重力波とは

重力波とは
重力波の導出

重力波（Gravitational Wave）とは、時空の歪み（重力場の変動）が波として光速で伝播する現象です。1916年にアインシュタインが一般相対性理論から予言し、2015年にLIGO（Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory）によって初めて観測されました。

弱重力近似

計量を弱重力近似を行います。ここで、$\eta_{ij}$ はミンコフスキー計量（平坦時空）、$h_{ij}$ は重力波による微小な摂動です。

$$g_{ij}=\eta_{ij}+h_{ij}　,　　|h_{ij}|\ll1　　-①$$$$\eta_{ij}=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$$$h=\eta^{ij}h_{ij}　　-②$$

波動方程式

微小摂動のトレース反転テンソル（trace-reversed metric perturbation）：

$$\bar{h}_{ij}=h_{ij}-\frac{1}{2}\eta_{ij}h　　-③$$

を定義し、次のローレンツゲージ（Lorenz gauge）：

$$\partial^i\bar{h}_{ij}=0　　-⓸$$

を課すと、アインシュタイン方程式は以下の波動方程式に簡約化されます。この式は、光速 $c$ で伝搬する重力波を表します。

$$\Box\bar{h}_{ij}=0　　-⑤$$$$\Box\equiv-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}+\nabla^2$$

⑤の波動方程式は平面波解をもちます。

$$\bar{h}_{ij}=A_{ij}e^{i\kappa_lx^l}　　-⑥$$

これを⑤に代入すると $\Box\bar{h}_{ij}=-\kappa^l\kappa_lA_{ij}e^{i\kappa_lx^l}$ であるから、分散関係が得られます。

$$\kappa^l\kappa_l=0　　\to　　\omega^2=c^2k^2$$

重力波の偏光

重力波には独立な偏光が2種類あり、重力波が通過すると、円形に並んだ粒子は次のように変形します。この2つの偏光は、電磁波とは異なり、時空そのものの伸縮を表しています。但し、この伸縮は非常に小さく、$h\sim10^{-21}$ 程度になります。

- ＋偏光（Plus polarization）
  縦方向と横方向に交互に伸び縮みする。
- ×偏光（Cross polarization）
  45°傾いた方向に伸び縮みする。

重力波の導出

逆計量

逆計量を以下で仮定します。

$$g^{ij}=\eta^{ij}+k^{ij}　,　　|k_{ij}|\ll1$$

計量と逆計量の関係は $g^{ik}g_{kj}=\delta_i^j$ であり、微小量の２次の項を無視すると、

$$\delta_i^j=(\eta^{ik}+k^{ik})(\eta_{kj}+h_{kj})$$$$=\eta^{ik}\eta_{kj}+\eta^{ik}h_{kj}+k^{ik}\eta_{kj}+k^{ik}h_{kj}\simeq\delta^i_j+h^i_j+k^i_j$$

従って、$k^i_j=-h^i_j$ であるため、逆計量は以下になります。

$$g^{ij}=\eta^{ij}-h^{ij}　　-⑦$$

クリストフェル記号の計算

クリストフェル記号の定義は、

$$\Gamma^i_{jk}=g^{il}\Gamma_{ljk}=\frac{1}{2}g^{il}\Big(\frac{\partial g_{lk}}{\partial x^j}+\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^k}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l}\Big)$$

以下、$\partial_i=\partial/\partial x^i$ と表記します。計量を代入すると、ミンコフスキー計量は一定なので $\partial_kg_{ij}=\partial_kh_{ij}$ となり、２次の微小量を無視すると、

$$\Gamma^i_{jk}\simeq\frac{1}{2}\eta^{il}(\partial_jh_{lk}+\partial_kh_{lj}-\partial_lh_{jk})　　-⑧$$

リッチテンソルの計算

リッチテンソルの定義は、

$$R_{ij}=\frac{\partial\Gamma_{ik}^k}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma_{ij}^k}{\partial x^k}-\Gamma_{ij}^l\Gamma_{lk}^k+\Gamma_{ik}^l\Gamma_{jl}^k$$

この右辺第３項と第４項は２次の微小量なので無視すると、

$$R_{ij}=\partial_j\Gamma_{ik}^k-\partial_k\Gamma_{ij}^k$$

第１項について、$\eta^{kl}$ は対称テンソルであり、第２項と第３項は打ち消し合うので、

$$\partial_j\Gamma_{ik}^k=\partial_j\Big(\frac{1}{2}\eta^{kl}(\partial_ih_{lk}+\partial_kh_{li}-\partial_lh_{ik})\Big)$$$$=\frac{1}{2}\partial_j\partial_i(\eta^{kl}h_{lk})=\frac{1}{2}\partial_j\partial_ih$$

第２項について、$\eta^{kl}$ は定数であり、ダランベルシアンを $\Box=\partial_k\partial^k$ とすると、

$$-\partial_k\Gamma_{ij}^k=-\partial_k\Big(\frac{1}{2}\eta^{kl}(\partial_ih_{lj}+\partial_jh_{li}-\partial_lh_{ij})\Big)$$$$=-\frac{1}{2}(\partial_k\partial_ih^k_j+\partial_k\partial_jh^k_i-\Box h_{ij})$$

以上よりリッチテンソルは以下になります。

$$R_{ij}=\frac{1}{2}(\partial_j\partial_ih-\partial_k\partial_ih^k_j-\partial_k\partial_jh^k_i+\Box h_{ij})　　-⑨$$

スカラー曲率

スカラー曲率の定義は、

$$R=g^{ij}R_{ij}\simeq\eta^{ij}R_{ij}=\frac{1}{2}\eta^{ij}(\partial_j\partial_ih-\partial_k\partial_ih^k_j-\partial_k\partial_jh^k_i+\Box h_{ij})$$

第１項について、

$$\eta^{ij}\partial_j\partial_ih=\partial^i\partial_ih=\Box h$$

第２項について、

$$-\eta^{ij}\partial_k\partial_ih^k_j=-\partial_k\partial_ih^{ki}$$

第３項について、

$$-\eta^{ij}\partial_k\partial_jh^k_i=-\partial_k\partial_jh^{kj}$$

第４項について、

$$\eta^{ij}\Box h_{ij}=\Box h$$

以上より、スカラー曲率は以下で表されます。

$$R=\Box h-\partial_k\partial_ih^{ki}　　-⑩$$

トレース反転テンソル

トレース反転テンソル（trace-reversed metric perturbation）を以下で定義します。トレース反転テンソルは、波動方程式を見通しよく書くための変数です。

$$\bar{h}_{ij}=h_{ij}-\frac{1}{2}\eta_{ij}h　　-③$$

これより $\bar{h}$ は、$\eta^{ij}\eta_{ij}=4$ を使うと、

$$\bar{h}=\eta^{ij}\bar{h}_{ij}=\eta^{ij}\Big(h_{ij}-\frac{1}{2}\eta_{ij}h\Big)=h-2h=-h　　-⑪$$

元の変数を書き換えると、

$$h_{ij}=\bar{h}_{ij}-\frac{1}{2}\eta_{ij}\bar{h}　　-⑫$$

ローレンツゲージ

ローレンツゲージ（Lorenz gauge）：

$$\partial^i\bar{h}_{ij}=0　　-⓸$$

を導出します。まず、微小な座標変換 $\xi^i$ を考えると、

$$x’^i=x^i+\xi^i(x)$$

このとき計量の変換は、

$$g’_{ij}(x’)=\frac{\partial x^k}{\partial x’^i}\frac{\partial x^l}{\partial x’^j}g_{kl}(x)$$

ここで、

$$\frac{\partial x^k}{\partial x’^i}=\frac{\partial x’^k}{\partial x’^i}-\frac{\partial\xi^k}{\partial x’^i}=\delta^k_i-\partial_i\xi^k$$

であるから、２次の微小量を無視すると、

$$g’_{ij}(x’)=(\delta^k_i-\partial_i\xi^k)(\delta^l_j-\partial_j\xi^l)(\eta_{kl}+h_{kl})$$$$\simeq\eta_{ij}+h_{ij}-\partial_i\xi_j-\partial_j\xi_i$$

同様に、

$$h’_{ij}=h_{ij}-\partial_i\xi_j-\partial_j\xi_i$$$$h’=\eta^{ij}h’_{ij}=h-2\partial_i\xi^i$$$$\bar{h}’_{ij}=h’_{ij}-\frac{1}{2}\eta_{ij}h’=\bar{h}_{ij}-\partial_i\xi_j-\partial_j\xi_i+\eta_{ij}\partial_k\xi^k$$

この両辺に $\partial^i$ を作用させると、

$$\partial^i\bar{h}’_{ij}=\partial^i\bar{h}_{ij}-\partial^i\partial_i\xi_j-\partial^i\partial_j\xi_i+\partial_j\partial_k\xi^k=\partial^i\bar{h}_{ij}-\Box\xi_j$$

この右辺が０になるような座標系 $\xi^j$ を選べれば、以下は常に０になります。これより導かれます。

$$\partial^i\bar{h}’_{ij}=0$$

アインシュタイン方程式

⑨と⑩により、アインシュタイン･テンソル $G_{ij}$ は以下で表されます。

$$G_{ij}=R_{ij}-\frac{1}{2}g_{ij}R$$$$=\frac{1}{2}(\partial_j\partial_ih-\partial_k\partial_ih^k_j-\partial_k\partial_jh^k_i+\Box h_{ij})-\frac{1}{2}\eta_{ij}(\Box h-\partial_k\partial_lh^{kl})$$

これに⑪と⑫を代入すると、

$$G_{ij}=\frac{1}{2}(\Box\bar{h}_{ij}-\partial_j\partial^k\bar{h}_{kj}-\partial_j\partial^k\bar{h}_{ki}+\eta_{ij}\partial^k\partial^l\bar{h}_{kl})$$

これにローレンツゲージ⓸を代入すると、右辺の第２項～第４項は０になります。

$$G_{ij}=\frac{1}{2}\Box\bar{h}_{ij}$$

従って、アインシュタイン方程式 $G_{ij}=0$ より、以下の波動方程式が得られます。

$$\Box\bar{h}_{ij}=0$$