ドリフト運動とは

/プラズマ物理

ドリフト運動とは、磁場内を運動する荷電粒子にある力が作用したとき、磁場にも力にも垂直な方向に発生する等速運動です。

一般的な外力の場合

一定磁場な磁場のみ存在する空間では、荷電粒子はローレンツ力により円運動を行うため、磁場により閉じ込められた状態になります。しかし、外力が働くと、その閉じ込めが破られてしまいます。

このときの運動方程式は以下になります。右辺1項が荷電粒子に働く外力(${\bf F}$)、第2項はローレンツ力を表します。

$$m\frac{d{\bf v}}{dt}={\bf F}+q{\bf v}\times{\bf B}  -①$$

ここで簡単のため、磁場を $z$ 成分のみ($0,0,B$)、磁場に垂直な外力は $x$ 成分のみ($F_x,0,F_z$)とし、①を解くと以下になります。尚、$\omega_c$ はサイクロトロン振動数($\omega_c=qB/m$)です。

$$v_x=v_\perp e^{i\omega_ct}$$$$v_y=iv_\perp e^{i\omega_ct}-\frac{F_x}{qB}  -②$$$$v_z=\frac{F_z}{m}t$$

②の右辺第1項は等速円運動を表し、第2項は外力の作用により発生するドリフト運動です。ドリフト運動は、磁場($z$ 軸)と外力($x$ 軸)の双方に垂直な方向($y$ 軸)に等速運動が発生することが分かります。尚、$z$ 軸方向は外力による等加速運動になります。

一般的には、ドリフト運動の速度 ${\bf v}_f$ は以下で表されます。

$${\bf v}_f=\frac{1}{q}\frac{{\bf F}\times{\bf B}}{B^2}  -③$$

②を導く

${\bf B}=(0,0,B)$ 、${\bf F}=(F_x,0,F_z)$ として、①を書き下すと、

$$m\dot{v}_x=F_x+qv_yB  -(1)$$$$m\dot{v}_y=-qv_xB  -(2)$$$$m\dot{v}_z=F_z$$

(1)と(2)を時間微分すると、

$$m\ddot{v}_x=q\dot{v_y}B  -(3)$$$$m\ddot{v}_y=-q\dot{v_x}B$$

(2)を(3)に代入し、サイクロトロン振動数 $\omega_c$ を使うと、

$$\ddot{v}_x=-\omega_c^2v_x$$$$v_x=v_\perp e^{i\omega_ct}$$

これを時間微分し、

$$\dot{v}_x=i\omega_cv_\perp e^{i\omega_ct}$$

(1)に代入すると②が得られます。

③を導く

ドリフト運動は等速運動であるため、①の左辺を0と置き、右から ${\bf B}$ のベクトル積を取り、ベクトル公式

$$({\bf v}\times{\bf B})\times{\bf B}=-B^2{\bf v}+({\bf v}\cdot{\bf B}){\bf B}$$

を使うと以下になります。

$$0={\bf F}\times{\bf B}-qB^2{\bf v}+q({\bf v}\cdot{\bf B}){\bf B}$$

第3項は磁場に平行な運動で、${\bf v}_g\cdot{\bf B}=0$ となるため、第1項から③が得られます。

重力の場合

重力の場合、${\bf F}=m{\bf g}$ であるため、③より以下になります。

$${\bf v}_g=\frac{m}{q}\frac{{\bf g}\times{\bf B}}{B^2}$$

電場の場合

一様な電場の場合、${\bf F}=q{\bf E}$ であるため、③より以下になります。

$${\bf v}_E=\frac{{\bf E}\times{\bf B}}{B^2}$$

磁場の強さが変わる場合

非均一な磁場で、特に $\nabla B\perp{\bf B}$ の場合を考えます。 磁場の強さが以下のようにテイラー展開されるとき、

$${\bf B}={\bf B}_0+({\bf r}\cdot\nabla){\bf B}+\cdots$$

磁場から受ける力は以下になります。ここで、$r_L$ はラーモア半径、$v_\perp$ は磁場に垂直面上での速度です。

$${\bf F}=-q{\bf v}\times{\bf B}=\frac{qv_\perp r_L}{2}\nabla B  -⑤$$

$$r_L=\frac{mv_\perp}{|q|B}$$

従って、$\nabla B$ によるドリフトは③より以下になります。

$${\bf v}_{\nabla B}=\frac{v_\perp r_L}{2}\frac{(\nabla B)\times{\bf B}}{B^2}$$

⑤を導く

磁場を $(0,0,B_z)$、強さが $y$ 軸方向に変化する場合、磁場のテイラー展開は、

$$B_z=B_0+y\frac{\partial B_z}{\partial y}$$

ローレンツ力の $y$ 成分を書くと、

$$F_y=-qv_xB_z=-qv_x\Big(B_0+y\frac{\partial B_z}{\partial y}\Big)$$

回転運動を行っているため、

$$(x,y)=(r_L\cos{\omega_ct},r_L\sin{\omega_ct})$$

$$(\dot{x},\dot{y})=(-\omega_cr_L\sin{\omega_ct},\omega_cr_L\cos{\omega_ct})$$

従って、

$$F_y=q\omega_cr_L\sin{\omega_ct}\Big(B_0+r_L\sin{\omega_ct}\frac{\partial B_z}{\partial y}\Big)$$

これの平均を取ると、第1項は0、第2項は $\overline{\sin^2{\omega t}}=1/2$ であるため、

$$\overline{F}_y=\frac{q\omega_cr_L^2}{2}\frac{\partial B}{\partial y}$$

湾曲磁場の場合

非均一な磁場で、特に磁場が湾曲している場合を考えます。磁力線の曲率半径を $R_c$ とすると、磁力線に沿って運動する荷電粒子が受ける遠心力は、

$${\bf F}_{cf}=mv_\parallel^2\frac{{\bf R}_c}{R_c^2}$$

であるため、湾曲磁場によるドリフトは②より以下になります。

$${\bf v}_R=\frac{mv_\parallel^2}{2}\frac{{\bf R}_c\times{\bf B}}{R_c^2B^2}$$

尚、磁場が湾曲している場合は磁場の強さも変化するため、真空湾曲磁場でのドリフトは$\nabla B$ との合成になります。

$${\bf v}_R+{\bf v}_{\nabla B}=\frac{m}{q}\frac{{\bf R}_c\times{\bf B}}{R_c^2B^2}\Big(v_\parallel^2+\frac{1}{2}v_\perp^2\Big)$$

 

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