ビリアル定理とは

/宇宙物理

ビリアル定理とは

ビリアル定理とは、多粒子系における、運動エネルギー($K$)とポテンシャルエネルギー($V$)の関係式で、以下で表すことができます。ここで、運動エネルギーは正の値、ポテンシャルエネルギーは負の値を持ちます。

$$2K+V=0  -①$$

ビリアル定理は、粒子が動き得る範囲が有限である多粒子系において、古典物理、量子物理のいずれにおいても成立します。天体物理などに応用される関係式です。

惑星の平衡状態

惑星が全体として平衡状態のあるとき、構成する原子(電子)の運動エネルギー($K$)、静電エネルギー($V_e$)、重力エネルギー($V_g$)の間にもビリアルの定理が成立ちます。

$$2K+V_e+V_g=0$$

ビリアル定理を導く

ある軸回りの慣性モーメント($I$)は以下で定義されます。

$$I\equiv\sum_{i=1}^Nm_i{\bf r}_i\cdot{\bf r}_i$$

両辺を2回時間微分すると、以下が得られます。

$$\frac{d^2I}{dt^2}=2\sum_{i=1}^Nm_i(\dot{{\bf r}}_i\cdot\dot{{\bf r}}_i+\ddot{{\bf r}}_i\cdot{\bf r}_i)$$

系全体としては時間的に定常で、慣性モーメントも一定なら左辺は0になります。また、右辺の第2項は運動エネルギー($K$)を表しているため、書き換えると以下が求められます。

$$2K+\sum_{i=1}^N{\bf F}_i\cdot{\bf r}_i=0   -②$$

ここで ${\bf F}_i$ は、粒子 $i$ に対し、他の粒子から働く力(重力など)の総和です。

$${\bf F}_i=\sum_{j\ne i}^N{\bf F}_{ij}  -③$$

この ${\bf F}_{ij}$ は、粒子 $i$ に働く粒子 $j$ の力で、向きは $i\to j$(${\bf r}_j-{\bf r}_i$)になります。比例定数を $a$ とすると、一般に距離 $r$ の2乗に反比例する形式で表されます。

$${\bf F}_{ij}=\frac{a}{r_{ij}^2}\frac{{\bf r}_j-{\bf r}_i}{r_{ij}}  -④$$$$r_{ij}\equiv|{\bf r}_i-{\bf r}_j|$$

一方、力が上記のように表される場合、ポテンシャルエネルギーは以下になります。

$${\bf F}_{ij}=\nabla V_{ij}$$$$V_{ij}=-\frac{a}{r_{ij}}$$

②の第2項に③を代入して整理し、次に④を代入(2行目)すると、

$$\sum_{i=1}^N{\bf F}_i\cdot{\bf r}_i=\sum_{i=1}^N\sum_{j\ne i}^N{\bf F}_{ij}\cdot{\bf r}_i=\sum_{i<j}^N{\bf F}_{ij}\cdot({\bf r}_i-{\bf r}_j)$$$$=-\sum_{i<j}^N\frac{a}{r_{ij}}=V$$

最後は粒子間に働くポテンシャルの総和($V$)になります。以上より、ビリアル定理(①)が求められました。

 

 

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