リッチテンソルとは

/幾何学

リッチテンソル

リッチテンソルとは、歪んだ空間(リーマン多様体)の球体と平らな空間(ユークリッド空間)の球体との差を表す量です。リッチテンソル $R_{ij}$ は、リーマン曲率テンソルの縮約として定義されます。

$$R_{ij}\equiv R^k_{ijk}$$

リーマン曲率テンソルの部分を書き出すと以下になります。

$$R_{ij}=\Gamma_{ik,j}^k-\Gamma_{ij,k}^k+\Gamma_{ik}^m\Gamma_{mj}^k-\Gamma_{ij}^m\Gamma_{mk}^k$$

リッチテンソルの対称性

リーマン曲率テンソルは、$R_{lijk}=R_{kjil}$ の対称性をもち、$R_{lijk}=g_{lm}R^m_{ijk}$ であるため、以下が導かれます。

$$R_{ij}=R^k_{ijk}=R^k_{jik}=R_{ji}$$

スカラー曲率

スカラー曲率とは、歪んだ空間の全曲率を表す量で、3次元の球面に対して正となるように定義されています。スカラー曲率 $R$ は、リッチテンソルを縮約することで得られます。

$$R=R_{ii}$$

ビアンキの関係式

リーマン曲率テンソルのビアンキの恒等式より、リッチテンソルにおける関係式が得られます。

$$\Big(R^{ij}-\frac{1}{2}g^{ij}R\Big)_{:j}=0$$

導出

ビアンキの恒等式より、

$$R_{ijk:l}^m+R_{ikl:j}^m+R_{ilj:k}^m=0$$

$m=l$ として、$g^{ij}$ を掛けると、$g^{ij}$ は共変微分に対して定数なみであるから、

$$(g^{ij}R_{ijk}^l)_{:l}+(g^{ij}R_{ikl}^l)_{:j}+(g^{ij}R_{ilj}^l)_{:k}=0  -①$$

①の第1項は、

$$g^{ij}R_{ijk}^l=g^{ij}g^{lm}R_{mijk}=g^{ij}g^{lm}R_{imkj}=g^{lm}R_{mk}=R^l_k$$

①の第3項は、

$$g^{ij}R_{ilj}^l=-g^{ij}R_{ijl}^l=-g^{ij}R_{ij}=-R$$

となるため、①は次のように書き換えられ、

$$2R^j_{k:j}-R_{:k}=0$$

添え字を入れ替えると以下が得られます。

$$g_{ki}(2R^{ij}-g^{ij}R)_{:j}=0$$

 

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