ルジャンドル多項式とは

/解析学

ルジャンドル多項式は、ルジャンドル方程式の特解として得られます。

ルジャンドル方程式の特解

ルジャンドル方程式は以下で表され、

$$\frac{d}{dx}\Big((1-x^2)\frac{dy}{dx}\Big)+n(n+1)y=0  -①$$

ルジャンドル多項式は、以下のように定義されます。

$$P_n(x)=\frac{(2n-1)!!}{n!}\Big(x^n-\frac{n(n-1)}{2(2n-1)}x^{n-2}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot4(2n-1)(2n-3)}x^{n-4}-\cdots\Big)$$$$=\sum_{k=0}^m\frac{(-1)^k(2n-2k-1)!!}{(2k)!!(n-2k)!}x^{n-2k}  -②$$

$$m=\left\{\begin{array}{ll}
n/2 & (n:\mbox{偶数}) \\
(n-1)/2 & (n:\mbox{奇数})\end{array} \right.$$

②を導く

以下の多項式を、

$$y=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_kx^k+\cdots  -(1)$$

両辺を微分して $(1-x^2)$ を掛けると、

$$(1-x^2)y’=a_1+2a_2x+(3a_3-a_1)x^2+$$$$\cdots+\Big((k+1)a_{k+1}-(k-1)a_{k-1}\Big)x^k+\dots$$

これらを①に代入すると、

$$\Big(2a_2+n(n+1)a_0\Big)+\Big(2(3a_3-a_1)+n(n+1)a_1\Big)x+\cdots$$$$+\Big((k+1)(k+2)a_{k+2}-k(k+1)a_k+n(n+1)a_k\Big)x^k+\cdots=0$$

この各項の係数を0と置けば、

$$a_2=-\frac{n(n+1)}{2}a_0$$$$a_3=-\frac{(n+2)(n-1)}{3\cdot2}a_1$$$$\cdots$$$$a_{k-2}=-\frac{(n+k-3)(n-k+4)}{(k-2)(k-3)}a_{k-4}  -(2)$$$$a_k=-\frac{(n+k-1)(n-k+2)}{k(k-1)}a_{k-2}  -(3)$$$$a_{k+2}=-\frac{(n+k+1)(n-k)}{(k+2)(k+1)}a_k  -(4)$$

(4)より $k=n$ と置くと $a_{n+2}=0$ となることから、最高次の項は $a_n$ となります。(2) と (3) より、

$$a_k=\frac{(n+k-1)(n-k+2)(n+k-3)(n-k+4)}{k(k-1)(k-2)(k-2)}a_{k-4}  -(5)$$

(3) と (5) で $k=n$ と置くと、

$$a_n=-\frac{2(2n-1)}{n(n-1)}a_{n-2}$$$$a_n=\frac{2\cdot4(2n-1)(2n-3)}{n(n-1)(n-2)(n-3)}a_{n-4}$$

ここで $a_n$ を以下で定義すると、

$$a_n\equiv\frac{(2n-1)!!}{n!}$$

これらより (1) は以下で表され、②と一致することが分かります。

$$y=\frac{(2n-1)!!}{n!}\Big(x^n-\frac{n(n-1)}{2(2n-1)}x^{n-2}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot4(2n-1)(2n-3)}x^{n-4}-\cdots\Big)$$

ルジャンドル多項式の母関数

ルジャンドル多項式は、母関数 $(1-2tx+t^2)^{-1/2}$ の展開係数として以下のように定義することができます。

$$\frac{1}{\sqrt{1-2tx+t^2}}=P_0(x)+tP_1(x)+t^2P_2(x)+\cdots  -③$$

③を導く

$|x|\lt1$ として次の二項定理を使うと、

$$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\cdots$$

これを③の左辺に適用し、係数を書き換えると、

$$\Big(1-t(2x-t)\Big)^{-1/2}$$$$=1+\frac{1}{2}t(2x-t)+\frac{3}{8}t^2(2x-t)^2+\frac{5}{16}t^3(2x-t)^3+\cdots$$$$=1+\frac{1}{2}t(2x-t)+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}t^2(2x-t)^2+\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}t^3(2x-t)^3+\cdots$$$$=\sum_{r=0}^\infty\frac{(2r-1)!!}{(2r)!!}t^r(2x-t)^r$$

次に、この右辺で $t^k$ の項が存在するのは、$m=k,k-1,k-2,\cdots$ の項であるから、

$$(2x-t)^k=(2x)^k-k(2x)^{k-1}t+\frac{k(k-1)}{2}(2x)^{k-2}t^2+\cdots$$

を使い、$t^k$ の項をまとめると、

$$\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}(2x)^kt^k-\frac{(2k-3)!!}{(2k-2)!!}(k-1)(2x)^{k-2}t^k$$$$+\frac{(2k-5)!!}{(2k-4)!!}\frac{(k-2)(k-3)}{2}(2x)^{k-4}t^k+\cdots$$$$=\frac{(2k-1)!!}{k!}\Big(x^k-\frac{k(k-1)}{2(2k-1)}x^{k-2}+\frac{k(k-1)(k-2)(k-3)}{(2k-1)(2k-3)2\cdot2^2}x^{k-4}+\cdots\Big)t^k$$

これは②と一致するため、③が成立つことが分かります。

ロドリゲスの公式

ルジャンドル多項式はロドリゲスの公式により表すことができます。

$$P_n(x)=\frac{1}{(2n)!!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n  -④$$

④を導く

ロドリゲスの公式を導くため、次の展開式を使います。

$$(x^2-1)^n=x^{2n}-nx^{2n-2}+\frac{n(n-1)}{2!}x^{2n-4}-\cdots$$

これに対し $n$ 回微分を繰返すと、

$$\frac{d}{dx}(x^2-1)^n=2nx^{2n-1}-n(2n-2)x^{2n-3}+\frac{n(n-1)(2n-4)}{2!}x^{2n-5}-\cdots$$$$\cdots$$$$\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n=\frac{(2n)!}{n!}x^n-\frac{n(2n-2)!}{(n-2)!}x^{n-2}+\frac{n(n-1)(2n-4)!}{2!(n-4)!}x^{n-4}-\cdots$$

これを④の右辺に代入すると、

$$\frac{1}{(2n)!!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$$$$=\frac{(2n)!}{n!(2n)!!}x^n-\frac{n(2n-2)!}{(n-2)!(2n)!!}x^{n-2}+\frac{n(n-1)(2n-4)!}{2!(n-4)!(2n)!!}x^{n-4}-\cdots$$$$=\frac{(2n-1)!!}{n!}\Big(x^n-\frac{n(n-1)}{2(2n-1)}x^{n-2}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot4(2n-1)(2n-3)}x^{n-4}-\cdots\Big)$$

これより①が導かれることが分かります。

ルジャンドル多項式の直交性

ルジャンドル多項式は以下のような直交性をもちます。

$$\int_{-1}^1P_m(x)P_n(x)dx=0  (m\ne n)$$

$P_m(x)$ は $m$ 次の多項式であるから、直交性は次の式が成り立つことから分かります。

$$\int_{-1}^1x^mP_n(x)dx=\left\{\begin{array}{ll}
0 & (n\gt m\ge0 \mathrm{or} m-n=\mbox{奇数})-⑤ \\
\frac{2\cdot m!}{(m-n)!!(m+n+1)!!} & (m-n=0 \mathrm{or} \mbox{偶数}) -⑥\end{array} \right.$$

⑤⑥を導く

ロドリゲスの公式④を⑤の左辺に代入して部分積分を行うと、定積分は0になるため、

$$\int_{-1}^1x^m\Big(\frac{d}{dx}\Big)^n(x^2-1)^ndx$$$$=\left[x^m\Big(\frac{d}{dx}\Big)^{n-1}(x^2-1)^n\right]_{-1}^1-m\int_{-1}^1x^{m-1}\Big(\frac{d}{dx}\Big)^{n-1}(x^2-1)^ndx$$$$=-m\int_{-1}^1x^{m-1}\Big(\frac{d}{dx}\Big)^{n-1}(x^2-1)^ndx$$

これを $k$ 回繰返すと、

$$(2n)!!\int_{-1}^1x^mP_n(x)dx=\frac{(-1)^km!}{(m-k)!}\int_{-1}^1x^{m-k}\Big(\frac{d}{dx}\Big)^{n-k}(x^2-1)^ndx$$

$n\gt m$ のとき $k=m$ と置くと、

$$(2n)!!\int_{-1}^1x^mP_n(x)dx=(-1)^mm!\int_{-1}^1\Big(\frac{d}{dx}\Big)^{n-m}(x^2-1)^ndx$$$$=(-1)^mm!\left[\Big(\frac{d}{dx}\Big)^{n-m-1}(x^2-1)^n\right]_{-1}^1=0$$

$m\gt n$ のとき $k=n$ と置くと、

$$(2n)!!\int_{-1}^1x^mP_n(x)dx=\frac{(-1)^nm!}{(m-n)!}\int_{-1}^1x^{m-n}(x^2-1)^ndx  -(6)$$

$p$ と $q$ を0または正の整数とし、部分積分を $q$ 回繰返すと、

$$\int_{-1}^1x^p(x^2-1)^qdx$$$$=\left[\frac{x^{p+1}}{p+1}(x^2-1)^q\right]_{-1}^1-\int_{-1}^1\frac{x^{p+1}}{p+1}\cdot2qx(x^2-1)^{q-1}dx$$$$=-\frac{2q}{p+1}\int_{-1}^1x^{p+2}(x^2-1)^{q-1}dx$$$$=(-1)^2\frac{2^2q(q-1)}{(p+1)(p+3)}\int_{-1}^1x^{p+4}(x^2-1)^{q-2}dx$$$$\cdots$$$$=(-1)^q\frac{2^qq!}{(p+1)(p+3)\cdots(p+2q-1)}\int_{-1}^1x^{p+2q}dx$$

右辺の積分を計算すると、

$$\int_{-1}^1x^{p+2q}dx=\left[\frac{x^{p+2q+1}}{p+2q+1}\right]_{-1}^1=\left\{\begin{array}{ll}
0 & (p=\mbox{奇数}) \\
\frac{2}{p+2q+1} & (p=\mbox{偶数})\end{array} \right.$$

従って、

$$\int_{-1}^1x^p(x^2-1)^qdx=(-1)^q\frac{2^{q+1}q!}{(p+1)(p+3)\cdots(p+2q+1)}$$

$$=(-1)^q\frac{2(2q)!!(p-1)!!}{(p+2q+1)!!}$$

ここで $p=m-n$ 、$q=n$ と置くと (6) は、

$$(2n)!!\int_{-1}^1x^mP_n(x)dx=\frac{(-1)^nm!}{(m-n)!}\cdot(-1)^n\frac{2(2n)!!(m-n-1)!!}{(m+n+1)!!}$$

さらに $(m-n)!=(m-n)!!(m-n-1)!!$ であるから、

$$\int_{-1}^1x^mP_n(x)dx=\frac{2m!}{(m-n)!!(m+n+1)!!}$$

以上より、⑥が導かれることが分かります。

 

数学
解析学、代数学、幾何学、統計分析、数学基礎、高校数学
散策路TOP
古典物理、量子力学、物性論、数学、応用数学、力学、電磁気学、相対論、熱・統計力学、解析学、代数学、幾何学、統計分析、情報

 

タイトルとURLをコピーしました