リッチテンソルとは

/幾何学

リッチテンソル

リッチテンソルとは、歪んだ空間(リーマン多様体)の球体と平らな空間(ユークリッド空間)の球体との差を表す量です。リッチテンソル $R_{ij}$ は、リーマン曲率テンソルの縮約として定義されます。

$$R_{ij}\equiv R^k_{ijk}$$

リーマン曲率テンソルの部分を書き出すと以下になります。

$$R_{ij}=\Gamma_{ik,j}^k-\Gamma_{ij,k}^k+\Gamma_{ik}^m\Gamma_{mj}^k-\Gamma_{ij}^m\Gamma_{mk}^k$$

リッチテンソルの対称性

リーマン曲率テンソルは、$R_{lijk}=R_{kjil}$ の対称性をもち、$R_{lijk}=g_{lm}R^m_{ijk}$ であるため、以下が導かれます。

$$R_{ij}=R^k_{ijk}=R^k_{jik}=R_{ji}$$

リーマン曲率テンソルとは | 散策路
目次 リーマン曲率テンソルリーマン曲率テンソルを導く対称性 リーマン曲率テンソル リーマン曲率テンソルとは、空間の曲率を表すテンソルで、平らな空間の場合は0になります。リーマン曲率テンソルは、2階の共変微分の順序を入れ替

スカラー曲率

スカラー曲率とは、歪んだ空間の全曲率を表す量で、3次元の球面に対して正となるように定義されています。スカラー曲率 $R$ は、リッチテンソルを縮約することで得られます。

$$R=R_{ii}$$

 

 

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