【高校数学】図形と方程式

/高校数学

図形と計算(数学Ⅰ)

三角比の定義

三角比(三角関数)は以下で定義されます。

$$\sin{x}=\frac{BC}{AC}  ,  \cos{x}=\frac{AB}{AC}  ,  \tan{x}=\frac{BC}{AB}$$

正弦定理

三角形 $ABC$ の各角に対する辺を $a,b,c$ とし、外接円の半径を $R$ とすると、以下の関係が成り立ちます。

$$\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R$$

余弦定理

三角形 $ABC$ の各角に対する辺を $a,b,c$ とすると、以下の関係が成り立ちます。

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}$$$$b^2=c^2+a^2-2ca\cos{B}$$$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}$$

$$a=c\cos{B}+b\cos{C}$$$$b=a\cos{C}+c\cos{A}$$$$c=b\cos{A}+a\cos{B}$$

三角形の角と辺の関係

三角形 $ABC$ の各角に対する辺を $a,b,c$ とすると、

  • 三角形の成立条件:$|b-c|\lt a\lt b+c$

以下の大小関係が成り立ちます。

  • $A\lt$ 90° ならば、$a^2\lt b^2+c^2$
  • $A=$ 90° ならば、$a^2=b^2+c^2$
  • $A\gt$ 90° ならば、$a^2\gt b^2+c^2$

三角形の面積

三角形 $ABC$ の各角に対する辺を $a,b,c$ とすると、面積は以下で表されます。

$$S=\frac{1}{2}bc\sin{A}=\frac{1}{2}ca\sin{B}=\frac{1}{2}ab\sin{C}$$

ヘロンの公式は、$2s=a+b+c$ と置くと以下で表されます。

$$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

三角形の面積は、内接円の半径を $r$ とすると以下で表されます。

$$S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$$

図形の性質(数学A)

二等分線の比

三角形 $ABC$ について、

  • 角 $A$ の二等分線が辺 $BC$ と交わる点を $P$ とすると、
    $BP:PC=AB:AC$ が成り立つ。
  • 角 $A$ の外角の二等分線が辺 $BC$ の延長と交わる点を $Q$ とすると、
    $BQ:QC=AB:AC$ が成り立つ。

重心・外心・垂心・内心

各定義は以下になります。

  • 重心:三角形の3つの角と対辺の二等分点を結ぶ直線(中線)が交わる点。
  • 外心:三角形の3辺の垂直二等分線が交わる点。
  • 内心:三角形の3つの内角の二等分線が交わる点。
  • 垂心:三角形の3つの角から対辺に下した垂線が交わる点。

チェバの定理

三角形 $ABC$ の3辺 $BC,CA,AB$ 上にそれぞれ点 $P,Q,R$ があり、3つの直線が1点で交わるとき、以下の関係が成り立ちます。

$$\frac{BP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB}=1$$

メネラウスの定理

ある直線が三角形 $ABC$ の3辺 $BC,CA,AB$ またはその延長とそれぞれ点 $P,Q,R$ で交わるとき、以下の関係が成り立ちます。

$$\frac{BP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB}=1$$

円に内接する四角形

円に内接する四角形では以下が成り立ちます。

  • 対角の和は180° である。
  • 内角は、その対角の外角に等しい。

円周角と接弦定理

円に内接する三角形について以下の関係が成り立ちます。

  • 弦 $AB$ に対する円周角($\angle ACB$ 、$\angle ADB$ )は等しい。
  • 弦 $AB$ が直径の場合、円周角は直角になる。
  • 接弦定理:円の接点 $A$ とその接点を通る弦 $AB$ による角 $\angle BAE$ と円周角は等しい。

方べきの定理

点 $P$ を通る2直線について、以下の定理が成り立ちます。この定理は、その逆も成り立ちます。

  • 円とそれぞれ2点 $A,B$ と2点 $C,D$ で交わるとき、
    $PA\cdot PB=PC\cdot PD$
  • 一方の直線が円と2点 $A,B$ で交わり、もう一方の直線が点 $T$ で接するとき、
    $PA\cdot PB=PT^2$

三垂線の定理

平面 $S$ 上に直線 $L$ があるとき、$L$ 上の点 $A$ 、$L$ 上にない $S$ 上の点 $B$ 、$S$ 上にない点 $P$ について、

  • $PB\perp S$ 、$AB\perp L$ ならば、$PA\perp L$
  • $PB\perp S$ 、$PA\perp L$ ならば、$AB\perp L$
  • $PA\perp L$ 、$AB\perp L$ 、$PB\perp AB$ ならば、$PB\perp S$

オイラーの多面体定理

凸多面体の頂点の数を $a$ 、辺の数を $b$ 、面の数を $c$ とすると以下の関係が成り立ちます。

$$a-b+c=2$$

図形と方程式(数学Ⅱ)

点の座標

3点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$ において、

  • 内分点:線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点
    $$\Big(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\frac{ny_1+my_2}{m+n}\Big)$$
  • 外分点:線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点
    $$\Big(\frac{-nx_1+mx_2}{m-n},\frac{-ny_1+my_2}{m-n}\Big)$$
  • 重心:三角形の重心は、
    $$\Big(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\Big)$$

直線の方程式

直線の方程式は以下で表されます。

  • 直線の方程式の一般形
    $$ax+by+c=0$$
  • 点($x_1,y_1$)を通り、傾き $a$ の直線の方程式
    $$y-y_1=a(x-x_1)$$
  • 2点($x_1,y_1$)、($x_2,y_2$)を通る方程式
    $$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$$

2直線 $y=ax+b$、$y=a’x+b’$ について、

  • 交わる条件:$a\ne a’$
  • 平行条件:$a=a’$
  • 垂直条件:$aa’=-1$

距離と面積

  • 2点間の距離:
    2点 $(x_1,y_1)$ 、 $(x_2,y_2)$ 間の距離 $d$ は、
    $$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$
  • 点と直線の距離:
    点 $(x_1,y_1)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離 $d$ は、
    $$d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
  • 三角形の面積:
    原点と2点 $(x_1,y_1)$ 、 $(x_2,y_2)$ を頂点とする三角形の面積 $S$ は、
    $$S=\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|$$

円の方程式

円の方程式は以下で表されます。

  • 点 $(a,b)$ を中心とし、半径 $r$ の円の方程式は、
    $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
  • 円の方程式の一般形は、
    $$x^2+y^2+lx+my+n=0  (l^2+m^2-4n\gt0)$$
  • 円周上の点を通る接点 $(x_1,y_1)$ の方程式は、
    $$x_1x+y_1y=r^2$$

不等式の領域

不等式の表す領域は以下になります。

  • $y\gt f(x)$:曲線 $y=f(x)$ の上側部分。
  • $y\lt f(x)$:曲線 $y=f(x)$ の下側部分。
  • $x^2+y^2\lt r^2$:原点を中心とする半径 $r$ の円の内部。
  • $x^2+y^2\gt r^2$:原点を中心とする半径 $r$ の円の外部。

 

数学
解析学、代数学、幾何学、統計学、論理・基礎論、情報・暗号、機械学習、金融・ゲーム理論、高校数学
散策路TOP
数学、応用数学、古典物理、量子力学、物性論、電子工学、IT、力学、電磁気学、熱・統計力学、連続体力学、解析学、代数学、幾何学、統計学、論理・基礎論、プラズマ物理、量子コンピュータ、情報・暗号、機械学習、金融・ゲーム理論

 

タイトルとURLをコピーしました