【高校数学】数列・ベクトル

/高校数学

数列

等差数列

初項 $a$ 、公差 $d$ 、末項 $b$ のとき、

  • 一般項 $a_n$:
    $$a_n=a+(n-1)b$$
  • 等差の中項:$a,b,c$ が等差数列であれば、$2b=a+c$
  • $n$ 項までの和 $S_n$($=a_n+S_{n-1}$):
    $$S_n=\frac{1}{2}n(a+b)=\frac{1}{2}n\Big(2a+(n-1)d\Big)$$

等比数列

初項 $a$ 、公差 $d$ のとき、

  • 一般項 $a_n$:
    $$a_n=ar^{n-1}$$
  • 等比の中項:$a,b,c$ が等差数列であれば、$b^2=ac$
  • $n$ 項までの和 $S_n$($=a_n+S_{n-1}$):
    $$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

数列の公式

$p,q$ が $k$ に無関係な定数とすると、

$$\sum_{k=1}^n(pa_k+qb_n)=p\sum_{k=1}^na_k+q\sum_{k=1}^nb_n$$

累乗の和は以下で表されます。

$$\sum_{k=1}^nc=nc  ,  \sum_{k=1}^n1=n$$$$\sum_{k=1}^nk=\frac{1}{2}n(n+1)$$$$\sum_{k=1}^nk^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$$$\sum_{k=1}^nk^3=\Big(\frac{1}{2}n(n+1)\Big)^2$$

階差数列

数列 $a_n$ の階差数列を $b_n$($b_n=a_{n+1}-a_n$)とすると、

$$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_n  (n\ge2)$$

数学的帰納法

ある自然数 $n$ に関する命題が、全ての自然数に対して成り立つことを証明するには、以下の2つのことを示せばよい。

  1. $n=1$ のときに成り立つ。
  2. $n=k$ のときに成り立つとき、$n=k+1$ のときも成り立つ。

ベクトル

ベクトルの計算

ベクトルには以下の関係が成り立ちます。

  • ベクトルの平行条件:
    2つのベクトル $\vec{a},\vec{b}$ が平行($\vec{a}\parallel\vec{b}$)であるならば、
    $\vec{a}=k\vec{b}$ となる実数が存在する。
  • ベクトルの分解:
    2つのベクトル $\vec{a},\vec{b}$ が平行でないならば、
    任意のベクトルは $\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}$ で表されます( $s,t$ は実数)

ベクトルの成分

2つのベクトル $\vec{a}=(a_1,a_2)$ 、$\vec{b}=(b_1,b_2)$ について、

  • ベクトルの大きさ:
    $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$
  • 成分による演算:
    $\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2)$ 、$k$ が実数の場合、$k\vec{a}=(ka_1,ka_2)$

2つの点 $A(a_1,a_2)$ 、$B(b_1,b_2)$ について、

  • ベクトルの表記:
    $\overrightarrow{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2)$
  • ベクトルの大きさ
    $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}$

内積

2つのベクトル $\vec{a}=(a_1,a_2)$ 、$\vec{b}=(b_1,b_2)$ の内積は以下になります。

  • 内積の定義:
    $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta}=a_1b_1+a_2b_2$
  • 内積の性質:
    $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$ 、$\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$ 、$\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}$
  • 垂直条件:
    2つのベクトルが垂直($\vec{a}\perp\vec{b}$)ならば、$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$($a_1b_1+a_2b_2=0$)

位置ベクトル

3点 $A(\vec{a})$ 、$B(\vec{b})$ 、$C(\vec{c})$ について、

  • 内分点:
    線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点 $C$ の位置ベクトルは、
    $$\vec{c}=\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$$
  • 外分点:
    線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点 $C$ の位置ベクトルは、
    $$\vec{c}=\frac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}$$
  • 3点が一直線上にある条件は、
    $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$ となる実数 $k$ が存在する。

三角形の面積

三角形 $OAB$ の面積 $S$ は、$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ 、$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ とすると、

$$S=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}$$

ベクトル方程式

点 $A(\vec{a})$ 、$B(\vec{b})$ について、

  • 点 $A$ を通り、$\vec{u}$ に平行な直線の方程式:
    $\vec{p}=\vec{a}+t\vec{u}$
  • 2点 $A,B$ を通る直線の方程式:
    $\vec{p}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}$
  • 点 $A$ を通り、$\vec{u}$ に平行な直線の方程式:
    $\vec{u}\cdot(\vec{p}-\vec{a})=0$
  • 中心 $C(\vec{c})$ 、半径 $r$ の円の方程式:
    $|\vec{p}-\vec{c}|=r$

三角形 $ABC$ に対して、$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ のときの点の存在範囲は、

  • $s+t=1$ ならば、直線 $AB$
  • $s+t=1$ 、$s\ge0$ 、$t\ge0$ ならば、線分 $AB$
  • $0\le s+t\le1$ 、$s\ge0$ 、$t\ge0$ ならば、三角形 $OAB$ の周と内部
  • $0\le s\le1$ 、$0\le t\le1$ ならは、平行四辺形 $OABC$ の周と内部

 

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