ポグソンの式とは

/宇宙物理

ポグソンの式とは、天体の見かけの明るさ(光度)と等級との関係を表す式です。

天体の明るさ

明るさ(光度、luminosity)とは、星などの天体から単位時間、単位面積に放射されるエネルギーと定義されます($Js^{-1}m^{-2}$)。見かけの明るさは、距離が遠くなるほど暗くなるため、明るさ $l$ と距離 $r$ との関係は以下になります。

$$l\propto\frac{1}{4\pi r^2}  -①$$

ポグソンの式

ポグソンの式は天体の明るさと等級の関係を表す関係式ですが、いくつかの仮定に基づいています。

  1. 等級が小さいほど明るい天体とする。2つの天体の明るさの”比”が等しい場合、等級の”差”は等しいとする。
  2. 人の肉眼で見える最も暗い等級を6等とし、1等は6等の100倍の明るさとする。

2つの天体の明るさを $l_1$ と $l_2$($l_1\gt l_2$)、等級を $m_1$ と $m_2$とすると、ポグソンの式は以下で表されます。

$$m_1-m_2=-\frac{5}{2}\log{\frac{l_1}{l_2}}  -②$$

これにより、1等級の差は、明るさの比で約2.51倍($=10^{2/5}$)となります。

ポグソンの式の導出

仮定1より、明るさの比が等級の差に等しいため、$\alpha$ を比例定数とすると、

$$m_1-m_2=\alpha\log{\frac{l_1}{l_2}}$$

1等は6等の100倍の明るさであるため、$m_1-m_2=-5$ と $l_1/l_2=100$ を代入すると、$\alpha=-5/2$ が得られます。

絶対等級

絶対等級とは、地球から10パーセク(32.6光年)の距離に天体があるとした場合の等級です。天体の距離 $r$ を、等級を $m$ として、絶対等級を $M$ とすると以下の関係にあります。尚、$R$ は10パーセクです。

$$m-M=5\log{\frac{r}{R}}$$

これは、明るさと距離の関係を①として、②に代入すると得られます。

例を挙げると、太陽の地球から見た等級は ー26.7等ですが、絶対等級は4.8等になります。

 

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