フラウンホーファ回折とは

/電磁気学

フラウンホーファ回折

フラウンホーファ回折とは、狭いスリットを通過した光が、十分離れた距離にあるスクリーン上で起こす回折現象です。

可視光の波長は $\sim10^{-7}m$ 程度なので、普段は回折は目立たず、光は直進するように見えますが、光源からの光を 0.1mm 程度以下の細いスリットに通すと、光は左右に回折して明暗の縞ができます。

光の強さを角度の関数 $I(\theta)$ で表すと、スリットの幅 $D$、光の波長 $\lambda$ より、以下のように表されます。

$$I(\theta)\propto\frac{\sin^2{\left(\frac{\pi D}{\lambda}\sin{\theta}\right)}}{\left(\frac{\pi D}{\lambda}\sin{\theta}\right)^2}  -①$$

スリットの両端からの光路の差 $D\sin{\theta}$ が、光の波長の整数倍($n$)になるような角度で、$I(\theta)=0$ となることが分かります。

$$D\sin{\theta}=n\lambda$$

導出

①の導出

スリットの中央 $O$($x=0$)で発して、距離 $L$ に到達する光の振幅は以下で表されます。ここで、$A$ は比例定数です。

$$f(0)=A\sin{\Big(\frac{2\pi L}{\lambda}-\omega t\Big)}$$

$O$ から $x$ 離れた点から発した光は、上式の位相より $(2\pi/\lambda)x\sin{\theta}$ だけ遅れているので、

$$f(x)=A\sin{\Big(\frac{2\pi L}{\lambda}-\omega t-\frac{2\pi x}{\lambda}\sin{\theta}\Big)}$$

これをスリットの幅($-D/2,D/2$)で積分すると、

$$F=A\int_{-D/2}^{D/2}\sin{\Big(\frac{2\pi L}{\lambda}-\omega t-\frac{2\pi x}{\lambda}\sin{\theta}\Big)}dx$$

$$=\frac{A\lambda}{2\pi\sin{\theta}}\left[\cos{\Big(\frac{2\pi L}{\lambda}-\omega t-\frac{2\pi x}{\lambda}\sin{\theta}\Big)}\right]_{-D/2}^{D/2}$$

三角関数の加法定理を使うと、

$$F=AD\frac{\lambda}{\pi D\sin{\theta}}\sin{\Big(\frac{2\pi L}{\lambda}-\omega t\Big)}\sin{\Big(\frac{\pi D}{\lambda}\sin{\theta}\Big)}$$

光の強さは振幅の2乗であるため、

$$I=F^2\propto\Big(\frac{\lambda}{\pi D\sin{\theta}}\Big)^2\sin^2{\Big(\frac{\pi D}{\lambda}\sin{\theta}\Big)}$$

 

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