反応速度式
反応速度式とは、反応速度と反応物の濃度と定数パラメタ（反応速度定数と反応次数など）との関係式です。次の化学反応の場合、
$$\alpha A+\beta B+\gamma C+\cdots \to \mu M+\nu N+\cdots$$
反応物の１つの $A$ の濃度 $[A]$ の時間的減少の割合は、反応速度式により表されます。
$$\frac{d[A]}{dt}=-k[A]^\alpha[B]^\beta[C]^\gamma\cdots$$
このとき、$\alpha+\beta+\gamma+\cdots$ は反応の次数と呼ばれます。
尚、生成物の初期の濃度を $a,b,c,\cdots$ 、生成物の濃度を $x$ とすると、化学反応式は以下のようにも書くことができます。
$$\frac{dx}{dt}=k(a-x)^\alpha(b-x)^\beta(c-b)^\gamma+\cdots$$
$x$ が十分小さいときの初速度は、以下のようになります。
$$\frac{dx}{dt}=ka^\alpha b^\beta c^\gamma+\cdots$$
１次反応速度式
次のような１次反応を考えます。
$$A \to M+N$$$$\frac{dx}{dt}=k(a-x) -①$$
これを積分すると以下になります。
$$kt=\ln{\frac{a}{a-x}} -②$$$$x=a(1-e^{-kt})$$
このとき、半減期 $\tau$（生成物の濃度が反応物の初期濃度の半分になる時間）は、以下になります。
$$\tau=\frac{\ln{2}}{k}$$
②を導く
①を変数を分離して積分すると、
$$\int kdt=\int\frac{dx}{a-x}$$$$kt+C=-\ln{(a-x)} -(1)$$
積分定数 $C$ を $t=0$、$x=0$ の条件で求め、
$$C=-\ln{a}$$
(1) に代入すると、②が求められます。
２次反応速度式①
次のような２次反応を考えます。
$$A+B \to M+N$$$$\frac{dx}{dt}=k(a-x)(b-x) -③$$
これを積分すると以下になります。
$$kt=\frac{1}{a-b}\ln{\frac{b(a-x)}{a(b-x)}} -④$$
④を導く
③を変数を分離して、
$$\int kdt=\int\frac{dx}{(a-x)(b-x)}$$
分数を次のように分解し、
$$\frac{1}{(a-x)(b-x)}=\frac{1}{a-b}\Big(-\frac{1}{a-x}+\frac{1}{b-x}\Big)$$
積分すると以下になります。
$$kt+C=\frac{\ln{(a-x)-\ln{(b-x)}}}{a-b} -(2)$$
積分定数 $C$ を $t=0$、$x=0$ の条件で求め、
$$C=\frac{\ln{a}-\ln{b}}{a-b}$$
(2) に代入すると、④が求められます。
２次反応速度式②
次のような２次反応を考えます。
$$2A \to M+N$$$$\frac{dx}{dt}=k(a-x)^2 -⑤$$
これを積分すると以下になります。
$$kt=\frac{x}{a(a-x)} -⑥$$
このとき、半減期 $\tau$ は、以下になります。
$$\tau=\frac{1}{ka}$$
⑥を導く
⑤を変数を分離して積分すると、
$$\int kdt=\int\frac{dx}{(a-x)^2}$$$$kt+C=\frac{1}{a-x} -(3)$$
積分定数 $C$ を $t=0$、$x=0$ の条件で求め、
$$C=\frac{1}{a}$$
(3) に代入すると、⑥が求められます。
３次反応速度式
次のような３次反応を考えます。
$$2A+B \to M+N$$$$\frac{dx}{dt}=k(a-2x)^2(b-x) -⑦$$
これを積分すると以下になります。
$$kt=\frac{1}{(2b-a)^2}\Big(\ln{\frac{b(a-2x)}{a(b-x)}}+\frac{2(2b-a)x}{a(a-2x)}\Big) -⑧$$
⑧を導く
⑦を変数を分離して、
$$\int kdt=\int\frac{dx}{(a-2x)^2(b-x)}$$
分数を次のように分解し、
$$\frac{1}{(a-2x)^2(b-x)}=\frac{1}{(2b-a)^2}\Big(\frac{4x-4(a-b)}{(a-2x)^2}+\frac{1}{b-x}\Big)$$
積分すると以下になります。
$$kt+C=\frac{1}{(2b-a)^2}\Big(\frac{a}{a-2x}+\ln{(a-2x)}-\frac{2(a-b)}{a-2x}-\ln{(b-x)}\Big)$$$$=\frac{1}{(2b-a)^2}\Big(\ln{(a-2x)}-\ln{(b-x)}-\frac{a-2b}{a-2x}\Big) -(4)$$
積分定数 $C$ を $t=0$、$x=0$ の条件で求め、
$$C=\frac{1}{(2b-a)^2}\Big(\ln{a}-\ln{b}-\frac{a-2b}{a}\Big)$$
(4) に代入すると、⑧が求められます。
