閉弦のモード展開

/弦理論

閉弦のモード展開

弦の波動方程式は、以下で表すことができ、

$$\frac{\partial^2X^\mu}{\partial\tau^2}-\frac{\partial^2X^\mu}{\partial \sigma^2}=0$$

波動方程式の古典的な一般解は、左右に進行する波の和で表すことができるため、以下のように $X^\mu_L,X^\mu_R$ を定義します。

$$X^\mu(\tau,\sigma)=X^\mu_L(\tau+\sigma)+X^\mu_R(\tau-\sigma)$$$$=X^\mu_L(u)+X^\mu_R(v)  -①$$$$u\equiv\tau+\sigma  ,  v\equiv\tau-\sigma$$

このとき $X^\mu_L,X^\mu_R$ の微分は以下のようにモード展開で表すことができます。

$$X_L^{\mu’}(u)=\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}\sum_{n\in Z}\bar{\alpha}_n^\mu e^{-inu}  -②$$$$X_R^{\mu’}(v)=\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}\sum_{n\in Z}\alpha_n^\mu e^{-inv}  -②$$

これを積分し①に代入すると、

$$X^\mu(\tau,\sigma)=x_0^\mu+\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^\mu\tau+i\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}\sum_{n\ne0}\frac{e^{-in\tau}}{n}(\alpha_n^\mu e^{in\sigma}+\bar{\alpha}_n^\mu e^{-in\sigma})  -③$$

$$\bar{\alpha}_0^\mu=\alpha_0^\mu=\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}p^\mu  -④$$

導出

②を導く

以下の弦のモード展開の式を利用します。

$$\dot{X}^\mu\pm X^{\mu’}=\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\in Z}\alpha_n^\mu e^{-in(\tau\pm\sigma)}  -(1)$$

この左辺に①を代入すると、

$$\dot{X}^\mu\pm X^{\mu’}=\frac{\partial}{\partial\tau}\Big(X^\mu_L(u)+X^\mu_R(v)\Big)\pm\frac{\partial}{\partial\sigma}\Big(X^\mu_L(u)+X^\mu_R(v)\Big)$$$$=\Big(\frac{\partial u}{\partial\tau}X^{\mu’}_L(u)+\frac{\partial v}{\partial\tau}X^{\mu’}_R(v)\Big)\pm\Big(\frac{\partial u}{\partial\sigma}X^{\mu’}_L(u)+\frac{\partial v}{\partial\sigma}X^{\mu’}_R(v)\Big)$$$$=\Big(X^{\mu’}_L(u)+X^{\mu’}_R(v)\Big)\pm\Big(X^{\mu’}_L(u)-X^{\mu’}_R(v)\Big)$$

(1) と併せて、正符号については以下で、

$$2X^{\mu’}_L(u)=\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\in Z}\alpha_n^\mu e^{-in(\tau+\sigma)}$$

負符号については以下のよう書くことができます。

$$2X^{\mu’}_R(v)=\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\in Z}\alpha_n^\mu e^{-in(\tau-\sigma)}$$

$X^{\mu’}_L(u)$ の演算子を $\alpha_n^\mu\to\bar{\alpha}_n^\mu$ で置き換えると②が得られます。

③を導く

②を積分し、$x_0^{L\mu},x_0^{R\mu}$ を積分定数とすると、

$$X_L^\mu(u)=\frac{1}{2}x_0^{L\mu}+\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}\bar{\alpha}_0^\mu u+i\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}\sum_{n\ne0}\frac{\bar{\alpha}_n^\mu}{n}e^{-inu}  -(2)$$

$$X_R^\mu(v)=\frac{1}{2}x_0^{R\mu}+\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}\alpha_0^\mu v+i\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}\sum_{n\ne0}\frac{\alpha_n^\mu}{n}e^{-inv}  -(2)$$

ここで④の関係 $\bar{\alpha}_0^\mu=\alpha_0^\mu$ を使い、①に代入すると、$u+v=2\tau$ であるため、

$$X^\mu(\tau,\sigma)=\frac{1}{2}(x_0^{L\mu}+x_0^{R\mu})+\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^\mu\tau$$$$+i\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}\sum_{n\ne0}\frac{e^{-in\tau}}{n}(\alpha_n^\mu e^{in\sigma}+\bar{\alpha}_n^\mu e^{-in\sigma})$$

積分定数を $x_0^{L\mu}=x_0^{R\mu}\equiv x_0$ とすると、③が得られます。

④を導く

$X^\mu$ は $2\pi$ の周期関数であるため、

$$X^\mu(\tau,\sigma)=X^\mu(\tau,\sigma+2\pi)$$$$X^\mu_L(u)+X^\mu_R(v)=X^\mu_L(u+2\pi)+X^\mu_R(v-2\pi)$$

これに (2) を代入すると、

$$0=2\pi\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}\bar{\alpha}_0^\mu-2\pi\sqrt{\frac{\alpha’}{2}}\alpha_0^\mu$$

従って以下が得られます。

$$\bar{\alpha}_0^\mu=\alpha_0^\mu$$

一方、弦の運動方程式より、③を微分すると、

$$P^{\tau\mu}=\frac{1}{2\pi\alpha}\dot{X}^\mu=\frac{1}{2\pi\alpha}(\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^\mu+\mathrm{指数項})$$

これより、弦の運動量を求めると、③の指数項は積分で0になるので、

$$p^\mu=\int_0^{2\pi}P^{\tau\mu}(\tau,\sigma)d\sigma$$$$=\frac{1}{2\pi\alpha’}\int_0^{2\pi}d\sigma\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^\mu=\sqrt{\frac{2}{\alpha’}}\alpha_0^\mu$$

これらより⓸が得られます。

 

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