ディラック方程式を導く

/相対論的量子論

ディラック方程式とは

ディラック方程式とは、非相対論的なシュレディンガー方程式の相対論への拡張として提案されました。ディラック方程式は以下で表されます。

$$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=(-ic\hbar{\bf\alpha}\cdot\nabla+\beta mc^2)\psi$$

左辺の括弧の中はディラックのハミルトニアンと呼ばれます。$\alpha_i$ と $\beta$ は4×4の行列で、パウリ行列

$$\sigma_0=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) , \sigma_1=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) , \sigma_2=\left(\begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array}\right) , \sigma_3=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)$$

を使うと以下で表されます。この行列はディラック行列(ディラック表現)と呼ばれています。

$$\alpha_i=\left(\begin{array}{cc} 0 & \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \end{array}\right) , \beta=\left(\begin{array}{cc} \sigma_0 & 0 \\ 0 & -\sigma_0 \end{array}\right)  -①$$

ディラック方程式を導く

シュレディンガー方程式は、時間成分については1階微分で空間成分については2階微分となっているため、これをローレンツ不変、つまり時間と空間の扱いを同等とするように変える必要があります。

まず、相対論的力学より質量はエネルギーとして表されるため、

$$E^2=c^2{\bf p}^2+m^2c^4$$

この式を、そのまま演算子に置換えるとクライン・ゴルドン方程式が得られますが、2階の微分方程式になってしまい不都合なので、1階の微分方程式となるように工夫します。

エネルギーと運動量の2乗が含まれないようにするため、

$$E=c\sqrt{p_x^2+p_y^2+p_z^2+m^2c^2}  -②$$

として、右辺の根号について、以下の式が成り立つ $\alpha_i$ と $\beta$ を求めます。

$$\sqrt{p_x^2+p_y^2+p_z^2+m^2c^2}\equiv\alpha_1p_x+\alpha_2p_y+\alpha_3p_z+\beta mc$$

この両辺を2乗すると、

$$p_x^2+p_y^2+p_z^2+m^2c^2=\alpha_1^2p_x^2+\alpha_2^2p_y^2+\alpha_3^2p_z^2+(1)+(2)+\beta^2m^2c^2$$

$$(1)=(\alpha_1\alpha_2+\alpha_2\alpha_1)p_xp_y+(\alpha_2\alpha_3+\alpha_3\alpha_2)p_yp_z+(\alpha_1\alpha_3+\alpha_3\alpha_1)p_xp_z$$

$$(2)=(\alpha_1\beta+\beta\alpha_1)mcp_x+(\alpha_2\beta+\beta\alpha_2)mcp_y+(\alpha_3\beta+\beta\alpha_3)mcp_z$$

両辺が等しくあるためには、$\alpha_i$ と $\beta$ は2乗が1で、互いに反交換関係にあることが分かります。

$$\alpha_i^2=\beta^2=1  -③$$

$$\alpha_i\alpha_j=-\alpha_j\alpha_i  ,  \alpha_i\beta=-\beta\alpha_i  -④$$

ディラックは、この条件を満たす $\alpha_i$ と $\beta$ は少なくとも4×4の行列であることを示しました。尚、この行列の組合せは無数にありますが、その中の1つがディラック行列(①)です。

実際に確認すると、③については、パウリ行列の性質より、

$$\alpha_i^2=\left(\begin{array}{cc} \sigma_i^2 & 0 \\ 0 & \sigma_i^2 \end{array}\right)={\bf 1}  ,  \beta^2=\left(\begin{array}{cc} \sigma_0^2 & 0 \\ 0 & \sigma_0^2 \end{array}\right)={\bf 1}$$

また、④についても、

$$\alpha_i\alpha_j=\left(\begin{array}{cc} \sigma_i\sigma_j & 0 \\ 0 & \sigma_i\sigma_j \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -\sigma_j\sigma_i & 0 \\ 0 & -\sigma_j\sigma_i \end{array}\right)=-\alpha_j\alpha_i$$

$$\alpha_i\beta=\left(\begin{array}{cc} 0 & -\sigma_i\sigma_0 \\ \sigma_i\sigma_0 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 0 & \sigma_0\sigma_i \\ -\sigma_0\sigma_i & 0 \end{array}\right)=-\beta\alpha_i$$

従って、②は以下で表され、

$$\frac{E}{c}={\bf\alpha}\cdot{\bf p}+\beta mc$$

各物理量を対応する演算子に置換えるとディラック方程式が得られます。

$${\bf p} \to -i\hbar\nabla  ,  E \to i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$$

 

ディラック方程式とは
ディラックのハミルトニアン、ディラック行列、電子と陽電子、負の静止エネルギー、電子のスピン、合成された角運動量
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