ハミルトンの正準方程式とは

/力学

ハミルトンの正準方程式

ハミルトンの正準方程式とは、一般化された座標と運動量を基本変数とした運動方程式です。ハミルトンの正準方程式は、一般化座標を $q_r$ とすると、以下の形式で表されます。

$$\frac{dq_r}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_r}  ,  \frac{dp_r}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_r}$$

ここで、$p_r$ は一般化運動量で、ラグラジアン $L$ により以下で定義されます。

$$p_r\equiv\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_r}  -①$$

ハミルトニアン

ハミルトニアン $H$ は、以下で定義されます。

$$H(q_1,\cdots,p_1,\cdots,t)\equiv\sum_rp_r\dot{q}_r-L(q_1,\cdots,\dot{q}_1,\cdots,t)  -②$$

ハミルトニアンは、時間 $t$ が陽に含まれない場合、以下の特徴を持ちます。

  • 保存力場では力学的エネルギーを表す
  • 力学的エネルギーは保存される
保存力場の力学的エネルギー

ラグラジアンは運動エネルギー $T$ とポテンシャルエネルギー $V$ により、$L=T-V$ で表され、さらに保存力の場合はポテンシャルは座標のみの関数となるため、①より

$$p_r=\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_r}$$

運動エネルギーを $T=\sum m\dot{q}_r^2/2$ とすると、

$$\sum_rp_r\dot{q}_r=\sum_r\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_r}\dot{q}_r=m\dot{q}^2=2T$$

従って②により、ハミルトニアンは運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和、つまり系の力学的エネルギーを表していることが分かります。

$$H=2T-(T-V)=T+V$$

力学的エネルギーの保存

ハミルトニアンが時間を陽に含まない場合、

$$\frac{dH}{dt}=\sum_r\frac{\partial H}{\partial q_r}\frac{dq_r}{dt}+\sum_r\frac{\partial H}{\partial p_r}\frac{dp_r}{dt}$$

この式は正準方程式を代入することにより、0になることが分かります。

$$\frac{dH}{dt}=0$$

これにより、ハミルトニアンは時間を陽に含まない場合は一定であること、つまりエネルギーが保存されることが導かれます。

正準方程式の導出

ハミルトンの正準方程式の導出は、ルジャンドル変換を使う方法と、ハミルトンの原理から導く方法の2つがあります。

ルジャンドル変換での導出

ラグラジアンは一般化座標とその時間微分(速度)を基本変数としますが、ルジャンドル変換を使って、一般化座標の時間微分を、より本質的な物理量である一般化運動量に置換えます。まず、②の微小変位を取ります。

$$\delta H=\sum_r\dot{q}_r\delta p_r+\sum_rp_r\delta\dot{q}_r-\sum_r\frac{\partial L}{\partial q_r}\delta q_r-\sum_r\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_r}\delta\dot{q}_r  -③$$

ラグランジュ方程式

$$\frac{d}{dt}\Big(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_r}\Big)=\frac{\partial L}{\partial q_r}$$

に①を代入すると、

$$\frac{dp_r}{dt}=\frac{\partial L}{\partial q_r}$$

これを③の第3項に、①を③の第4項に代入すると以下になります。

$$\delta H=\sum_r\dot{q}_r\delta p_r-\sum_r\dot{p}_r\delta q_r$$

また、ハミルトニアンの微小変位は次のように書けるため、

$$\delta H(p,q)=\frac{\partial H}{\partial p}\delta p+\frac{\partial H}{\partial q}\delta q$$

これらより、ハミルトンの正準方程式が得られます。

ハミルトンの原理からの導出

ハミルトンの原理に②を代入します。この形式は、変形されたハミルトンの原理とも呼ばれます。

$$0=\delta\int_1^2Ldt=\delta\int_1^2(\sum_rp_r\dot{q}_r-H)dt$$

変分法のオイラーの方程式は以下になります。

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial\dot{q}_r}(\sum_rp_r\dot{q}_r-H)=\frac{\partial}{\partial q_r}(\sum_rp_r\dot{q}_r-H)$$

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial\dot{p}_r}(\sum_rp_r\dot{q}_r-H)=\frac{\partial}{\partial p_r}(\sum_rp_r\dot{q}_r-H)$$

1つ目の式の左辺第2項と右辺第1項は0になり、2つ目の式の左辺は0になるため、ハミルトンの正準方程式が得られます。

 

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