrt{2\alpha’}\alpha_m^I -⑮$$
$$[L_m^\bot,L_n^\bot]=(m-n)L_{m+n}^\bot+\frac{D-2}{12}(m^3-m)\delta_{m+n,0} -⑯$$
- $m+n\ne0$ の場合（⑰の導出）$$[L_m^\bot,L_n^\bot]=(m-n)L_{m+n}^\bot -⑰$$
- $m+n=0$ の場合（⑱の導出）$$[L_m^\bot,L_{-m}^\bot]=2mL_0^\bot+\frac{D-2}{12}(m^3-m) -⑱$$
時空次元の決定
弦の保存量であるローレンツ・チャージを、$X^\mu$ のモード展開により書き換えると、（⑲の導出）
$$M_{\mu\nu}=\int_{\tau=\mathrm{const}}M_{\mu\nu}^\tau(\tau,\sigma)d\sigma=\int_0^\pi(X_\mu P_\nu^\tau-X_\nu P_\mu^\tau)d\sigma$$$$=x_0^\mu p^\nu-x_0^\nu p^\mu-i\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}(\alpha_{-n}^\mu\alpha_n^\nu-\alpha_{-n}^\nu\alpha_n^\mu) -⑲$$
これからエルミート性の要請を考慮し、量子論のローレンツ・チャージ $M^{-I}$ を以下で定義し、
$$M^{-I}\equiv x_0^-p^I-\frac{1}{2}(x_0^Ip^-+p^-x_0^I)-i\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}(\alpha_{-n}^-\alpha_n^I-\alpha_{-n}^I\alpha_n^-)$$
以下の交換関係を満たす必要があります。
$$[M^I,M^J]=0 -⑳$$
この左辺を計算すると、
$$[M^{-I},M^{-J}]=-\frac{1}{\alpha'(p^+)^2}\sum_{m=1}^\infty(\alpha_{-m}^I\alpha_m^J-\alpha_{-m}^J\alpha_m^I)$$$$\times\left(m\Big(1-\frac{D-2}{24}\Big)+\frac{1}{m}\Big(\frac{D-2}{24}+\chi\Big)\right) -㉑$$
⑳が成り立つためには $D$ と $\chi$ は以下である必要があります。（㉑の導出）
$$D=26 , \chi=-1 -㉒$$
閉弦のヴィラソロ演算子
閉弦の場合は①と②は以下のように書き換えられます。
$$\left.\begin{array}{cc} \dot{X}^I+X^{I’} \\ \dot{X}^I-X^{I’} \end{array}\right\}=\sqrt{2\alpha’}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\{\begin{array}{cc} \bar{\alpha}_n^I \\ \alpha_n^I \end{array}\right\}e^{-in(\tau\pm\sigma)} -㉓$$$$\left.\begin{array}{cc} \dot{X}^-+X^{-‘} \\ \dot{X}^- -X^{-‘} \end{array}\right\}=\sqrt{2\alpha’}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\{\begin{array}{cc} \bar{\alpha}_n^- \\ \alpha_n^- \end{array}\right\}e^{-in(\tau\pm\sigma)} -㉔$$
閉弦の場合は $\beta=1$ であるため、③と④は、
$$\left.\begin{array}{cc} \dot{X}^-+X^{-‘} \\ \dot{X}^- -X^{-‘} \end{array}\right\}=\frac{2}{p^+}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\{\begin{array}{cc} \bar{L}_n^\bot \\ L_n^\bot \end{array}\right\}e^{-in(\tau\pm\sigma)} -㉕$$$$\sqrt{2\alpha’}\left\{\begin{array}{cc} \bar{\alpha}_n^- \\ \alpha_n^- \end{array}\right\}=\frac{2}{p^+}\alpha_n^-\left\{\begin{array}{cc} \bar{L}_n^\bot \\ L_n^\bot \end{array}\right. -㉖$$
ここでヴィラソロ演算子は以下で表されます。
$$\left.\begin{array}{cc} \bar{L}_n^\bot \\ L_n^\bot \end{array}\right\}=\frac{1}{2}\sum_p\left\{\begin{array}{cc} \bar{\alpha}_{n-p}^I\bar{\alpha}_p^I \\ \alpha_{n-p}^I\alpha_p^I \end{array}\right. -㉗$$
$n=0$ の場合
より、$n=0$ の場合は $\alpha_0^-=\bar{\alpha}_0^-$ であるから、
$$L_0^\bot=\bar{L}_0^\bot -㉘$$
交換関係
閉弦のヴィラソロ演算子の交換関係は以下になります。
$$\left.\begin{array}{cc} [L_m^\bot,\alpha_n^J] \\ [\bar{L}_m^\bot,\bar{\alpha}_n^J] \end{array}\right\}=-n\left\{\begin{array}{cc} \alpha_{m+n}^J \\ \bar{\alpha}_{m+n}^J \end{array}\right. -㉙$$$$[L_m^\bot,\bar{\alpha}_n^J]=[\bar{L}_m^\bot,\alpha_n^J]=0 -㉚$$$$\left.\begin{array}{cc} [L_m^\bot,x_0^I] \\ [\bar{L}_m^\bot,x_0^I] \end{array}\right\}=-i\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}\left\{\begin{array}{cc} \alpha_m^I \\ \bar{\alpha}_m^I \end{array}\right. -㉛$$
式の導出
⑨の導出
⑦より、
$$L_0^\bot=\frac{1}{2}\alpha_0^I\alpha_0^I+\frac{1}{2}\sum_{p=1}^\infty\alpha_{-p}^I\alpha_p^I+\frac{1}{2}\sum_{p=1}^\infty\alpha_p^I\alpha_{-p}^I$$$$=\frac{1}{2}\alpha_0^I\alpha_0^I+\frac{1}{2}\sum_{p=1}^\infty\alpha_{-p}^I\alpha_p^I+\frac{1}{2}\sum_{p=1}^\infty\Big(\alpha_{-p}^I\alpha_p^I+[\alpha_p^I,\alpha_{-p}^I]\Big)$$
ここで開弦の交換関係より、⑨が得られます。
$$[\alpha_p^I,\alpha_{-p}^I]=p\eta^{II}\delta_{0,0}=p(D-2)$$
⑭の導出
⑭の左辺に⑦を代入すると、
$$[L_m^\bot,\alpha_n^J]=\frac{1}{2}\sum_p[\alpha_{m-p}^I\alpha_p^I,\alpha_n^J]=\frac{1}{2}\sum_p\Big(\alpha_{m-p}^I[\alpha_p^I,\alpha_n^J]+[\alpha_{m-p}^I,\alpha_n^J]\alpha_p^I\Big)$$
開弦の交換条件 $[\alpha_m^I,\alpha_{-n}^J]=m\delta_{m,n}\eta^{IJ}$ と $I=J$ より、
$$[L_m^\bot,\alpha_n^J]=\frac{1}{2}\sum_p\Big(p\delta_{p,-n}\alpha_{m-p}^J+(m-p)\delta_{m-p,-n}\alpha_p^I\Big)$$
この左辺第１項は $p=-n$ 、第２項は $p=m+n$ が残るため、⑭が得られます。
$$[L_m^\bot,\alpha_n^J]=\frac{1}{2}(-n\alpha_{m+n}^J-n\alpha_{m+n}^J)$$
⑮の導出
⑮の左辺に⑦を代入すると、
$$[L_m^\bot,x_0^I]=\frac{1}{2}\sum_p[\alpha_{m-p}^I\alpha_p^I,x_0^I]=\frac{1}{2}\sum_p\Big(\alpha_{m-p}^I[\alpha_p^I,x_0^I]+[\alpha_{m-p}^I,x_0^I]\alpha_p^I\Big)$$
開弦の交換条件 $[x_0^I,\alpha_n^J]=\sqrt{2\alpha’}i\eta^{IJ}\delta_{n,0}$ より、第１項は $p=0$ 、第２項は $p=m$ の項のみが残るため、⑮が得られます。
$$[L_m^\bot,x_0^I]=-\frac{1}{2}\Big(i\sqrt{2\alpha’}\alpha_m^I+i\sqrt{2\alpha’}\alpha_m^I\Big)$$
⑰の導出
ヴィラソロ演算子を消滅演算子（$p\gt0$）が右側になるよう書き換えると、
$$L_m^\bot=\frac{1}{2}\sum_{p\ge0}\alpha_{m-p}^I\alpha_p+\frac{1}{2}\sum_{p\lt0}\alpha_p^I\alpha_{m-p}^I$$
これにより⑰の左辺を書き換え、⑭を使うと、
$$[L_m^\bot,L_n^\bot]=\frac{1}{2}\sum_{p\ge0}[\alpha_{m-p}^I\alpha_p,L_n^\bot]+\frac{1}{2}\sum_{p\lt0}[\alpha_p^I\alpha_{m-p}^I,L_n^\bot]$$$$=\frac{1}{2}\sum_{p\ge0}\alpha_{m-p}^I[\alpha_p^I,L_n^\bot]+\frac{1}{2}\sum_{p\ge0}[\alpha_{m-p}^I,L_n^\bot]\alpha_p^I$$$$+\frac{1}{2}\sum_{p\lt0}\alpha_p^I[\alpha_{m-p}^I,L_n^\bot]+\frac{1}{2}\sum_{p\lt0}[\alpha_p^I,L_n^\bot]\alpha_{m-p}^I$$$$=\frac{1}{2}\sum_{p\ge0}p\alpha_{m-p}^I\alpha_{n+p}^I+\frac{1}{2}\sum_{p\ge0}(m-p)\alpha_{m+n-p}^I\alpha_p^I$$$$+\frac{1}{2}\sum_{p\lt0}(m-p)\alpha_p^I\alpha_{m+n-p}^I+\frac{1}{2}\sum_{p\lt0}p\alpha_{n+p}^I\alpha_{m-p}^I -(1)$$
ここで、(1)の第１項と第４項、第２項と第３項を合わせると、⑰が得られます。
$$[L_m^\bot,L_n^\bot]=\frac{1}{2}\sum_pp\alpha_{m-p}^I\alpha_{n+p}^I+\frac{1}{2}\sum_p(m-p)\alpha_{m+n-p}^I\alpha_p^I$$$$=\frac{1}{2}\sum_p(p-n)\alpha_{m+n-p}^I\alpha_p^I+\frac{1}{2}\sum_p(m-p)\alpha_{m+n-p}^I\alpha_p^I$$$$=\frac{1}{2}\sum_p(m-n)\alpha_{m+n-p}^I\alpha_p^I$$
尚、途中第２項で $p\to p-n$ と置き換えています。
⑱の導出
(1)で $n=-m$ と置くと、
$$[L_m^\bot,L_{-m}^\bot]=\frac{1}{2}\sum_{p\ge0}p\alpha_{m-p}^I\alpha_{p-m}^I+\frac{1}{2}\sum_{p\ge0}(m-p)\alpha_{-p}^I\alpha_p^I$$$$+\frac{1}{2}\sum_{p\lt0}(m-p)\alpha_p^I\alpha_{-p}^I+\frac{1}{2}\sum_{p\lt0}p\alpha_{p-m}^I\alpha_{m-p}^I$$
第１項で $p\to m+p$ 、第３項で $p\to-p$ 、第４項で $p\to m-p$ と置くと、
$$[L_m^\bot,L_n^\bot]=\frac{1}{2}\sum_{p=-m}^\infty(m+p)\alpha_{-p}^I\alpha_p^I+\frac{1}{2}\sum_{p=0}^\infty(m-p)\alpha_{-p}^I\alpha_p^I$$$$+\frac{1}{2}\sum_{p=1}^\infty(m+p)\alpha_{-p}^I\alpha_p^I+\frac{1}{2}\sum_{p=m+1}^\infty(m-p)\alpha_{-p}^I\alpha_p^I -(2)$$
(2)の第１項を書き換えると、
$$\frac{1}{2}\sum_{p=-m}^\infty(m+p)\alpha_{-p}^I\alpha_p^I=\frac{1}{2}\sum_{p=0}^m(m-p)\alpha_p^I\alpha_{-p}^I+\frac{1}{2}\sum_{p=1}^\infty(m+p)\alpha_{-p}^I\alpha_p^I$$$$=\frac{1}{2}\sum_{p=0}^m(m-p)[\alpha_p^I,\alpha_{-p}^I]+\frac{1}{2}\sum_{p=0}^m(m-p)\alpha_{-p}^I\alpha_p^I+\frac{1}{2}\sum_{p=1}^\infty(m+p)\alpha_{-p}^I\alpha_p^I$$
この第1項は開弦の交換条件より、$[\alpha_p^I,\alpha_{-p}^I]=m\delta_{p,p}\eta^{II}=p(D-2)$ となるため、
$$[L_m^\bot,L_n^\bot]=\sum_{p=0}^\infty(m-p)\alpha_{-p}^I\alpha_p^I+\sum_{p=1}^\infty(m+p)\alpha_{-p}^I\alpha_p^I+\frac{D-2}{2}\sum_{p=0}^mp(m-p)$$$$=m\alpha_0^I\alpha_0^I+2m\sum_{p=1}^\infty\alpha_{-p}^I\alpha_p^I+\frac{D-2}{12}(m^3-m)$$$$=2m\Big(\frac{1}{2}\alpha_0^I\alpha_0^I+\sum_{p=1}^\infty\alpha_{-p}^I\alpha_p^I\Big)+\frac{D-2}{12}(m^3-m)$$
⑫より第１項の括弧の中は $L_0^\bot$ となるため、⑱が得られます。
⑲の導出
以下の弦の運動量密度を
$$P^{\tau\mu}=\frac{1}{2\pi\alpha’}\dot{X}^\mu$$
ローレンツ・チャージに代入すると、
$$M^{\mu\nu}=\frac{1}{2\pi\alpha’}\int_0^\pi(X^\mu\dot{X}^\nu-X^\nu\dot{X}^\mu)d\sigma$$
開弦のモード展開より、
$$X^\mu(\tau,\sigma)=x_0^\mu+\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^\mu\tau+i\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\ne0}\frac{\alpha_n^\mu}{n}e^{-in\tau}\cos{n\sigma}$$$$\dot{X}^\mu=\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^\mu+\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\ne0}\alpha_n^\mu e^{-in\tau}\cos{n\sigma}$$
$M^{\mu\nu}$ は $\tau$ に依存しないため、積 $X^\mu\dot{X}^\nu$ は $\tau$ が含まれない項のみを残すと、
$$X^\mu\dot{X}^\nu=x_0^\mu\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^\nu+2\alpha’i\Big(\sum_n\frac{\alpha_n^\mu}{n}e^{-in\tau}\cos{n\sigma}\Big)\Big(\sum_m\alpha_m^\nu e^{-im\tau}\cos{m\sigma}\Big)$$$$=x_0^\mu\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^\nu+2\alpha’i\sum_{n\ne0}\frac{1}{n}\alpha_n^\mu\alpha_{-n}^\nu\cos^2{n\sigma}$$
従って、
$$\frac{1}{2\pi\alpha’}\int_0^\pi X^\mu\dot{X}^\nu d\sigma=\frac{1}{2\alpha’}x_0^\mu\alpha_0^\nu+\frac{i}{2}\sum_{n\ne0}\frac{1}{n}\alpha_n^\mu\alpha_{-n}^\nu$$
これから $\mu$ と $\nu$ を入れ替えたものを差し引き、⑩を使うと、
$$M^{\mu\nu}=(x_0^\mu p^\nu-x_0^\nu p^\mu)+\frac{i}{2}\sum_{n\ne0}\frac{1}{n}(\alpha_n^\mu\alpha_{-n}^\nu-\alpha_n^\nu\alpha_{-n}^\mu)$$$$=(x_0^\mu p^\nu-x_0^\nu p^\mu)-i\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}(\alpha_{-n}^\mu\alpha_n^\nu-\alpha_{-n}^\nu\alpha_n^\mu)$$
㉑の導出
$$=x_0^-p^I-\frac{1}{4\alpha’p^+}\Big(x_0^I(L_0^\bot+\chi)+(L_0^\bot+\chi)x_0^I\Big)$$$$-\frac{i}{\sqrt{2\alpha’}p^+}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}(L_{-n}^\bot\alpha_n^I-\alpha_{-n}^IL_n^\bot)$$
