ローレンツ変換を導く

/相対論

ローレンツ変換とは

ローレンツ変換とは、2つの慣性系(等速運動する系)の間の座標変換です。特殊相対論では、全ての慣性系において物理学の法則は変わらないとしていますので、ローレンツ不変な形で記述される必要があります。

ローレンツ変換は、数学的には以下の値を不変にする変換として定義されます。$ds^2=0$ は原点を通る光錐を表し、$ds^2>0$は光速より遅い運動の領域を表します。

$$ds^2=c^2t^2-x^2-y^2-z^2$$

話しを簡単にするため、時間軸($t$)と $x$ 軸のみを考える場合、2つの座標($t,x$)と($t’,x’$)のローレンツ変換 $L$ は以下で表されます。

$$ \left(\begin{array}{cc} ct’ \\ x’ \end{array}\right) =L
\left(\begin{array}{cc} ct \\ x \end{array}\right)    -①$$

$$L=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\left(\begin{array}{cc}1 & \pm\beta \\ \pm\beta & 1\end{array}\right)  ,  \beta\equiv\frac{v}{c}$$

S系に対し速度 $v$ で運動するS’系を考えると、次のように書き下すことができます。

$$t’=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\left(t-\frac{v}{c^2}x\right)  ,  x’=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\left(-vt+x\right)    -②$$

ここで符号が $-v$ となるのは、S’系から見るとS系は $-v$ で運動しているように見えるためです。

ローレンツ変換を導く

2つの座標間で、$ds^2=c^2t^2-x^2$が不変であることを行列で表すと以下になります。

$$ \left(\begin{array}{cc} ct’ & x’ \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} ct’ \\ x’ \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc} ct & x \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} ct \\ x \end{array}\right)$$

この式に①を代入し、($t’,x’$)を消すと以下が得られます。

$$ L^t\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) L=
\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)  -③$$

この式を満たす変換 $L$ を以下で仮定し、

$$L\equiv\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array}\right)
$$

③が成り立つ場合、変換 $L$ は以下の形を持つことが分かります。

$$L=\left(\begin{array}{cc}a & \pm\sqrt{a^2-1} \\ \pm\sqrt{a^2-1} & a \end{array}\right)
$$

ここで、S系に対し速度 $v$ で運動するS’系を考えます。この時、S系の原点($x=0$)は、S’系から見ると、$-v$ で運動しているように見えます。

$$L\left(\begin{array}{cc} ct \\ 0 \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc} ct’ \\ x’ \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc} ct’ \\ -vt’ \end{array}\right)$$

これより、$a$ を求めると、ローレンツ変換は以下の式で得られます。

$$L=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\left(\begin{array}{cc}1 & \pm\beta \\ \pm\beta & 1\end{array}\right)  ,  \beta\equiv\frac{v}{c}$$

ローレンツ変換の特徴

非相対論近似

光速に比べ十分に小さい場合($v\ll c$)、ローレンツ変換はガリレイ変換に近似されます。

$$\lim_{v\ll c}L=\left(\begin{array}{cc}1 & \ 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$$

同時刻の相対性

②より、S’系の2つの時刻の差分をとります。S系で $t_1=t_2$ がS’系では $t_1’\neq t_2’$ となり、ある系で同時に起こっている事象が、別の系からは異なる時刻に見えてしまうことが分かります。

$$t’_2-t’_1=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\left((t_2-t_1)-\frac{v}{c^2}(x_2-x_1)\right)    -④$$

時間の遅れ

④より、同じ位置($x_1=x_2$)とすると以下になります。右辺の分母は1より小さいので、運動している系の時間は伸びて(遅れて)見えることが分かります。

$$t’_2-t’_1=\frac{t_2-t_1}{\sqrt{1-\beta^2}}$$

ローレンツ収縮

②より、S’系の2つの位置の差分をとります。

$$x’_2-x’_1=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\Big(-v(t_2-t_1)+(x_2-x_1)\Big)$$

④で同時刻($t_1’=t_2’$)と置いて、上式に代入して $(t_2-t_1)$ を消すと以下になります。

$$x’_2-x’_1=\sqrt{1-\beta^2}(x_2-x_1)$$

これより、運動している系を静止している系から見ると縮んで見えることが分かります。尚、これは進行方向である $x$ 軸のみで、それ以外の方向は変わりません。

光速の限界

S系に対して速度 $v$ で運動するS’系上での速度 $u$ の運動を考えます。非相対論では、S系から見たときの速度の合成は $v+u$ となりますが、ローレンツ変換ではそうはなりません。

②を書き換えると、

$$t=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\left(t’+\frac{v}{c^2}x’\right)  ,  x=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\left(vt’+x’\right)$$

S系から見える速度 $V$ は、$u\equiv x’/t’$ と置くと以下になります。

$$V=\frac{x}{t}=\frac{v+u}{1+vu/c^2}$$

例えば、$v$ と $u$ を光速の90%とします。非相対論で考えると、合成された速度は光速を超えます(光速の1.8倍)が、上の式で考えると、光速の99.4%程度にしかなりません。つまり、光の速度を超えることはできないことが分かります。

 

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