数列
等差数列
初項 $a$ 、公差 $d$ 、末項 $b$ のとき、
- 一般項 $a_n$：
$$a_n=a+(n-1)d$$ - 等差の中項：$a,b,c$ が等差数列であれば、$2b=a+c$
- $n$ 項までの和 $S_n$（$=a_n+S_{n-1}$）：
$$S_n=\frac{1}{2}n(a+b)=\frac{1}{2}n\Big(2a+(n-1)d\Big)$$
等比数列
初項 $a$ 、公差 $d$ のとき、
- 一般項 $a_n$：
$$a_n=ar^{n-1}$$ - 等比の中項：$a,b,c$ が等差数列であれば、$b^2=ac$
- $n$ 項までの和 $S_n$（$=a_n+S_{n-1}$）：
$$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$
数列の公式
$p,q$ が $k$ に無関係な定数とすると、
$$\sum_{k=1}^n(pa_k+qb_n)=p\sum_{k=1}^na_k+q\sum_{k=1}^nb_n$$
累乗の和は以下で表されます。
$$\sum_{k=1}^nc=nc$$$$\sum_{k=1}^n1=n$$$$\sum_{k=1}^nk=\frac{1}{2}n(n+1)$$$$\sum_{k=1}^nk^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$$$\sum_{k=1}^nk^3=\Big(\frac{1}{2}n(n+1)\Big)^2$$
階差数列
数列 $a_n$ の階差数列を $b_n$（$b_n=a_{n+1}-a_n$）とすると、
$$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_n (n\ge2)$$
数学的帰納法
ある自然数 $n$ に関する命題が、全ての自然数に対して成り立つことを証明するには、以下の２つのことを示せばよい。
- $n=1$ のときに成り立つ。
- $n=k$ のときに成り立つとき、$n=k+1$ のときも成り立つ。
ベクトル
ベクトルの計算
ベクトルには以下の関係が成り立ちます。
- ベクトルの平行条件：
２つのベクトル $\vec{a},\vec{b}$ が平行（$\vec{a}\parallel\vec{b}$）であるならば、
$\vec{a}=k\vec{b}$ となる実数が存在する。 - ベクトルの分解：
２つのベクトル $\vec{a},\vec{b}$ が平行でないならば、
任意のベクトルは $\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}$ で表されます（ $s,t$ は実数）
ベクトルの成分
２つのベクトル $\vec{a}=(a_1,a_2)$ 、$\vec{b}=(b_1,b_2)$ について、
- ベクトルの大きさ：
$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ - 成分による演算：
$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2)$
$k$ が実数の場合、$k\vec{a}=(ka_1,ka_2)$
２つの点 $A(a_1,a_2)$ 、$B(b_1,b_2)$ について、
- ベクトルの表記：
$\overrightarrow{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2)$ - ベクトルの大きさ
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}$
内積
２つのベクトル $\vec{a}=(a_1,a_2)$ 、$\vec{b}=(b_1,b_2)$ の内積は以下になります。
- 内積の定義：
$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta}=a_1b_1+a_2b_2$ - 内積の性質：
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$
$\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$
$\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}$ - 垂直条件：
２つのベクトルが垂直（$\vec{a}\perp\vec{b}$）ならば、$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$（$a_1b_1+a_2b_2=0$）
位置ベクトル
３点 $A(\vec{a})$ 、$B(\vec{b})$ 、$C(\vec{c})$ について、
- 内分点：
線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点 $C$ の位置ベクトルは、
$$\vec{c}=\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$$ - 外分点：
線分 $AB$ を $m:n$（ $m\gt n$ ）に外分する点 $C$ の位置ベクトルは、
$$\vec{c}=\frac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}$$ - ３点が一直線上にある条件は、
$\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$ となる実数 $k$ が存在する。
三角形の面積
三角形 $OAB$ の面積 $S$ は、$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ 、$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ とすると、
$$S=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}$$
［導出］
三角形の面積 $S$ の２乗を計算すると、内積の定義 $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta}$ より、$$S^2=\Big(\frac{1}{2}|a||b|\sin{\theta}\Big)^2=\frac{1}{4}|a|^2|b|^2\Big(1-\frac{(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}{|a|^2|b|^2}\Big)$$
ベクトル方程式
点 $A(\vec{a})$ 、$B(\vec{b})$ について、
- 点 $A$ を通り、$\vec{u}$ に平行な直線の方程式：
$\vec{p}=\vec{a}+t\vec{u}$ - ２点 $A,B$ を通る直線の方程式：
$\vec{p}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}$ - 点 $A$ を通り、$\vec{u}$ に平行な直線の方程式：
$\vec{u}\cdot(\vec{p}-\vec{a})=0$ - 中心 $C(\vec{c})$ 、半径 $r$ の円の方程式：
$|\vec{p}-\vec{c}|=r$
三角形 $ABC$ に対して、$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ のときの点の存在範囲は、
- $s+t=1$ ならば、直線 $AB$
- $s+t=1$ 、$s\ge0$ 、$t\ge0$ ならば、線分 $AB$
- $0\le s+t\le1$ 、$s\ge0$ 、$t\ge0$ ならば、三角形 $OAB$ の周と内部
- $0\le s\le1$ 、$0\le t\le1$ ならは、平行四辺形 $OABC$ の周と内部
