ハミルトンの正準方程式
ハミルトンの正準方程式とは、ラグランジュ方程式を座標と運動量を独立変数として書き直した方程式です。ハミルトンの正準方程式は、一般化座標を $q_r$ とすると、以下の形式で表されます。
$$\frac{dq_r}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_r}$$$$\frac{dp_r}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_r}$$
ここで、$p_r$ は正準運動量（canonical momentum）で、ラグラジアン $L$ により以下で定義されます。この正準運動量は、一般には力学的運動量 $m\dot{q}_r$ と一致しません。
$$p_r\equiv\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_r} －①$$
ラグランジアン $L$ は $(q_r,\dot{q}_r)$ を変数としますが、ハミルトニアン $H$ は $(q_r,p_r)$ を変数とします。そのため、ハミルトニアンは、ルジャンドル変換を使って、座標の時間微分 $\dot{q}_r$ を、運動量 $p_r$ に変換する形で定義されます。
$$H(q_1,\cdots,p_1,\cdots,t)\equiv\sum_rp_r\dot{q}_r-L(q_1,\cdots,\dot{q}_1,\cdots,t) －②$$
ハミルトン方程式の導出
②の微小変位を取ります。
$$\delta H=\sum_r\dot{q}_r\delta p_r+\sum_rp_r\delta\dot{q}_r-\sum_r\frac{\partial L}{\partial q_r}\delta q_r-\sum_r\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_r}\delta\dot{q}_r －③$$
$$\frac{d}{dt}\Big(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_r}\Big)=\frac{\partial L}{\partial q_r}$$
に①を代入すると、
$$\frac{dp_r}{dt}=\frac{\partial L}{\partial q_r}$$
これを③の第３項に代入し、①を③の第４項に代入すると以下になります。
$$\delta H=\sum_r\dot{q}_r\delta p_r-\sum_r\dot{p}_r\delta q_r -(1)$$
また、ハミルトニアンの微小変位は次のように書けるため、
$$\delta H(p,q)=\sum_r\frac{\partial H}{\partial p_r}\delta p_r+\sum_r\frac{\partial H}{\partial q_r}\delta q_r -(2)$$
(1)と(2)の各項を比較すると、ハミルトンの正準方程式が得られます。
ハミルトニアンの特徴
ハミルトニアンは、時間 $t$ が陽に含まれない場合、以下の特徴を持ちます。
-
- 保存力場では力学的エネルギーを表す
- 力学的エネルギーは保存される
保存力場の力学的エネルギー
ラグラジアンは運動エネルギー $T$ とポテンシャルエネルギー $V$ により、$L=T-V$ で表され、さらに保存力の場合はポテンシャルは座標のみの関数となるため、①より
$$p_r=\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_r}$$
運動エネルギーを $T=\sum m\dot{q}_r^2/2$ とすると、
$$\sum_rp_r\dot{q}_r＝\sum_r\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_r}\dot{q}_r=m\dot{q}^2=2T$$
従って②により、ハミルトニアンは運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和（系の力学的エネルギー）を表していることが分かります。
$$H=\sum_rp_r\dot{q}_r-L=2T-(T-V)=T+V$$
尚、この式は、ラグランジアンが時間に陽に依存しない、ポテンシャルが速度に依存しないなどの通常の保存力系を前提として成り立ちます。
力学的エネルギーの保存
ハミルトニアンが時間を陽に含まない場合、
$$\frac{dH(q_r,p_r,t)}{dt}=\frac{\partial H}{\partial t}+\sum_r\frac{\partial H}{\partial q_r}\frac{dq_r}{dt}+\sum_r\frac{\partial H}{\partial p_r}\frac{dp_r}{dt}$$
この式に正準方程式を代入すると、右辺の第２項と第３項は０になります。
$$\frac{dH}{dt}=\frac{\partial H}{\partial t}$$
ハミルトニアンが時間を陽に含まない場合は右辺が０になり、エネルギー $H$ が保存されることが導かれます。
ハミルトニアンの具体例
以下は簡単のためデカルト座標 ${\bf r}$ を使います。
ポテンシャルが存在する場合
ポテンシャルが存在する場合のラグラジアンは、
$$L=\frac{m}{2}\dot{\bf r}^2-V$$
このときの運動量は、
$${\bf p}=\frac{\partial L}{\partial\dot{\bf r}}=m\dot{\bf r}$$
従って、ポテンシャルが存在する場合のハミルトニアンは以下になります。
$$H={\bf p}\cdot\dot{\bf r}-L=\frac{{\bf p}^2}{2m}+V$$
磁場が存在する場合
磁場が存在する場合のラグラジアンは、
$$L=\frac{m}{2}\dot{\bf r}^2-q\phi+q\dot{\bf r}\cdot{\bf A} -⓸$$
これより、磁場が存在する場合のハミルトニアンは以下で得られます。
$$H={\bf p}\cdot\dot{\bf r}-L=\frac{1}{2m}({\bf p}-q{\bf A})^2+q\phi -⑤$$
⑤の導出
⓸より正準運動量は、
$${\bf p}=\frac{\partial L}{\partial\dot{\bf r}}=m\dot{\bf r}+q{\bf A}$$$$\dot{\bf r}=\frac{1}{m}({\bf p}-q{\bf A})$$
これを⑤の左辺に代入すると、⑤の右辺が得られます。
$${\bf p}\cdot\dot{\bf r}-L={\bf p}\cdot\dot{\bf r}-\frac{m}{2}\dot{\bf r}^2+q\phi-q\dot{\bf r}\cdot{\bf A}$$$$={\bf p}\cdot\frac{{\bf p}-q{\bf A}}{m}-\frac{m}{2}\Big(\frac{{\bf p}-q{\bf A}}{m}\Big)^2+q\phi-q\frac{{\bf p}-q{\bf A}}{m}\cdot{\bf A}$$$$=\frac{1}{2m}({\bf p}-q{\bf A})^2+q\phi \to⑤$$
