【高校数学】方程式と証明・図形

/高校数学

方程式・式と証明(数学Ⅱ)

2項定理

2項定理は以下で表されます。

$$(a+b)^n={}_nC_0a^n+{}_nC_1a^{n-1}b+{}_nC_2a^{n-2}b^2+\cdots$$$$+{}_nC_ra^{n-r}b^r+\cdots+{}_nC_{n-1}ab^{n-1}+{}_nC_nb^n$$

多項定理(3項)の場合は、$(a+b+c)^n$ の一般項は以下で表されます。

$$\frac{n!}{p!q!r!}a^pb^qc^r   (p+q+r=n)$$

剰余定理と因数定理

剰余定理と因数定理は以下で表されます。

  • 剰余定理:
    整式 $P(x)$ を $x-a$ で割ったときの余りは $P(a)$ である。
    整式 $P(x)$ を $ax+b$ で割ったときの余りは $P(-b/a)$ である。
  • 因数定理:
    整式 $P(x)$ が $x-a$ を因数にもつならば、$P(a)=0$
    整式 $P(x)$ が $ax+b$ を因数にもつならば、$P(-b/a)=0$

高次方程式

高次方程式の性質は以下になります。

  • 実数係数の次方程式が虚数解 $a+bi$ をもつならば、
    それと共役な複素数 $a+bi$ も解である。
  • 3次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の3つの解を $\alpha,\beta,\gamma$ とすると、
    $$\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}$$$$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a}$$$$\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}$$$$ax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$$

恒等式と不等式

恒等式の性質は以下になります。

  • $P(x)=Q(x)$ が $x$ についての恒等式であるならば、
    $P(x)$ と$Q(x)$ の同じ次数の項の係数は一致する。
  • 2次の整式の場合:
    $ax^2+bx+c=a’x^2+b’x+c’$ が $x$ の恒等式ならば、
    $a=a’$ 、$b=b’$ 、$c=c’$ が成り立つ。

不等式について以下の関係が成り立ちます。

  • $a\gt b$ ならは、$a-b\gt0$ 、$a^2\gt b^2$
  • コーシー・シュワルツの不等式:
    $$(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge(ax+by)^2$$$$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\ge(ax+by+cz)^2$$
  • 相加平均と相乗平均:
    $a\gt0$ 、$b\gt0$ のとき以下の関係が成り立つ(等号は $a=b$ の場合)
    $$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$$

図形と方程式(数学Ⅱ)

点の座標

3点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$ において、

  • 内分点:線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点
    $$\Big(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\frac{ny_1+my_2}{m+n}\Big)$$
  • 外分点:線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点
    $$\Big(\frac{-nx_1+mx_2}{m-n},\frac{-ny_1+my_2}{m-n}\Big)$$
  • 重心:三角形の重心は、
    $$\Big(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\Big)$$

直線の方程式

直線の方程式は以下で表されます。

  • 直線の方程式の一般形
    $$ax+by+c=0$$
  • 点($x_1,y_1$)を通り、傾き $a$ の直線の方程式
    $$y-y_1=a(x-x_1)$$
  • 2点($x_1,y_1$)、($x_2,y_2$)を通る方程式
    $$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$$

2直線 $y=ax+b$、$y=a’x+b’$ について、

  • 交わる条件:$a\ne a’$
  • 平行条件:$a=a’$
  • 垂直条件:$aa’=-1$

距離と面積

  • 2点間の距離:
    2点 $(x_1,y_1)$ 、 $(x_2,y_2)$ 間の距離 $d$ は、
    $$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$
  • 点と直線の距離:
    点 $(x_1,y_1)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離 $d$ は、
    $$d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
  • 三角形の面積:
    原点と2点 $(x_1,y_1)$ 、 $(x_2,y_2)$ を頂点とする三角形の面積 $S$ は、
    $$S=\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|$$

円の方程式

円の方程式は以下で表されます。

  • 点 $(a,b)$ を中心とし、半径 $r$ の円の方程式は、
    $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
  • 円の方程式の一般形は、
    $$x^2+y^2+lx+my+n=0  (l^2+m^2-4n\gt0)$$
  • 円周上の点を通る接点 $(x_1,y_1)$ の方程式は、
    $$x_1x+y_1y=r^2$$

不等式の領域

不等式の表す領域は以下になります。

  • $y\gt f(x)$:曲線 $y=f(x)$ の上側部分。
  • $y\lt f(x)$:曲線 $y=f(x)$ の下側部分。
  • $x^2+y^2\lt r^2$:原点を中心とする半径 $r$ の円の内部。
  • $x^2+y^2\gt r^2$:原点を中心とする半径 $r$ の円の外部。

 

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