反応速度式とは

/物理化学

反応速度式

反応速度式とは、反応速度と反応物の濃度と定数パラメタ(反応速度定数と反応次数など)との関係式です。次の化学反応の場合、

$$\alpha A+\beta B+\gamma C+\cdots \to \mu M+\nu N+\cdots$$

反応物の1つの $A$ の濃度 $[A]$ の時間的減少の割合は、反応速度式により表されます。

$$\frac{d[A]}{dt}=-k[A]^\alpha[B]^\beta[C]^\gamma\cdots$$

このとき、$\alpha+\beta+\gamma+\cdots$ は反応の次数と呼ばれます。

尚、生成物の初期の濃度を $a,b,c,\cdots$ 、生成物の濃度を $x$ とすると、化学反応式は以下のようにも書くことができます。

$$\frac{dx}{dt}=k(a-x)^\alpha(b-x)^\beta(c-b)^\gamma+\cdots$$

$x$ が十分小さいときの初速度は、以下のようになります。

$$\frac{dx}{dt}=ka^\alpha b^\beta c^\gamma+\cdots$$

1次反応速度式

次のような1次反応を考えます。

$$A \to M+N$$$$\frac{dx}{dt}=k(a-x)  -①$$

これを積分すると以下になります。

$$kt=\ln{\frac{a}{a-x}}  -②$$$$x=a(1-e^{-kt})$$

このとき、半減期 $\tau$(生成物の濃度が反応物の初期濃度の半分になる時間)は、以下になります。

$$\tau=\frac{\ln{2}}{k}$$

②を導く

①を変数を分離して積分すると、

$$\int kdt=\int\frac{dx}{a-x}$$$$kt+C=-\ln{(a-x)}  -(1)$$

積分定数 $C$ を $t=0$、$x=0$ の条件で求め、

$$C=-\ln{a}$$

(1) に代入すると、②が求められます。

2次反応速度式①

次のような2次反応を考えます。

$$A+B \to M+N$$$$\frac{dx}{dt}=k(a-x)(b-x)  -③$$

これを積分すると以下になります。

$$kt=\frac{1}{a-b}\ln{\frac{b(a-x)}{a(b-x)}}  -④$$

④を導く

③を変数を分離して、

$$\int kdt=\int\frac{dx}{(a-x)(b-x)}$$

分数を次のように分解し、

$$\frac{1}{(a-x)(b-x)}=\frac{1}{a-b}\Big(-\frac{1}{a-x}+\frac{1}{b-x}\Big)$$

積分すると以下になります。

$$kt+C=\frac{\ln{(a-x)-\ln{(b-x)}}}{a-b}  -(2)$$

積分定数 $C$ を $t=0$、$x=0$ の条件で求め、

$$C=\frac{\ln{a}-\ln{b}}{a-b}$$

(2) に代入すると、④が求められます。

2次反応速度式②

次のような2次反応を考えます。

$$2A \to M+N$$$$\frac{dx}{dt}=k(a-x)^2  -⑤$$

これを積分すると以下になります。

$$kt=\frac{x}{a(a-x)}  -⑥$$

このとき、半減期 $\tau$ は、以下になります。

$$\tau=\frac{1}{ka}$$

⑥を導く

⑤を変数を分離して積分すると、

$$\int kdt=\int\frac{dx}{(a-x)^2}$$$$kt+C=\frac{1}{a-x}  -(3)$$

積分定数 $C$ を $t=0$、$x=0$ の条件で求め、

$$C=\frac{1}{a}$$

(3) に代入すると、⑥が求められます。

3次反応速度式

次のような3次反応を考えます。

$$2A+B \to M+N$$$$\frac{dx}{dt}=k(a-2x)^2(b-x)  -⑦$$

これを積分すると以下になります。

$$kt=\frac{1}{(2b-a)^2}\Big(\ln{\frac{b(a-2x)}{a(b-x)}}+\frac{2(2b-a)x}{a(a-2x)}\Big)  -⑧$$

⑧を導く

⑦を変数を分離して、

$$\int kdt=\int\frac{dx}{(a-2x)^2(b-x)}$$

分数を次のように分解し、

$$\frac{1}{(a-2x)^2(b-x)}=\frac{1}{(2b-a)^2}\Big(\frac{4x-4(a-b)}{(a-2x)^2}+\frac{1}{b-x}\Big)$$

積分すると以下になります。

$$kt+C=\frac{1}{(2b-a)^2}\Big(\frac{a}{a-2x}+\ln{(a-2x)}-\frac{2(a-b)}{a-2x}-\ln{(b-x)}\Big)$$$$=\frac{1}{(2b-a)^2}\Big(\ln{(a-2x)}-\ln{(b-x)}-\frac{a-2b}{a-2x}\Big)  -(4)$$

積分定数 $C$ を $t=0$、$x=0$ の条件で求め、

$$C=\frac{1}{(2b-a)^2}\Big(\ln{a}-\ln{b}-\frac{a-2b}{a}\Big)$$

(4) に代入すると、⑧が求められます。

 

物性物理
統計力学、個体物理、プラズマ物理、宇宙物理、エレクトロニクス、量子コンピュータ
散策路TOP
力学、電磁気・相対論、熱・統計力学、量子力学、物性物理、機械学習、情報処理、金融、物理数学

 

タイトルとURLをコピーしました