ネーターの定理とは
ネーターの定理とは、ある系に対称性がある場合は、それに対応した保存則があることを示した定理です。例えば、並進対称がある場合は、エネルギーと運動量の保存則が成り立ち、回転対称性がある場合は、角運動量の保存則が成り立ちます。
座標の微小変換を以下で定義します。
$$x_i \to x_{i’}=x_i+\delta x_i -①$$
これによる場の変換を以下であると仮定します。
$$\phi(x) \to \phi'(x’)\equiv\phi(x)+\delta\phi(x) -②$$
作用 $I$ をラグラジアン密度 ${\mathcal L}$ を用いて以下で定義すると、
$$I\equiv\int d^4x{\mathcal L}\big(\phi(x),\partial_i\phi(x)\big)$$$$\partial_i\phi(x)\equiv\frac{\partial\phi(x)}{\partial x^i}$$
微小変換に対する系の不変性とは、$\delta I=0$ であることを意味します。従って、
$$\int d^4x'{\mathcal L}\big(\phi'(x’),\partial_{i’}\phi'(x’)\big)-\int d^4x{\mathcal L}\big(\phi(x),\partial_i\phi(x)\big)=0 -③$$
これより以下の関係式が得られます。
$$\partial_i\Big(\delta x^i{\mathcal L}+\delta\phi\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_i\phi)}-\delta x^j\partial_j\phi\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_i\phi)}\Big)$$$$+(\delta\phi-\delta x^j\partial_j\phi)\Big(\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi}-\partial_i\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_i\phi)}\Big)=0 -④$$
④の導出
③の左辺について、微小量 $\delta$ の２次の項は省略すると、
$$d^4x’=\Big|\frac{\partial x^{i’}}{\partial x^j}\Big|d^4x=\Big|\frac{\partial x^i+\delta x^i}{\partial x^j}\Big|d^4x$$$$=\det(\delta_j^i+\partial_j\delta x^i)d^4x\simeq(1+\partial_i\delta x^i)d^4x$$
$$\partial_{i’}\phi'(x’)=\frac{\partial x^j}{\partial x^{i’}}\partial_j\phi'(x’)=(\delta_j^i+\partial_j\delta x^i)^{-1}\partial_j\big(\phi(x)+\delta\phi(x)\big)$$$$\simeq(\delta_i^j-\partial_i\delta x^j)\partial_j\big(\phi(x)+\delta\phi(x)\big)\simeq\partial_i\phi(x)+\partial_i\delta\phi(x)-\partial_i\delta x^j\partial_j\phi(x)$$
これらを③に代入し、 $\delta$ の２次の項を省略すると、
$$0=\int d^4x'{\mathcal L}\big(\phi'(x’),\partial_{i’}\phi'(x’)\big)-\int d^4x{\mathcal L}\big(\phi(x),\partial_i\phi(x)\big)$$$$=\int d^4x(1+\partial_i\delta x^i)\Big({\mathcal L}(\phi,\partial_i\phi)+\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_i\phi)}\big(\partial_i\delta\phi-(\partial_i\delta x^j)\partial_j\phi\big)+\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi}\delta\phi\Big)$$$$-\int d^4x{\mathcal L}(\phi,\partial_i\phi)$$$$=\int d^4x\Big((\partial_i\delta x^i){\mathcal L}+\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_i\phi)}\big(\partial_i\delta\phi-(\partial_i\delta x^j)\partial_j\phi\big)+\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi}\delta\phi\Big) -(1)$$
(1) の第１項について、
$$(\partial_i\delta x^i){\mathcal L}=\partial_i(\delta x^i{\mathcal L})-\delta x^i(\partial_i{\mathcal L})$$$$=\partial_i(\delta x^i{\mathcal L})-\delta x^i(\partial_i\partial_j\phi)\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_j\phi)}-\delta x^i(\partial_i\phi)\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi} -(2)$$
(1) の第２項について、
$$\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_i\phi)}(\partial_i\delta\phi)=\partial_i\Big(\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_i\phi)}\delta\phi\Big)-\partial_i\Big(\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_i\phi)}\Big)\delta\phi -(3)$$
(1)の第３項と(2)の右辺第２項について、
$$-\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_i\phi)}(\partial_i\delta x^j)\partial_j\phi-\delta x^j(\partial_i\partial_j\phi)\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_i\phi)}$$$$=-\partial_i\Big(\delta x^j\partial_j\phi\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_i\phi)}\Big)+\delta x^j\partial_j\phi\partial_i\Big(\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_i\phi)}\Big) -(4)$$
(2) (3) (4) を (1) に代入すると、(2)の第１項、(3)の第１項、(4)の第１項より、
$$0=\int d^4x\partial_i\Big(\delta x^i{\mathcal L}+\delta\phi\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_i\phi)}-\delta x^j\partial_j\phi\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_i\phi)}\Big) -(5)$$
(1)の第４項、(2)の第３項、(3)の第２項、(4)の第２項より、
$$0=\int d^4x\Big(\delta\phi\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi}-\delta x^j\partial_j\phi\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi}-\delta\phi\partial_i\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_i\phi)}+\delta x^j\partial_j\phi\partial_i\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_i\phi)}\Big)$$$$=\int d^4x(\delta\phi-\delta x^j\partial_j\phi)\Big(\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi}-\partial_i\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_i\phi)}\Big) -(6)$$
(5) と (6) より⓸が得られます。
連続の方程式
$$\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi}-\partial_i\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_i\phi)}=0$$
が成り立つ場合、④の後半部分は０になるため、以下の保存則（連続の方程式）が導かれます。
$$\partial_i\delta J^i=0 -⑤$$
ここで４元ベクトル $J^i$（ネーターカレント）を以下で定義します。$T^{ij}$ は、エネルギー運動量テンソルと呼ばれています。
$$\delta J^i\equiv\delta\phi\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_i\phi)}-\delta x_jT^{ij}$$$$T^{ij}\equiv\partial^j\phi\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_i\phi)}-g^{ij}{\mathcal L}$$
４元ベクトルを $(J^0,J^1,J^2,J^3)=(c\rho,{\bf J})$ と置くと、⑤は以下のように書き換えられます。
$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot{\bf J}=0$$
エネルギーと運動量の保存則
①を以下のように書き替えます。$\epsilon_{ij}$ は反対称テンソル（$\epsilon_{ji}=-\epsilon_{ij}$ ）で、第２項は回転操作、第３項は並進操作を表します。
$$x_{i’}=x_i+\delta x_i=x_i+\epsilon_{ij}x^j+\delta_i -①’$$$$\phi'(x’)=\phi(x)+\delta\phi(x)=\phi(x)+\frac{1}{2}\epsilon_{ij}S^{ij}\phi(x) -②’$$
並進操作（$\epsilon_{ij}=0$）の場合、①’より $\delta x_i=\delta_i$、②’より $\delta\phi=0$ から、４元ベクトル量は定義式⑤は、
$$\delta J^i=-\delta x_jT^{ij}$$
エネルギーと運動量の保存則は以下で表されます。
$$\partial_iT^{ij}=0 -⑥$$
ここで、４元運動量を以下で定義すると、
$$cP^i\equiv\int d^3xT^{0i}$$
次の４つの保存量が得られます。
$$cP^0=\int d^3x\Big(\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\dot{\phi}}\dot{\phi}-{\mathcal L}\Big)=\int d^3x{\mathcal H}=H$$$$P^j=\int d^3x\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\dot{\phi}}\partial_j\phi (j=1,2,3)$$
角運動量の保存則
回転操作（$\delta_j=0$）の場合、①’より $\delta x_j=\epsilon_{jk}x^k$、②より $\delta\phi=\frac{1}{2}\epsilon_{ij}S^{ij}\phi(x)$ から、４元ベクトル量は定義式は、
$$\delta J^i=\frac{1}{2}\epsilon_{jk}S^{jk}\phi\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_i\phi)}-\epsilon_{jk}x^kT^{ij}$$
ここで $\epsilon_{jk}$ の反対称性を利用すると、右辺第２項は次のように書き替えられるため、
$$-\epsilon_{jk}x^kT^{ij}=\frac{1}{2}\epsilon_{jk}(T^{ik}x^j-T^{ij}x^k)$$
４元ベクトル量と場の角運動量演算子 $M^{ijk}$ は、
$$\delta J^i=\frac{1}{2}\epsilon_{jk}M^{ijk}$$$$M^{ijk}\equiv S^{jk}\phi\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_i\phi)}+(T^{ik}x^j-T^{ij}x^k)$$
これより、角運動量の保存則は以下で表されます。
$$\partial_iM^{ijk}=0 ₋⑦$$
