フラウンホーファ回折とは

フラウンホーファ回折とは
フラウンホーファ回折の導出

フラウンホーファ回折とは

ラウンホーファ回折とは、スリットから十分遠い位置（遠方場）で観測される回折現象です。単一スリット幅を $D$ 、波長を $\lambda$ 、スクリーンまでの距離を $L$ とすると、目安としてが成り立つ場合にフラウンホーファ近似が適用できます。

$$L\gg\frac{D^2}{\lambda}　　-①$$

可視光の波長は $4\sim7\times10^{-7}m$ 程度であり、スリット幅が光の波長に近づくとラウンホーファ回折が顕著になります。

光の強度 $I(\theta)$ は電場振幅の２乗（時間平均）に比例するため、スリットの幅 $D$、光の波長 $\lambda$ より、以下のように表されます（②の導出）。

$$I(\theta)\propto\braket{E^2}_t=I_0\Big(\frac{\sin{\beta}}{\beta}\Big)^2　　-②$$$$\beta=\frac{\pi D}{\lambda}\sin{\theta}$$

スリットの両端からの光路の差 $D\sin{\theta}$ が、光の波長の $n$（$=\pm1,\pm2,\cdots$）倍になるような角度で、$I(\theta)=0$（暗線）となることが分かります。

$$D\sin{\theta}=n\lambda　　-③$$

尚、$n=0$ の場合は中央極大に対応するため暗線とはなりません。

$$I(\theta\to0)=\lim_{\beta\to0}I_0\Big(\frac{\sin{\beta}}{\beta}\Big)^2=I_0$$

また、副極大（明線）の位置は以下の条件になります（④の導出）。

$$\tan{\beta}=\beta　　-⓸$$

図の $x=0$ はスリットの中心、$-D/2\le x\le D/2$ はスリットの内部（隙間）になります。

フラウンホーファ回折の導出

②の導出

スリットの中央 $O$（$x=0$）で発して、距離 $L$ に到達する光の振幅は以下で表されます。ここで、$A$ は比例定数です。

$$f(0)=A\sin{\Big(\frac{2\pi L}{\lambda}-\omega t\Big)}$$

$O$ から $x$ 離れた点から発した光は、$O$ から発した光より $\Delta l\simeq x\sin{\theta}$ だけ光路が長くなります。そのため位相差 $\Delta\phi$ は、

$$\Delta\phi=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta l=\frac{2\pi x}{\lambda}\sin{\theta}$$

だけ遅れているので、

$$f(x)=A\sin{\Big(\frac{2\pi L}{\lambda}-\omega t-\frac{2\pi x}{\lambda}\sin{\theta}\Big)}$$

スリット内の各位置 $x$ から出る波は、観測方向 $\theta$ によって位相が少しずつ異なります。したがって、スリット全体（$-D/2,D/2$）からの波を重ね合わせるため、$x$ について積分すると、

$$F=A\int_{-D/2}^{D/2}\sin{\Big(\frac{2\pi L}{\lambda}-\omega t-\frac{2\pi x}{\lambda}\sin{\theta}\Big)}dx$$$$=\frac{A\lambda}{2\pi\sin{\theta}}\left[\cos{\Big(\frac{2\pi L}{\lambda}-\omega t-\frac{2\pi x}{\lambda}\sin{\theta}\Big)}\right]_{-D/2}^{D/2}$$

ここで、

$$\alpha=\frac{2\pi L}{\lambda}-\omega t　,　　\beta=\frac{\pi D}{\lambda}\sin{\theta}$$

と置いて、三角関数の加法定理：

$$\cos{(\alpha-\beta)}-\cos{(\alpha+\beta)}=2\sin{\alpha}\sin{\beta}$$

を使うと、

$$F=AD\frac{\lambda}{\pi D\sin{\theta}}\sin{\alpha}\sin{\beta}$$

光の強さは振幅の２乗であり、$\theta$ の関数として表すと、

$$I=F^2\propto\frac{1}{\beta^2}\sin^2{\beta}$$

これより①が得られることが分かります。