クリストッフェル記号とは
クリストッフェル記号とは、曲面座標（リーマン幾何学）での微分を表記するための記号で、これによりシンプルな形での表記が可能となります。
４次元空間のベクトル $A_i$ を平行移動 $x\to x+dx$ させたときの変化分 $dA_i$ は、クリトッフェル記号 $\Gamma_{ijk}$ を用いて以下で表すことができます。
$$dA_j=A^i\Gamma_{ijk}dx^k －①$$
クリトッフェル記号（第１種クリストッフェル記号）は以下で定義されます。
$$\Gamma_{ijk}\equiv\frac{1}{2}\left(\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}+ \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i}\right)$$
ここで、$g_{ij}$ は曲面座標での計量で、点 $x^i$ とその近くの点 $x^i+dx^i$ の間の不変距離 $ds$ は以下で表されます。
$$ds^2=g_{ij}dx^idx^j$$
また、第２種クリストッフェル記号は以下で定義され、
$$\Gamma^i_{jk}\equiv g^{il}\Gamma_{ljk}$$
これにより①は以下のようになります。
$$dA_j=A_i\Gamma^i_{jk}dx^k$$
クリストッフェル記号を導く
４次元ベクトルの平行移動 $A_j\to K_j$ による変化を考えます。
$$dA_j=K_j(x+dx)-A_j(x) －②$$
n次元空間
空間が曲がっていると２点間のベクトルの「平行」に意味がないため、４次元の物理空間が高次元（N次元）の平らな空間 $y^n$ に埋めこまれているとして考えます。このとき、２つの座標系の変換は以下で表されます。尚、見やすくするため、以降は微分の表記を変更します。
$$\delta y^n=\frac{\partial y^n}{\partial x^i}\delta x^i\equiv y^n_{,i}\delta x^i$$
２点間の距離は以下で表されます。$n$ 次元空間は平らであるため、計量 $h_{mn}$ は定数となります。
$$ds^2=h_{nm}\delta y^n\delta y^m=h_{nm}\frac{\partial y^n}{\partial x^i}\frac{\partial y^m}{\partial x^j}\delta x^i\delta x^j=g_{ij}\delta x^i\delta x^j$$
計量 $h$ で添え字を下げると、以下が得られます。
$$g_{ij}=h_{nm}\frac{\partial y^n}{\partial x^i}\frac{\partial y^m}{\partial x^j}=\frac{\partial y^n}{\partial x^i}\frac{\partial y_n}{\partial x^j} －③$$
また、４次元空間のベクトル $A^i$ は２つの座標間で以下のように変換されます。
$$A^n(y)=\frac{\partial y^n}{\partial x^i}(x)A^i(x) －④$$
平行移動
ベクトル $A^n$ を自身に対して平行移動すると、４次元の「曲面」内には収まらなくなります。そのため、曲面内に含まれる接線部 $A_{\parallel}$ とそれ以外の法線部 $A_{\perp}$ に分けます。
$$A^n=A_{\parallel}^n+A_{\perp}^n －⑤$$
この接線部に対応する $x$ 座標系のベクトルを $K$ とすると、④と同様に以下が成り立ちます。
$$A_{\parallel}^n=\frac{\partial y^n}{\partial x^i}(x+dx)K^i(x+dx) －⑥$$
接線部と法線部は直交するため内積は０になり、⑥を代入し、
$$0=h_{mn}A_{\parallel}^mA_{\perp}^n=h_{mn}\frac{\partial y^m}{\partial x^j}(x+dx)K^j(x+dx)A_{\perp}^n$$
この式は任意の $K^i$ に対し成り立つため、計量 $h$ で添え字を下げると以下が導かれます。
$$\frac{\partial y_n}{\partial x^j}(x+dx)A_{\perp}^n＝0 －⑦$$
ここで $\partial y_n/\partial x^j$ について１次まで展開すると、
$$\frac{\partial y_n}{\partial x^j}(x+dx)=\frac{\partial y_n}{\partial x^j}(x)+\frac{\partial^2y_n}{\partial x^jx^k}dx^k －⑧$$
この左辺に⑤に掛けると、⑦より法線部が０になり、接線部に⑥を代入すると、
$$A^n\frac{\partial y_n}{\partial x^j}(x+dx)=A_{\parallel}^n\frac{\partial y_n}{\partial x^j}(x+dx)$$$$=\frac{\partial y^n}{\partial x^i}(x+dx)K^i(x+dx)\frac{\partial y_n}{\partial x^j}(x+dx)$$
これに③を代入すると、
$$A^n\frac{\partial y_n}{\partial x^j}(x+dx)=g_{ij}(x+dx)K^i(x+dx)=K_j(x+dx)$$
この左辺に④と⑧を代入し、左右を入れ替えると、
$$K_j(x+dx)=\frac{\partial y^n}{\partial x^i}(x)A^i(x)\Big(\frac{\partial y_n}{\partial x^j}(x)+\frac{\partial^2y_n}{\partial x^jx^k}dx^k\Big)$$
さらに右辺第１項に③を使うと、
$$K_j(x+dx)=g_{ij}A^i(x)+A^i(x)\frac{\partial y^n}{\partial x^i}(x)\frac{\partial^2y_n}{\partial x^jx^k}dx^k$$$$=A_j(x)+A^i(x)\frac{\partial y^n}{\partial x^i}(x)\frac{\partial^2y_n}{\partial x^jx^k}dx^k$$
これと②より、以下が導かれます。
$$dA_j=A^i(x)\frac{\partial y^n}{\partial x^i}(x)\frac{\partial^2y_n}{\partial x^jx^k}dx^k －⑨$$
計量での表記
次に、⑨を計量で表記します。まず、③を $k$ で微分し、第１項の添字 $n$ の上下を入れ替えます。$n$ 次元空間の計量は定数であるため、添字の上下を入れ替えることができます。
$$\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}=\frac{\partial^2y^n}{\partial x^ix^k}\frac{\partial y_n}{\partial x^j}+\frac{\partial y^n}{\partial x^i}\frac{\partial^2y_n}{\partial x^jx^k}$$$$=\frac{\partial^2y_n}{\partial x^ix^k}\frac{\partial y^n}{\partial x^j}+\frac{\partial y^n}{\partial x^i}\frac{\partial^2y_n}{\partial x^jx^k} －⑩$$
さらに⑩で、$i$ と $k$ の交換（⑪）、$j$ と $k$ の交換（⑫）を行うと、
$$\frac{\partial g_{kj}}{\partial x^i}=\frac{\partial^2y_n}{\partial x^kx^i}\frac{\partial y^n}{\partial x^j}+\frac{\partial y^n}{\partial x^k}\frac{\partial^2y_n}{\partial x^jx^i} －⑪$$
$$\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}=\frac{\partial^2y_n}{\partial x^ix^j}\frac{\partial y^n}{\partial x^k}+\frac{\partial y^n}{\partial x^i}\frac{\partial^2y_n}{\partial x^kx^j} －⑫$$
⑩＋⑫－⑪を計算すると、微分の順番は交換できるため、
$$\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{kj}}{\partial x^i}=2\frac{\partial y^n}{\partial x^i}\frac{\partial^2y_n}{\partial x^jx^k}$$
左辺第３項の添え字を入れ替え、⑨に代入すると、第１種クリストッフェル記号の形になります。
$$dA_j=A^i(x)\frac{1}{2}\Big(\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{kj}}{\partial x^i}\Big)dx^k$$$$=A^i\Gamma_{ijk}dx^k$$
