ラウエの条件とは
ラウエ条件とは、結晶中のすべての単位胞から散乱されたＸ線が互いに強め合う条件で、散乱ベクトル（scattering vector）$\Delta{\bf k}$ と逆格子ベクトル ${\bf G}$ が一致するとき回折が生じます。
$$\Delta{\bf k}={\bf G} -①$$
ここで、散乱ベクトルは運動量の変化を表し、入射波の波数ベクトル ${\bf k}$ と反射波の波数ベクトル ${\bf k’}$ により以下で定義されます。弾性散乱を考えるため、入射波と反射波の波長は等しくなります。
$$\Delta{\bf k}\equiv{\bf k’}-{\bf k}$$$$|{\bf k}|=\frac{2\pi}{\lambda}$$
また、逆格子ベクトルは、結晶格子の基本並進ベクトル（ ${\bf a},{\bf b},{\bf c}$ ）から、以下で定義されます。尚、（ $h,k,l$ ）はミラー指数と呼ばれる整数です。
$${\bf G}\equiv h{\bf a}^*+k{\bf b}^*+l{\bf c}^*$$
$${\bf a}^*=\frac{{\bf b}\times{\bf c}}{{\bf a}\cdot({\bf b}\times{\bf c})}$$$${\bf b}^*=\frac{{\bf c}\times{\bf a}}{{\bf a}\cdot({\bf b}\times{\bf c})}$$$${\bf c}^*=\frac{{\bf a}\times{\bf b}}{{\bf a}\cdot({\bf b}\times{\bf c})}$$
尚、ラウエ条件は、ブラッグ条件と数学的には等価になります。
ラウエの条件の導出
以下、ラウエの条件を導きます。
位相差
最初に、互いに ${\bf r}$ 離れた体積素片 $dV$ で反射されるＸ線間の位相差を求めます。
まず、入力Ｘ線の光路差は $\Delta_1=r\sin{\theta}$ であり、
$${\bf k}\cdot{\bf r}=kr\cos{(\pi/2-\theta)}=kr\sin{\theta}$$
であるため、位相差 $\theta_1$ は以下になります。
$$\theta_1=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta_1=kr\sin{\theta}={\bf k}\cdot{\bf r}$$
同様に、反射Ｘ線の光路差は、$\Delta_2=r\sin{\phi}$ であり、
$${\bf k’}\cdot{\bf r}=kr\cos{(\pi/2+\phi)}=-kr\sin{\phi}$$
であるため、位相差 $\theta_2$ は以下になります。反射波の場合は、ベクトルの内積の方向によって負号が付きます。
$$\theta_2=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta_2=kr\sin{\phi}=-{\bf k’}\cdot{\bf r}$$
従って、両方を合わせた位相差は、
$$\theta_1+\theta_2=({\bf k}-{\bf k’})\cdot{\bf r}=-\Delta{\bf k}\cdot{\bf r}$$
となります。散乱波の複素振幅は位相差を指数関数は $e^{i\theta}$ で表されるため、位相因子 $e^{-i\Delta{\bf k}\cdot{\bf r}}$ が求められます。
散乱振幅
散乱振幅 $F$ とは、反射Ｘ線の強さを表す関数で、位相因子に電子密度 $n$ を掛けて、試料結晶全体で積分することで求められます。
$$F=\int_Vn({\bf r})e^{-i\Delta{\bf k}\cdot{\bf r}}d{\bf r} －②$$
電子密度は結晶周期を持つので、逆格子ベクトルを用いたフーリエ級数で展開できるため、
$$n({\bf r})=\sum_Gn_Ge^{i{\bf G}\cdot{\bf r}}$$
これを②に代入すると以下になります。
$$F=\sum_G\int_Vn_Ge^{i({\bf G}-\Delta{\bf k})\cdot{\bf r}}d{\bf r}$$
指数関数は結晶全体で急速に振動するため、${\bf G}\ne\Delta{\bf k}$ では積分はほぼ０になります。従って、ラウエの条件①が成り立つときに位相因子は１になり、散乱振幅は次の極大値をもつことが分かります。
$$F=\sum_Gn_GV$$
