スピン角運動量
スピン角運動量は、電子の自転に相当し、原子のスペクトル線（エネルギー準位）が２重になることから仮説として提唱されました。スピン角運動量については、軌道角運動量からの類推で考えます。
軌道角運動量と同様、スピン角運動量の２乗（$s^2$）の固有値は $s(s+1)\hbar$ であると考えられますが、この場合、スピン角運動量の $z$ 成分（$s_z$）の固有値は、$s\hbar,(s-1)\hbar,\cdots,-s\hbar$ の $2s+1$ 個存在することになります。
しかし、エネルギー準位は２つしかないため、$2s+1=2$、つまり $s=1/2$ として演算子を導入します。その場合、軌道角運動量の磁気量子数に当るスピン磁気量子数（$m_s$）は、$\pm1/2$ の２つの値を持つことになります。
以下、２つのエネルギー準位を $\alpha,\beta$（$=Y_{1/2}^{\pm1/2}$）と書くことにします。
スピン角運動量の大きさの２乗
スピン角運動量の大きさの２乗の固有値は、$s=1/2$ より以下になります。
$$s^2\alpha=s(s+1)\hbar^2\alpha=\frac{3}{4}\hbar^2\alpha , s^2\beta=\frac{3}{4}\hbar^2\beta$$
これを行列表示すると以下になります。
$$s^2\left(\begin{array}{cc} \alpha \\ \beta \end{array}\right)=\frac{3}{4}\hbar^2
\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\
0 & 1 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} \alpha \\ \beta \end{array}\right)$$
スピン角運動量の $z$ 成分
スピン角運動量の $z$ 成分の固有値は $\pm 1/2$ になります。
$$s_z\alpha=\frac{1}{2}\hbar\alpha , s_z\beta=-\frac{1}{2}\hbar\beta$$
これを行列表示すると以下になります。
$$s_z\left(\begin{array}{cc} \alpha \\ \beta \end{array}\right)=\frac{\hbar}{2}
\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\
0 & -1 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} \alpha \\ \beta \end{array}\right)$$
スピンの状態を変える演算子
$s_\pm=s_x\pm s_y$ で定義すると、固有値は以下になります。
$$s_+\left(\begin{array}{cc} \alpha \\ \beta \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc} 0 & \hbar \\
0 & 0 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} \alpha \\ \beta \end{array}\right)$$
$$s_-\left(\begin{array}{cc} \alpha \\ \beta \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\
\hbar & 0 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} \alpha \\ \beta \end{array}\right)$$
これは、軌道角運動量の式
$$l_\pm Y_l^m=\hbar\sqrt{(l\mp m)(l\pm m+1)}Y_l^{m\pm1}$$
からの類推で、以下になることから分かります。
$$s_+\beta(Y_{1/2}^{-1/2})=\hbar\sqrt{(1/2+1/2)(1/2-1/2+1)}Y_{1/2}^{-1/2+1}=\hbar\alpha$$
$$s_-\alpha(Y_{1/2}^{1/2})=\hbar\sqrt{(1/2-1/2)(1/2+1/2+1)}Y_{1/2}^{1/2-1}=\hbar\beta$$
演算子の交換関係
$s_\pm$ については、行列表示を使うと、以下の交換関係が成り立つことが分かります。これは、軌道角運動量の場合と同じ形になります。
$$[s_+,s_-]=s_+s_- -s_-s_+=2\hbar s_z$$
また、$s_x,s_y$ については、
$$s_x=\frac{1}{2}(s_++s_-)=\frac{\hbar}{2}
\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\
1 & 0 \end{array}\right)$$
$$s_y=\frac{1}{2i}(s_+-s_-)=\frac{\hbar}{2}
\left(\begin{array}{cc} 0 & -i \\
i & 0 \end{array}\right)$$
であるから、以下の交換関係が成り立つことが分かります。
$$[s_x,s_y]=s_xs_y -s_ys_x=i\hbar s_z$$
$$[s_y,s_z]=s_ys_z -s_zs_y=i\hbar s_x$$
$$[s_z,s_x]=s_zs_x -s_xs_z=i\hbar s_y$$
パウリ行列
パウリ行列を次で定義すると、
$$\sigma_x=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\
1 & 0 \end{array}\right) ,
\sigma_y=\left(\begin{array}{cc} 0 & -i \\
i & 0 \end{array}\right) ,
\sigma_z=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\
0 & -1 \end{array}\right)$$
スピン角運動量は以下で表すことができます。
$${\bf s}=\frac{\hbar}{2}{\bf\sigma}$$
このパウリ行列は、次のような特徴があり、
- エルミート行列である。
$$\sigma_x^\dagger=\sigma_x , \sigma_y^\dagger=\sigma_y , \sigma_z^\dagger=\sigma_z$$ - 行列式が－１である。
$$\det{\sigma_x}=\det{\sigma_y}=\det{\sigma_z}=-1$$ - 対角和が０である。
$$\mathrm{tr}{\sigma_x}=\mathrm{tr}{\sigma_y}=\mathrm{tr}{\sigma_z}=0$$
以下の交換関係が成り立つことが分かります。
$$[\sigma_x,\sigma_y]=2i\sigma_z , [\sigma_y,\sigma_z]=2i\sigma_x , [\sigma_z,\sigma_x]=2i\sigma_y$$
