エルンスト方程式とは

エルンスト方程式とは
エルンスト方程式の導出

エルンスト方程式（Ernst equation）とは、一般相対性理論において軸対称・定常真空解時空における重力場を定める方程式で、1968年にエルンスト（Frederick Joseph Ernst）によって導かれました。

エルンスト方程式は、真空・定常・軸対称なアインシュタイン方程式を、エルンストポテンシャルを用いて１本の非線形偏微分方程式に統合したもので、ブラックホールのカー解だけでなく、多くの重要な成果につながる基本方程式です。

エルンスト方程式は、エルンストポテンシャル $\varepsilon$ を使って以下のように表されます。

$$(\mathrm{Re}\,\varepsilon)\Delta\varepsilon=\nabla\varepsilon\cdot\nabla\varepsilon　　-①$$$$\varepsilon=f+i\chi　　-②$$

ここで、$f$ は以下のパパペトル計量で使われる $r$ と $z$ の関数です。（③の導出）

$$ds^2=g_{ij}x^ix^j=g_{tt}dt^2+2g_{t\phi}dtd\phi+g_{\phi\phi}d\phi^2+g_{rr}dr^2+g_{zz}dz^2$$$$=-fdt^2+2f\omega dtd\phi+\Big(\frac{r^2}{f}-f\omega^2\Big)d\phi^2+\frac{e^{2k}}{f}(dr^2+dz^2)　　-③$$

- $f(r,z)$：重力ポテンシャル
- $\omega(r,z)$：慣性系引きずり（frame dragging）
- $k(r,z)$：空間計量を決める関数

尚、軸対称な４次元時空座標を以下のように取ります。ここで、$t$ は時間、$\phi$ は回転角、$r$ は回転軸に垂直な軸、$z$ は回転軸に平行な軸を表します。

$$x^i=(t,r,z,\phi)$$

一方、$\chi$ はツイストポテンシャルで、以下で定義されます。

$$\frac{\partial\chi}{\partial z}=\frac{f^2}{r}\frac{\partial\omega}{\partial r}　　-⓸$$$$\frac{\partial\chi}{\partial r}=-\frac{f^2}{r}\frac{\partial\omega}{\partial z}　　-⓸$$

尚、パパペトル計量の関数は、$t$ と $\phi$ に依存しないため、ラプラシアン $\Delta$ などのベクトル演算は以下になります。

$$\Delta=\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$$$$(\nabla f)^2=f_r^2+f_z^2$$

エルンスト方程式の導出

エルンスト方程式を以下の順に導出します。

パパペトル計量

パパペトル計量の計量テンソルは以下になります。（④の導出）

$$g_{ij}=\left(\begin{array}{ccc} -f & 0 & 0 & f\omega \\
0 & e^{2k}/f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & e^{2k}/f & 0 \\
f\omega & 0 & 0 & r^2/f-f\omega^2 \end{array}\right)　　-⓸$$

また $g^{ik}g_{kj}=1$ より、

$$g^{ij}=\left(\begin{array}{ccc} -1/f+f\omega^2/r^2 & 0 & 0 & f\omega/r^2 \\
0 & fe^{-2k} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & fe^{-2k} & 0 \\
f\omega/r^2 & 0 & 0 & f/r^2 \end{array}\right)$$

ここで、計算を簡単にするため、座標を $(t,\phi)$ と $(r,z)$ に分割し、計量テンソルを以下のように表します。

$$g_{ij}=\left(\begin{array}{cc}
g_{AB} & 0 \\ 0 & g_{ab} \end{array}\right)　　-⑤$$$$g_{AB}=\left(\begin{array}{cc} -f & f\omega \\
f\omega & r^2/f-f\omega^2 \end{array}\right)$$$$g_{ab}=\left(\begin{array}{cc}
e^{2k}/f & 0 \\ 0 & e^{2k}/f \end{array}\right)$$

計量テンソルの行列式は、

$$g=|g_{ij}|=|g_{AB}||g_{ab}|=-\frac{r^2e^{4k}}{f^2}　　-⑥$$

③④の導出

定常で軸対象であるため、計量 $g_{ij}$ は $r$ と $z$ の関数になります。このとき、適当な座標変換（円形性定理、Circularity Theorem）により、

$$g_{tr}=g_{tz}=g_{r\phi}=g_{z\phi}=g_{rz}=0$$

ここで以下の関数を導入します。

$$f=-g_{tt}$$$$\omega=\frac{g_{t\phi}}{f}$$$$g_{rr}=g_{zz}=e^{2\gamma}=\frac{e^{2k}}{f}$$

クリストフェル記号の計算

クリストフェル記号を計算します。（⑦の導出）

$$\Gamma^i_{jk}=g^{il}\Gamma_{ljk}=\frac{1}{2}g^{il}\Big(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^k}+ \frac{\partial g_{lk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l}\Big)$$$$\Gamma^i_{ji}=\frac{\partial}{\partial x^j}\Big(\log{\sqrt{|g|}}\Big)　　-⑦$$

計量テンソル $g_{ij}$ が $r$ と $z$ の関数であることに留意して、重要なクリストフェル記号を計算します。ここで、微分の記号を $f_r=\partial f/\partial r$ 、$f_z=\partial f/\partial z$ 、$\partial_i=\partial/\partial x^i$ のように書き替えます。

⑦の導出

クリストフェル記号の縮約を行うと、計量テンソルは対象であるため、第１項と第３項が打ち消し合います。

$$\Gamma^i_{ji}=\frac{1}{2}g^{il}\Big(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^i}+ \frac{\partial g_{li}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ji}}{\partial x^l}\Big)=\frac{1}{2}g^{\alpha\beta}\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^j}$$

線形代数のヤコビの公式：

$$\frac{\partial g}{\partial x^j}=gg^{\alpha\beta}\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^j}$$

を使い、書き換えると関係式が得られます。

$$\Gamma^i_{ji}=\frac{1}{2g}\frac{\partial g}{\partial x^j}=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x^j}\log{|g|}=\frac{\partial}{\partial x^j}\log{|g|^{1/2}}$$

クリストフェル記号の分類

クリストフェル記号の64個の成分は、添え字ごとに６つのケースに分けられます。計量テンソルは $r$ と $z$ の関数であるため、

$$\Gamma^A_{BC}=\frac{1}{2}g^{AD}(\partial_Cg_{DB}+\partial_Bg_{DC}-\partial_Dg_{BC})=0$$$$\Gamma^a_{BC}=\frac{1}{2}g^{ab}(\partial_Cg_{bB}+\partial_Bg_{bC}-\partial_bg_{BC})=-\frac{1}{2}g^{ab}\partial_bg_{BC}$$$$\Gamma^A_{bC}=\frac{1}{2}g^{AD}(\partial_Cg_{Db}+\partial_bg_{DC}-\partial_Dg_{bC})=\frac{1}{2}g^{AD}\partial_bg_{DC}$$$$\Gamma^a_{bC}=\frac{1}{2}g^{ac}(\partial_Cg_{cb}+\partial_bg_{cC}-\partial_cg_{bC})=0$$$$\Gamma^A_{bc}=\frac{1}{2}g^{AD}(\partial_cg_{Db}+\partial_bg_{Dc}-\partial_Dg_{bc})=0$$$$\Gamma^a_{bc}=\frac{1}{2}g^{ad}(\partial_cg_{db}+\partial_bg_{dc}-\partial_dg_{bc})$$

$\Gamma^A_{BC}$ 成分

$\Gamma^A_{BC}$ の８個の成分は全て０になります。

$$\Gamma^{t}_{tt}=\Gamma^\phi_{tt}=\Gamma^{t}_{t\phi}=\Gamma^{\phi}_{t\phi}=\Gamma^{t}_{\phi t}=\Gamma^{\phi}_{\phi t}=\Gamma^{t}_{\phi\phi}=\Gamma^{\phi}_{\phi\phi}=0$$

$\Gamma^a_{BC}$ 成分

$\Gamma^a_{BC}$ の８個の成分は以下になります。

$$\Gamma^r_{tt}=-\frac{1}{2}g^{rr}\partial_rg_{tt}=\frac{1}{2}fe^{-2k}f_r$$$$\Gamma^z_{tt}=-\frac{1}{2}g^{zz}\partial_zg_{tt}=\frac{1}{2}fe^{-2k}f_z$$$$\Gamma^r_{t\phi}=\Gamma^r_{\phi t}=-\frac{1}{2}g^{rr}\partial_rg_{t\phi}=-\frac{1}{2}fe^{-2k}(f_r\omega+f\omega_r)$$$$\Gamma^z_{t\phi}=\Gamma^z_{\phi t}=-\frac{1}{2}g^{zz}\partial_zg_{t\phi}=-\frac{1}{2}fe^{-2k}(f_z\omega+f\omega_z)$$$$\Gamma^r_{\phi\phi}=-\frac{1}{2}g^{rr}\partial_rg_{\phi\phi}=-\frac{1}{2}fe^{-2k}\Big(\frac{2r}{f}-\frac{r^2f_r}{f^2}-f_r\omega^2-2f\omega\omega_r\Big)$$$$\Gamma^z_{\phi\phi}=-\frac{1}{2}g^{zz}\partial_zg_{\phi\phi}=\frac{1}{2}fe^{-2k}\Big(\frac{r^2f_z}{f^2}+f_z\omega^2+2f\omega\omega_z\Big)$$

$\Gamma^A_{bC}$ 成分

$\Gamma^A_{bC}$ の16個の成分は以下になります。

$$\Gamma^t_{tr}=\frac{1}{2}g^{tt}\partial_rg_{tt}+\frac{1}{2}g^{t\phi}\partial_rg_{\phi t}=\frac{f_r}{2f}+\frac{f^2\omega}{2r^2}\omega_r$$$$\Gamma^\phi_{tr}=\frac{1}{2}g^{\phi t}\partial_rg_{tt}+\frac{1}{2}g^{\phi\phi}\partial_rg_{t\phi}=\frac{f^2}{2r^2}\omega_r$$$$\Gamma^t_{tz}=\frac{1}{2}g^{tt}\partial_zg_{tt}+\frac{1}{2}g^{t\phi}\partial_zg_{\phi t}=\frac{f_z}{2f}+\frac{f^2\omega}{2r^2}\omega_z$$$$\Gamma^\phi_{tz}=\frac{1}{2}g^{\phi t}\partial_zg_{tt}+\frac{1}{2}g^{\phi\phi}\partial_zg_{t\phi}=\frac{f^2}{2r^2}\omega_z$$

$$\Gamma^t_{\phi r}=\frac{1}{2}g^{tt}\partial_rg_{t\phi}+\frac{1}{2}g^{t\phi}\partial_rg_{\phi\phi}=\frac{\omega}{f}-\frac{\omega f_r}{f}-\frac{1}{2}\Big(1+\frac{f^2\omega^2}{r^2}\omega_r\Big)$$$$\Gamma^t_{\phi z}=\frac{1}{2}g^{tt}\partial_zg_{t\phi}+\frac{1}{2}g^{t\phi}\partial_zg_{\phi\phi}=-\frac{\omega f_z}{f}-\frac{1}{2}\Big(1+\frac{f^2\omega^2}{r^2}\omega_z\Big)$$$$\Gamma^\phi_{\phi r}=\frac{1}{2}g^{\phi t}\partial_rg_{t\phi}+\frac{1}{2}g^{\phi\phi}\partial_rg_{\phi\phi}=\frac{1}{r}-\frac{f_r}{2f}-\frac{f^2\omega}{2r^2}\omega_r$$$$\Gamma^\phi_{\phi z}=\frac{1}{2}g^{\phi t}\partial_zg_{t\phi}+\frac{1}{2}g^{\phi\phi}\partial_zg_{\phi\phi}=-\frac{f_z}{2f}-\frac{f^2\omega}{2r^2}\omega_z$$

$\Gamma^a_{bC}$ 成分

$\Gamma^a_{bC}$ の16個の成分は全て０になります。

$$\Gamma^r_{tr}=\Gamma^z_{tr}=\Gamma^r_{tz}=\Gamma^z_{tz}=\Gamma^r_{\phi r}=\Gamma^z_{\phi r}=\Gamma^r_{\phi z}=\Gamma^z_{\phi z}=0$$

$\Gamma^A_{bc}$ 成分

$\Gamma^A_{bc}$ の８個の成分は全て０になります。

$$\Gamma^t_{rr}=\Gamma^\phi_{rr}=\Gamma^t_{rz}=\Gamma^\phi_{rz}=\Gamma^t_{zz}=\Gamma^\phi_{zz}=0$$

$\Gamma^a_{bc}$ 成分

$\Gamma^a_{bc}$ の８個の成分は以下になります。

$$\Gamma^r_{rr}=\frac{1}{2}g^{rr}\partial_rg_{rr}=k_r-\frac{f_r}{2f}$$$$\Gamma^z_{rr}=-\frac{1}{2}g^{zz}\partial_zg_{rr}=-k_z+\frac{f_z}{2f}$$$$\Gamma^r_{rz}=\frac{1}{2}g^{rr}\partial_zg_{rr}=k_z-\frac{f_z}{2f}$$$$\Gamma^z_{rz}=\frac{1}{2}g^{zz}\partial_rg_{zz}=k_r-\frac{f_r}{2f}$$$$\Gamma^r_{zz}=-\frac{1}{2}g^{rr}\partial_rg_{zz}=-k_r+\frac{f_r}{2f}$$$$\Gamma^z_{zz}=\frac{1}{2}g^{zz}\partial_zg_{zz}=k_z-\frac{f_z}{2f}$$

縮約成分

計量テンソルの行列式より、

$$\log{\sqrt{|g|}}=\log{\frac{re^{2k}}{f}}=\log{r}+2k-\log{f}$$

これと関係式より、

$$\Gamma^i_{ri}=\frac{1}{r}+2k_r-\frac{f_r}{f}$$$$\Gamma^i_{zi}=2k_z-\frac{f_z}{f}$$$$\Gamma_{tk}^k=\Gamma_{\phi k}^k=0$$

リッチテンソル $R_{t\phi}$ の計算

リッチテンソルの定義は、

$$R_{ij}=\frac{\partial\Gamma_{ik}^k}{\partial x^j}-\frac{\partial\Gamma_{ij}^k}{\partial x^k}-\Gamma_{ij}^l\Gamma_{lk}^k+\Gamma_{ik}^l\Gamma_{jl}^k$$

計量は $t$ と $\phi$ に依存しないため以下になります。（⑧の導出）

$$R_{t\phi}=-\frac{\partial\Gamma_{t\phi}^r}{\partial r}-\frac{\partial\Gamma_{t\phi}^z}{\partial z}-\Gamma_{t\phi}^l\Gamma_{lk}^k+\Gamma_{tk}^l\Gamma_{\phi l}^k$$$$=-\frac{1}{2}e^{-2k}\Big(\frac{f^2}{r}\omega_r+f^2(\omega_{rr}+\omega_{zz})+2f(f_r\omega_r+f_z\omega_z)$$$$+f\omega(f_{rr}+f_{zz})+\frac{f^4\omega}{r^2}(\omega_r^2+\omega_z^2)+\omega(f_r^2+f_z^2)\Big)　　-⑧$$

真空のアインシュタイン方程式 $R_{t\phi}=0 $より、

$$f^2(\omega_{rr}+\omega_{zz})+2f(f_r\omega_r+f_z\omega_z)+f\omega(f_{rr}+f_{zz})$$$$+\frac{f^2}{r}\omega_r+\frac{f^4\omega}{r^2}(\omega_r^2+\omega_z^2)+\omega(f_r^2+f_z^2)=0$$

ここで⑪を利用すると以下になります。

$$\frac{\partial}{\partial r}\Big(\frac{f^2}{r}\omega_r\Big)+\frac{\partial}{\partial z}\Big(\frac{f^2}{r}\omega_z\Big)=0　　-⑨$$

⑧の導出

第１項について、

$$-\partial_r\Gamma_{t\phi}^r=\frac{1}{2}\partial_r\Big(fe^{-2k}(f_r\omega+f\omega_r)\Big)$$$$=\frac{1}{2}e^{-2k}\Big((f_r-2fk_r)(f_r\omega+f\omega_r)+f(f_{rr}\omega+2f_r\omega_r+f\omega_{rr})\Big)$$

第２項について、

$$-\partial_z\Gamma_{t\phi}^z=\frac{1}{2}\partial_z\Big(fe^{-2k}(f_z\omega+f\omega_z)\Big)$$$$=\frac{1}{2}e^{-2k}\Big((f_z-2fk_z)(f_z\omega+f\omega_z)+f(f_{zz}\omega+2f_z\omega_z+f\omega_{zz})\Big)$$

第３項について、

$$-\Gamma_{t\phi}^l\Gamma_{lk}^k=-\Gamma_{t\phi}^r\Gamma_{rk}^k-\Gamma_{t\phi}^z\Gamma_{zk}^k$$$$=\frac{1}{2}e^{-2k}(f_r\omega+f\omega_r)\Big(\frac{f}{r}+2fk_r-f_r\Big)+\frac{1}{2}e^{-2k}(f_z\omega+f\omega_z)\Big(2fk_z-f_z\Big)$$

第１項～第３項を合わせると、

$$-\partial_r\Gamma_{t\phi}^r-\partial_z\Gamma_{t\phi}^z-\Gamma_{t\phi}^l\Gamma_{lk}^k=\frac{1}{2}e^{-2k}\Big(\frac{f}{r}(f_r\omega+f\omega_r)$$$$+f^2(\omega_{rr}+\omega_{zz})+2f(f_r\omega_r+f_z\omega_z)+f\omega(f_{rr}+f_{zz})\Big)$$

第４項について、

$$\left.\begin{array}{ccc}
\Gamma_{tk}^l\Gamma_{\phi l}^k= & \cancel{\Gamma_{tt}^t\Gamma_{\phi t}^t} & +\Gamma_{tt}^r\Gamma_{\phi r}^t & +\Gamma_{tt}^z\Gamma_{\phi z}^t & +\cancel{\Gamma_{tt}^\phi\Gamma_{\phi\phi}^t} \\
& +\Gamma_{tr}^t\Gamma_{\phi t}^r & +\cancel{\Gamma_{tr}^r\Gamma_{\phi r}^r} & +\cancel{\Gamma_{tr}^z\Gamma_{\phi z}^r} & +\Gamma_{tr}^\phi\Gamma_{\phi\phi}^r \\
& +\Gamma_{tz}^t\Gamma_{\phi t}^z & +\cancel{\Gamma_{tz}^r\Gamma_{\phi r}^z} & +\cancel{\Gamma_{tz}^z\Gamma_{\phi z}^z} & +\Gamma_{tz}^\phi\Gamma_{\phi\phi}^z \\
& +\cancel{\Gamma_{t\phi}^t\Gamma_{\phi t}^\phi} & +\Gamma_{t\phi}^r\Gamma_{\phi r}^\phi & +\Gamma_{t\phi}^z\Gamma_{\phi z}^\phi & +\cancel{\Gamma_{t\phi}^\phi\Gamma_{\phi\phi}^\phi} \end{array}\right.$$$$=\frac{1}{2}fe^{-2k}f_r\Big(\frac{\omega}{f}-\frac{\omega f_r}{f}-\frac{1}{2}\Big(1+\frac{f^2\omega^2}{r^2}\omega_r\Big)\Big)$$$$+\frac{1}{2}fe^{-2k}f_z\Big(-\frac{\omega f_z}{f}-\frac{1}{2}\Big(1+\frac{f^2\omega^2}{r^2}\omega_z\Big)\Big)$$$$-\Big(\frac{f_r}{2f}+\frac{f^2\omega}{2r^2}\omega_r\Big)\cdot\frac{1}{2}fe^{-2k}(f_r\omega+f\omega_r)$$$$-\frac{f^2}{2r^2}\omega_r\cdot\frac{1}{2}fe^{-2k}\Big(\frac{2r}{f}-\frac{r^2f_r}{f^2}-f_r\omega^2-2f\omega\omega_r\Big)$$$$-\Big(\frac{f_z}{2f}+\frac{f^2\omega}{2r^2}\omega_z\Big)\cdot\frac{1}{2}fe^{-2k}(f_z\omega+f\omega_z)$$$$+\frac{f^2}{2r^2}\omega_z\cdot\frac{1}{2}fe^{-2k}\Big(\frac{r^2f_z}{f^2}+f_z\omega^2+2f\omega\omega_z\Big)$$$$-\frac{1}{2}fe^{-2k}(f_r\omega+f\omega_r)\Big(\frac{1}{r}-\frac{f_r}{2f}-\frac{f^2\omega}{2r^2}\omega_r\Big)$$$$-\frac{1}{2}fe^{-2k}(f_z\omega+f\omega_z)\Big(-\frac{f_z}{2f}-\frac{f^2\omega}{2r^2}\omega_z\Big)$$$$=\frac{1}{2}e^{-2k}\Big(-\frac{f\omega}{r}f_r+\frac{f^4\omega}{r^2}(\omega_r^2+\omega_z^2)+\omega(f_r^2+f_z^2)\Big)$$

リッチテンソル $R_{tt}$ の計算

計量は $t$ と $\phi$ に依存しないため、リッチテンソルは以下になります。（⑩の導出）

$$R_{tt}=-\frac{\partial\Gamma_{tt}^r}{\partial r}-\frac{\partial\Gamma_{tt}^z}{\partial z}-\Gamma_{tt}^l\Gamma_{lk}^k+\Gamma_{tk}^l\Gamma_{tl}^k$$$$=\frac{e^{-2k}}{2}\Big(-\Delta f+\frac{(\nabla f)^2}{f}-\frac{f^3}{r^2}(\nabla\omega)^2\Big)　　-⑩$$

真空のアインシュタイン方程式 $R_{tt}=0$ より、

$$(\nabla f)^2-f\Delta f-\frac{f^4}{r^2}(\nabla\omega)^2=0　　-⑪$$

⑩の導出

第１項について、

$$-\partial_r\Gamma_{tt}^r=-\frac{1}{2}\partial_r(fe^{-2k}f_r)=-\frac{1}{2}(f_r^2-2k_rff_r+ff_{rr})e^{-2k}$$

第２項について、

$$-\partial_z\Gamma_{tt}^z=-\frac{1}{2}\partial_z(fe^{-2k}f_z)=-\frac{1}{2}(f_z^2-2k_zff_z+ff_{zz})e^{-2k}$$

第３項について、

$$-\Gamma_{tt}^l\Gamma_{lk}^k=-\Gamma_{tt}^r\Gamma_{rk}^k-\Gamma_{tt}^z\Gamma_{zk}^k$$$$=-\frac{1}{2}e^{-2k}f_r\Big(\frac{f}{r}+2fk_r-f_r\Big)-\frac{1}{2}e^{-2k}f_z\Big(2fk_z-f_z\Big)$$

第１項～第３項を合わせると、

$$-\partial_r\Gamma_{tt}^r-\partial_z\Gamma_{tt}^z-\Gamma_{tt}^l\Gamma_{lk}^k=-\frac{1}{2}e^{-2k}\Big(f(f_{rr}+f_{zz})+\frac{f}{r}f_r\Big)$$$$=-\frac{1}{2}e^{-2k}f\Delta f$$

第４項について、

$$\left.\begin{array}{ccc}
\Gamma_{tk}^l\Gamma_{tl}^k= & \cancel{\Gamma_{tt}^t\Gamma_{tt}^t} & +\Gamma_{tt}^r\Gamma_{tr}^t & +\Gamma_{tt}^z\Gamma_{tz}^t & +\cancel{\Gamma_{tt}^\phi\Gamma_{t\phi}^t} \\
& +\Gamma_{tr}^t\Gamma_{tt}^r & +\cancel{\Gamma_{tr}^r\Gamma_{tr}^r} & +\cancel{\Gamma_{tr}^z\Gamma_{tz}^r} & +\Gamma_{tr}^\phi\Gamma_{t\phi}^r \\
& +\Gamma_{tz}^t\Gamma_{tt}^z & +\cancel{\Gamma_{tz}^r\Gamma_{tr}^z} & +\cancel{\Gamma_{tz}^z\Gamma_{tz}^z} & +\Gamma_{tz}^\phi\Gamma_{t\phi}^z \\
& +\cancel{\Gamma_{t\phi}^t\Gamma_{tt}^\phi} & +\Gamma_{t\phi}^r\Gamma_{tr}^\phi & +\Gamma_{t\phi}^z\Gamma_{tz}^\phi & +\cancel{\Gamma_{t\phi}^\phi\Gamma_{t\phi}^\phi} \end{array}\right.$$$$=2\Big(\frac{1}{2}fe^{-2k}f_r\Big)\Big(\frac{f_r}{2f}+\frac{f^2\omega}{2r^2}\omega_r\Big)+2\Big(\frac{1}{2}fe^{-2k}f_z\Big)\Big(\frac{f_z}{2f}+\frac{f^2\omega}{2r^2}\omega_z\Big)$$$$-2\Big(\frac{f^2}{2r^2}\omega_r\Big)\Big(\frac{1}{2}fe^{-2k}(f_r\omega+f\omega_r)\Big)-2\Big(\frac{f^2}{2r^2}\omega_z\Big)\Big(\frac{1}{2}fe^{-2k}(f_z\omega+f\omega_z)\Big)$$$$=\frac{e^{-2k}}{2}\Big(\frac{(\nabla f)^2}{f}-\frac{f^3}{r^2}(\nabla\omega)^2\Big)$$

ツイストポテンシャル

以下のツイストポテンシャルを導入します。（④の導出）

$$\chi_z=\frac{f^2}{r}\omega_r　　-⓸$$$$\chi_r=-\frac{f^2}{r}\omega_z　　-⓸$$

これを⑨に代入すると、ツイストポテンシャルの存在条件に帰着します。

$$\chi_{rz}=\chi_{zr}　　-⑫$$

一方、ツイストポテンシャルにより⑪は以下のように書き替えられます。（⑬の導出）

$$f\Delta f=(\nabla f)^2-(\nabla\chi)^2　　-⑬$$

また、$\omega$ は滑らかなスカラー関数であるため、

$$\omega_{rz}=\omega_{zr}　　-⑭$$

これより、以下の関係式が得られます。（⑮の導出）

$$f\Delta\chi=2\nabla f\cdot\nabla\chi　　-⑮$$

⓸の導出

⑨で $A_r=f^2\omega_r/r$ 、$A_z=f^2\omega_z/r$ と置くと、

$$\frac{\partial A_r}{\partial r}+\frac{\partial A_z}{\partial z}=0$$

これは、２次元空間の発散方程式 $\nabla\cdot{\bf A}=0$ となります。この場合、ベクトルポテンシャル ${\bf A}=\nabla\times\vec{\chi}$ が存在するため、２次元空間 $\vec{\chi}=(0,0,\chi)$ で表すと、

$$A_r=\frac{\partial\chi}{\partial z}=\chi_z$$$$A_z=-\frac{\partial\chi}{\partial r}=-\chi_r$$

従って、④のツイストポテンシャルが得られます。

$$\chi_z=\frac{f^2}{r}\omega_r　　\to⓸$$$$\chi_r=-\frac{f^2}{r}\omega_z　　\to⓸$$

⑬の導出

ベクトル公式と④を使うと、

$$(\nabla\omega)^2=\omega_r^2+\omega_z^2=\frac{r^2}{f^4}(\chi_r^2+\chi_z^2)=\frac{r^2}{f^4}(\nabla\chi)^2$$

これを⑪に代入すると⑬が得られます。

⑮の導出

⑭の両辺より、

$$\omega_{rz}=\frac{\partial\omega_r}{\partial z}=\frac{r}{f^2}\chi_{zz}-\frac{2rf_z}{f^3}\chi_z$$$$\omega_{zr}=\frac{\partial\omega_z}{\partial r}=-\frac{r}{f^2}\chi_{rr}+\frac{2rf_r}{f^3}\chi_r-\frac{1}{f^2}\chi_r$$

これらを等しいと置くと、

$$r(\chi_{rr}+\chi_{zz})+\chi_r=\frac{2r}{f}(f_r\chi_r+f_z\chi_z)$$

左辺は $r\nabla^2\chi$ となるため、

$$f\Delta\chi=2\nabla f\cdot\nabla\chi　　\to⑮$$

エルンスト方程式

エルンスト方程式①の左辺にエルンストポテンシャル②を代入し、⑬と⑮を使うと、

$$(\mathrm{Re}\,\varepsilon)\Delta\varepsilon=fDelta f+if\Delta\chi$$$$=(\nabla f)^2-(\nabla\chi)^2+2i(\nabla f)\cdot(\nabla\chi)$$

①の右辺に②を代入すると、

$$\nabla\varepsilon\cdot\nabla\varepsilon=(\nabla f+i\nabla\chi)\cdot(\nabla f+i\nabla\chi)$$$$=(\nabla f)^2-(\nabla\chi)^2+2i(\nabla f)\cdot(\nabla\chi)$$

両辺は等しいため、エルンストの方程式が成り立つことが分かります。