時間発展演算子
時間依存するシュレディンガー方程式、
$$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=H\psi({\bf q},t)$$
を形式的に解くと状態ベクトルは以下のように書くことができます。
$$\psi({\bf q},t)=e^{-iH(t-t_0)/\hbar}\psi({\bf q},t_0)$$
これより、初期の状態ベクトル $\psi(q,t_0)$ とハミルトニアン $H$ が分かっていれば、その後の変化は理論的にはこの式により定まります。この指数部分は、時間発展演算子 $U$ として定義されます。
$$U(t)\equiv e^{-iH(t-t_0)/\hbar} －①$$
物理量の計算
ある物理量の値を求める場合は、その演算子を $A$ とすると、
$$\braket{A}=\braket{\psi|A|\psi}=\int\psi^*({\bf q},t)A\psi({\bf q},t)d{\bf q}$$$$=\int\psi^*({\bf q},t_0)e^{iH(t-t_0)/\hbar}Ae^{-iH(t-t_0)/\hbar}\psi({\bf q},t_0)d{\bf q}$$$$=\int\psi_0^*U(t)^\dagger AU(t)\psi_0d{\bf q}$$
ここで、状態ベクトルを次のように簡略化しています。
$$\psi(t)\equiv\psi({\bf q},t) , \psi_0\equiv\psi({\bf q},t_0)$$
以下、量子論では時間発展を表す３つの代表的な描像があります。
シュレディンガー描像
シュレディンガー描像では、状態ベクトル（波動関数）が時間により変化し、演算子（物理量）は時間に無関係であると考えます。このとき、状態ベクトルは以下で表され
$$\ket{\psi(t)}=U(t)\ket{\psi_0} －②$$
物理量の計算
物理量の値は以下のように表されます。
$$\braket{A}=\braket{\psi(t)|A|\psi(t)} －③$$
運動方程式
シュレディンガー方程式は以下になります。
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\ket{\psi(t)}=H\ket{\psi(t)}$$
これは、状態ベクトルの時間発展を表す運動方程式です。
ハイゼンベルグ描像
ハイゼンベルグ描像では、演算子が時間により変化し、状態ベクトルは時間に無関係であると考えます。ハイゼンベルグ描像の演算子を以下で定義すると、
$$A(t)\equiv U^\dagger(t)AU(t) －④$$
物理量の計算
物理量の値③は以下のように書き換えられます。
$$\braket{A}=\braket{\psi_0|A(t)|\psi_0}$$
運動方程式
④を時間微分すると、次のハイゼンベルグ方程式が得られます。
$$i\hbar\frac{dA(t)}{dt}=[A(t),H]$$
これは、演算子の時間発展を表す運動方程式です。
相互作用描像
相互作用描像では、ハミルトニアンを自由場の項（$H_0$）と相互作用の項（$H_I$）に分けて、後者を摂動として扱います。
$$H=H_0+H_I$$
これにより、時間発展演算子①は以下で表されます。
$$U(t)=e^{-iH_0(t-t_0)/\hbar}e^{-iH_I(t-t_0)/\hbar}\equiv U_0(t)U_I(t)$$
このとき、②は以下に書き換えられるため、
$$\ket{\psi(t)}=U_0(t)U_I(t)\ket{\psi_0}$$
相互作用描像での状態ベクトルを以下で定義すると、
$$\ket{\psi(t)}_I\equiv U_I(t)\ket{\psi_0}$$
シュレディンガー描像での状態ベクトル（左辺）との関係は以下で表されます。
$$\ket{\psi(t)}=U_0(t)\ket{\psi(t)}_I －⑤$$
物理量の計算
④は以下に書き換えられるため、
$$A(t)\equiv U_I^\dagger(t)U_0^\dagger(t)AU_0(t)U_I(t)$$
相互作用描像での演算子を以下で定義すると、
$$A_I(t)\equiv U_0^\dagger(t)AU_0(t) －⑥$$
ハイゼンベルグ描像での演算子（左辺）との関係は以下で表されます。
$$A(t)=U_I^\dagger(t)A_I(t)U_I(t)$$
運動方程式
状態ベクトル⑤をシュレディンガー方程式に代入すると、相互作用描像での状態ベクトルの運動方程式が得られます。
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\ket{\psi(t)}_I=H_I\ket{\psi(t)}_I$$
また、⑥の両辺を時間微分すると、相互作用描像での演算子の運動方程式が得られます。
$$i\hbar\frac{dA_I(t)}{dt}=[A_I(t),H_0]$$
