ラグランジュ方程式
ラグランジュ方程式とは、デカルト座標を用いて記述されたニュートンの運動方程式を、一般座標系に拡張した方程式です。ラグランジュ方程式は、ハミルトンの原理より導くことができます。
尚、一般化座標系とは、位置の表示がなるべく簡単に記述できるように設定された座標系で、極座標系や円柱座標系などがあります。３次元の場合の一般座標系（ $q_1,q_2,･･･$ ）とデカルト座標系（ $x,y,z$ ）とは、以下の関係で表されます。
$$x=x(q_1,q_2,q_3,t)$$$$y=y(q_1,q_2,q_3,t)$$$$z=z(q_1,q_2,q_3,t)$$
系のラグラジアンを以下で表すと、
$$L=L(q_1,\dot{q}_1,･･･,t)$$
ハミルトンの原理は次のように表され、
$$\delta I\equiv\delta\int_1^2L(q_1,\dot{q}_1,･･･,t)dt=0$$
ラグランジュ方程式は以下になります。
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_r}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_r}=0 -①$$
ラグランジュ方程式は、関数 $q$ の汎関数であるラグラジアンの時間積分が停留値を持つための条件になります。これは、変分法と呼ばれる方法で求めるができます。
ラグランジュ方程式を導く
以下は式を簡単にするため、１関数の場合を扱います。ハミルトンの原理を以下のように変形します。
$$\delta I\equiv\delta\int_1^2L(q,\dot{q},t)dt=\int_1^2\Big(\frac{\partial L}{\partial q}\delta q+\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta\dot{q}\Big)dt$$
右辺第２項で $\delta$ と時間微分を入れ替えて、部分積分法を使うと以下になります。
$$\int_1^2\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\frac{d(\delta q)}{dt}dt=\left[\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q\right]_1^2-\int_1^2\frac{d}{dt}\Big(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\Big)\delta qdt$$
時刻 $t_1$ と $t_2$ で差分 $\delta q$ は０になるため、第１項は消えます。従って以下になります。
$$\delta I=\int_1^2\left[\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\Big(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\Big)\right]\delta qdt$$
ここで、$\delta q$ は任意の値をとるため、$\delta I=0$ となる条件として被積分部分が０（ラグランジュ方程式）が導かれます。
ラグラジアンの形
以下は簡単のためデカルト座標 ${\bf r}$ を使います。
ポテンシャルが存在する場合
ポテンシャルが存在する場合のラグラジアンは以下になります。
$$L=\frac{m}{2}\dot{\bf r}^2-V$$
磁場が存在する場合
磁場が存在する場合のラグラジアンは以下になります。
$$L=\frac{m}{2}\dot{\bf r}^2-q\phi+q\dot{\bf r}\cdot{\bf A} -②$$
ここで、$\phi$ はスカラーポテンシャル、${\bf A}$ はベクトルポテンシャル、$q$ は電荷です。
$${\bf E}=-\nabla\phi-\frac{\partial{\bf A}}{\partial t}$$$${\bf B}=\nabla\times{\bf A}$$
②を導く
ローレンツ力による運動方程式を、スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルを使って書き替えると、
$$m\ddot{\bf r}=q({\bf E}+{\bf v}\times{\bf B})$$$$=q\Big(-\nabla\phi-\frac{\partial{\bf A}}{\partial t}+{\bf v}\times(\nabla\times{\bf A})\Big) -(1)$$
一方、ラグラジアン②を書き下すと、
$$L=\frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-q\phi+q(\dot{x}A_x+\dot{y}A_y+\dot{z}A_z)$$
ラグランジュ方程式①に代入すると、
$$0=\frac{d}{dt}(m\dot{x}+qA_x)+q\frac{\partial\phi}{\partial x}-q\Big(\dot{x}\frac{\partial A_x}{\partial x}+\dot{y}\frac{\partial A_y}{\partial x}+\dot{z}\frac{\partial A_z}{\partial x}\Big)$$$$=m\ddot{x}+q\frac{\partial A_x}{\partial t}+q\frac{\partial\phi}{\partial x}-q\Big[\dot{y}\Big(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\Big)-\dot{z}\Big(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\Big)\Big]$$
これは(1)の $x$ 成分を表しています。尚、途中で以下の関係を使っています。
$$\frac{dA_x}{dt}=\frac{\partial A_x}{\partial t}+\dot{x}\frac{\partial A_x}{\partial x}+\dot{y}\frac{\partial A_x}{\partial y}+\dot{z}\frac{\partial A_x}{\partial z}$$
ラグラジアン密度の系
系が、次のラグラジアン密度 ${\mathcal L}$ で表される場合のラグランジュ方程式を導きます。ここで、$\phi$ は場の変数です。
$${\mathcal L}={\mathcal L}\Big(\phi({\bf q}),\partial_\mu\phi({\bf q})\Big)$$$$\partial_\mu\equiv\frac{\partial}{\partial q_\mu}$$
ハミルトンの原理は次のように表され、
$$\delta I\equiv\delta\int{\mathcal L}\Big(\phi({\bf q}),\partial_\mu\phi({\bf q})\Big)d{\bf q}=0$$
ラグランジュ方程式は以下になります。
$$\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi}-\frac{\partial}{\partial q_\mu}\Big(\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Big)=0$$
ラグランジュ方程式を導く
ハミルトンの原理より、
$$\delta I=\int\Big(\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi}\delta\phi+\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta(\partial_\mu\phi)\Big)d{\bf q}$$
右辺第２項でと微分を入れ替えると、
$$\int\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\mu(\delta\phi)d{\bf q}=\left[\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta\phi\right]-\int\partial_\mu\Big(\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Big)\delta\phi d{\bf q}$$
境界条件として、右辺第１項は０と置くことができるため、以下になります。
$$\delta I=\int\left[\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\phi}-\partial_\mu\Big(\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Big)\right]\delta\phi d{\bf q}$$
ここで、$\delta\phi$ は任意の値をとるため、$\delta I=0$ となる条件として被積分部分が０（ラグランジュ方程式）が導かれます。
