経路積分とは、波動関数の時間発展を、途中の無限の経路を足し合わせることで求める手法です。ファインマンにより考案されたため、ファインマンの経路積分とも呼ばれます。
積分核
波動関数は、次のシュレディンガー方程式により時間変化を行います。
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(q,t)=H\psi(q,t)$$
これを積分の形で書くと、積分核（ファインマン核）$K$ を使って以下のように表すことができます。
$$\psi(q,t)\equiv\int_{-\infty}^\infty K(q,t,q_0,t_0)\psi(q_0,t_0)dq_0$$
従って、積分核の具体的な表式が分かれば、この積分を行うことで任意の時間の波動関数を求めることができます。積分核を求めることは、シュレディンガー方程式を解くことに等しいと考えることができます。
時間発展演算子
時間発展演算子 $U$ は、波動関数の時間依存を表し、以下で定義されます。
$$\ket{\psi(t)}\equiv U(t,t_0)\ket{\psi(t_0)}$$
これを次のシュレディンガー方程式に代入すると、次の式が得られ、
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}U(t,t_0)=HU(t_0,t)$$
これを積分すると以下になります。時間発展演算子は、ユニタリ性を持ちます。
$$U(t,t_0)=e^{-iH(t-t_0)/\hbar}$$
積分核は、時間発展演算子により次のように表すことができます。
$$K(q,t,q_0,t_0)=\braket{q|U(t,t_0)|q_0} -①$$
経路積分
時間間隔（$t_0,t$）を $N$ 分割して、$\Delta t=(t-t_0)/N$ 、$\Delta q_j=q_{j+1}-q_j$ と置き、ハミルトニアンを次のように表すと、
$$H=T(p_j)+V(q_j)$$
経路積分は以下のように表すことができます。
$$K(x,t,x_0,t_0)=\lim_{N\to\infty}\prod_{j=1}^{N-1}\Big(\int_{-\infty}^\infty dq_j\Big)\prod_{j=0}^{N-1}\Big(\int_{-\infty}^\infty\frac{dp_j}{2\pi\hbar}\Big)$$$$\times\exp{\left(\frac{i\Delta t}{\hbar}\sum_{j=0}^{N-1}\Big(\frac{p_j\Delta q_j}{\Delta t}-T(p_j)-V(q_j)\Big)\right)} -②$$
導出
②の導出
時間発展演算子を $\Delta t$ を使って書き換えると、
$$U(t,t_0)=e^{-iHN\Delta t/\hbar}=(e^{-i(T+V)\Delta t/\hbar})^N$$
尚、$T$ 、$V$ を演算子とすると、一般に次の公式が成り立ちます。
$$e^{k(T+V)}=e^{kT}e^{kV}e^{-k^2[T,V]/2} -③$$
ここで、$k=-i\Delta t/\hbar$ とすると、$N\to\infty$ の場合、$k^2$ は無視できるため、時間発展演算子は次のように近似できます。
$$U(t,t_0)\cong(e^{-iT\Delta t/\hbar}e^{-iV\Delta t/\hbar})^N$$
①より積分核は、
$$K(q,t,q_0,t_0)=\lim_{N\to\infty}\braket{q|(e^{-iT\Delta t/\hbar}e^{-iV\Delta t/\hbar})^N|q_0}$$
次の完備性の関係を使うと、
$$\int dq_j\ket{q_j}\bra{q_j}=1$$$$\int dp_j\ket{p_j}\bra{p_j}=1$$
積分核は以下のように書き換えられます。
$$K=\lim_{N\to\infty}\int dq_1\cdots dq_{N-1}\prod_{j=0}^{N-1}\braket{q_{j+1}|e^{-iT\Delta t/\hbar}e^{-iV\Delta t/\hbar}|q_j}$$
$$=\lim_{N\to\infty}\int dq_1\cdots dq_{N-1}\prod_{j=0}^{N-1}\int dp_j\braket{q_{j+1}|e^{-iT\Delta t/\hbar}|p_j}\braket{p_j|e^{-iV\Delta t/\hbar}|q_j}$$
演算子の固有値を次のように置くと、
$$e^{-iT\Delta t/\hbar}\ket{p_j}=e^{-iT(p_j)\Delta t/\hbar}\ket{p_j}$$$$e^{-iV\Delta t/\hbar}\ket{q_j}=e^{-iV(q_j)\Delta t/\hbar}\ket{q_j}$$
これにより積分核は、
$$K=\lim_{N\to\infty}\int dq_1\cdots dq_{N-1}\prod_{j=0}^{N-1}\int dp_je^{-i[T(p_j)+V(q_j)]\Delta t/\hbar}\braket{q_{j+1}|p_j}\braket{p_j|q_j}$$
ここで、次の関係式を使うと、
$$\braket{q_{j+1}|p_j}=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{ip_jq_{j+1}/\hbar}$$$$\braket{p_j|q_j}=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{-ip_jq_j/\hbar}$$
これにより積分核は、
$$K=\lim_{N\to\infty}\int dq_1\cdots dq_{N-1}\prod_{j=0}^{N-1}\int\frac{dp_j}{2\pi\hbar}e^{ip_j(q_{j+1}-q_j)/\hbar}e^{-i[T(p_j)+V(q_j)]\Delta t/\hbar}$$
指数関数の積を指数の和で書き換え、$\Delta q_j=q_{j+1}-q_j$ と置くと、
$$K=\lim_{N\to\infty}\prod_{j=1}^{N-1}\Big(\int dq_j\Big)\prod_{j=0}^{N-1}\Big(\int\frac{dp_j}{2\pi\hbar}\Big)e^{i\sum p_j\Delta q_j/\hbar}e^{-i\sum [T(p_j)+V(q_j)]\Delta t/\hbar}$$
これにより②が得られます。
③の導出
$T$ 、$V$ を演算子とすると、
$$e^{kT}Ve^{-kT}=(1+kT+\cdots)V(1-kT+\cdots)$$$$\cong V+k[T,V] -(1)$$
関数 $f$ を以下で定義して、
$$f(k)=e^{kT}e^{kV}$$
これを微分して、(1)を使うと、
$$f'(k)=Te^{kT}e^{kV}+e^{kT}Ve^{kV}$$$$=(T+e^{kT}Ve^{-kT})e^{kT}e^{kV}$$$$=(T+V+k[T,V])f(k)$$
これを積分すると、
$$f(k)=e^{k(T+V)+k^2[T,V]/2}$$
関数 $f$ の定義より③が求められます。
