ビアンキの関係式とは

/幾何学

ビアンキの関係式

ビアンキの関係式とは、リーマン曲率テンソルの添え字の巡回置換に成り立つ関係式です。以下のように表されます。

$$R_{ijk}^m+R_{jki}^m+R_{kij}^m=0  -①$$

ここで、リーマン曲率テンソルは、クリストッフェル記号により以下で定義されます。ここで、カンマ($,$)は反変微分を表します。

$$R_{ijk}^m=\Gamma_{ik,j}^m-\Gamma_{ij,k}^m+\Gamma_{ik}^n\Gamma_{nj}^m-\Gamma_{ij}^n\Gamma_{nk}^m  -(11)$$

ビアンキの関係式を導く

(11)について、添え字{$i,j,k$}を1つづつ巡回置換させます。

$$R_{jki}^m=\Gamma_{ji,k}^m-\Gamma_{jk,i}^m+\Gamma_{ji}^n\Gamma_{nk}^m-\Gamma_{jk}^n\Gamma_{ni}^m  -(12)$$$$R_{kij}^m=\Gamma_{kj,i}^m-\Gamma_{ki,j}^m+\Gamma_{kj}^n\Gamma_{ni}^m-\Gamma_{ki}^n\Gamma_{nj}^m  -(13)$$

次に、(11)、(12)、(13)を足し合わせると、クリストッフェル記号の対称性 $\Gamma_{ij}^m=\Gamma_{ji}^m$ により、(11)の右辺第1項と(13)の右辺第2項は打ち消し合います。結局、右辺の和は0になり、左辺の和(ビアンキの関係式)のみ残ることが分かります。

ビアンキの恒等式

ビアンキの恒等式とは、リーマン曲率テンソルの共変微分に成り立つ対称性です。以下のように表されます。ここで、コロン($:$)は共変微分を表します。

$$R_{ijk:l}^m+R_{ikl:j}^m+R_{ilj:k}^m=0$$
ビアンキの恒等式を導く

まず、2つのベクトルの外積に対し共変微分を行います。ここでは $k$ と $l$ の順番を入れ替えて2回行います。

$$(A_iB_j)_{:k:l}=A_{i:k:l}B_j+A_{i:k}B_{j:l}+A_{i:l}B_{j:k}+A_iB_{j:k:l}$$$$(A_iB_j)_{:l:k}=A_{i:l:k}B_j+A_{i:l}B_{j:k}+A_{i:k}B_{j:l}+A_iB_{j:l:k}$$

2つの式の差分をとって、リーマン曲率テンソルの定義式

$$A_mR_{ijk}^m=A_{i:j:k}-A_{i:k:j}$$

を使うと、

$$(A_iB_j)_{:k:l}-(A_iB_j)_{:l:k}=A_mB_jR_{ikl}^m+A_iB_mR_{jkl}^m$$

ここで、ベクトルの外積はテンソルであり、共変微分はテンソルであるから、$A_iB_j\to A_{i:j}$ と置き替えます。

$$A_{i:j:k:l}-A_{i:j:l:k}=A_{m:j}R_{ikl}^m+A_{i:m}R_{jkl}^m  -(21)$$

次に、添え字{$j,k,l$}を1つづつ巡回置換させます。

$$A_{i:k:l:j}-A_{i:k:j:l}=A_{m:k}R_{ilj}^m+A_{i:m}R_{klj}^m  -(22)$$$$A_{i:l:j:k}-A_{i:l:k:j}=A_{m:l}R_{ijk}^m+A_{i:m}R_{ljk}^m  -(23)$$

(21)、(22)、(23)の左辺を、リーマン曲率テンソルを定義を使って書き換えます。ここで、(21)、(22)、(23)の左辺の和と、(24)、(25)、(26)の左辺の和は等しいことに留意してください。

$$A_{i:j:k:l}-A_{i:k:j:l}=(A_mR_{ijk}^m)_{:l}=A_{m:l}R_{ijk}^m+A_mR_{ijk:l}^m  -(24)$$

$$A_{i:k:l:j}-A_{i:l:k:j}=(A_mR_{ikl}^m)_{:j}=A_{m:j}R_{ikl}^m+A_mR_{ikl:j}^m  -(25)$$

$$A_{i:l:j:k}-A_{i:j:l:k}=(A_mR_{ilj}^m)_{:k}=A_{m:k}R_{ilj}^m+A_mR_{ilj:k}^m  -(26)$$

(21)、(22)、(23)の右辺第2項の合計は、ビアンキの関係式(①)により0になることが分かります。また、(21)、(22)、(23)の右辺第1項は、(24)、(25)、(26)の右辺第1項に等しいため、これらは打消します。従って、以下の項のみ残ります。

$$A_mR_{ijk:l}^m+A_mR_{ikl:j}^m+A_mR_{ilj:k}^m=0$$

ここで、ベクトル $A_m$ は任意であるため、ビアンキの恒等式が導かれます。

 

数学
解析学、代数学、幾何学、統計分析、数学基礎、物理数学
散策路TOP
力学、電磁気・相対論、熱・統計力学、量子力学、物性物理、機械学習、情報処理、金融、物理数学

 

タイトルとURLをコピーしました