命題論理
命題論理（Propositional Logic）とは、正しいか間違いか（真か偽か）などの明確に判定できる主張（命題）を最小単位として扱い、それらを論理記号でつなぐことで文や推論の正しさを分析する数学の分野です。
命題（Proposition）とは、「真（True/１）」または「偽（False/０）」のどちらか一方のみの値をとる主張で、「1 + 1 = 2」（真）などです。命題変数とは、命題全体を「$P$」や「$Q$」などの記号で表したものです。
論理記号（論理演算子）
| 記号 | 名称 | 意味 | 成立する条件 |
| $\neg P$ | 否定 (NOT) | $P$ ではない | $P$ が偽のときに真 |
| $P \land Q$ | 論理積 (AND) | $P$ かつ $Q$ | $P$ と $Q$ の両方が真のときに真 |
| $P \lor Q$ | 論理和 (OR) | $P$ または $Q$ | $P$ と $Q$ の少なくとも一方が真のときに真 |
| $P \to Q$ | 含意 | $P$ ならば $Q$ | $P$ が真で $Q$ が偽のときのみ偽 |
| $P \leftrightarrow Q$ | 同値 | $P$ と $Q$ は等しい | $P$ と $Q$ の真偽が一致するときに真 |
応用と現代での役割
- コンピュータの回路設計：
０（偽）と１（真）を扱うブール代数の基礎となり、論理回路（AND/OR/NOT）に応用されます。 - プログラミング：
条件分岐の判定ロジックとして使用されます。 - 対述・推論の形式化：
弁論や数学の証明において、文の構造だけを抽出して推論の妥当性を確かめるために使用されます。
論理法則
命題論理の論理法則とは、どのような真偽の組み合わせであっても、左右の式の真理値が常に一致する等価関係（$\equiv$）をまとめた基本規則です。
基本的な論理法則
| 法則名 | 数式表記 | 概要・説明 |
| 二重否定の法則 | $\neg(\neg P) \equiv P$ | 「否定の否定」は元の命題に戻る |
| 交換法則 |
$P \land Q \equiv Q \land P$ |
論理積と論理和の順序は入れ替え可能 |
| 結合法則 |
$(P \land Q) \land R \equiv P \land (Q \land R)$ |
同じ演算子同士の組み合わせは括弧の位置を変えてもよい |
| 分配法則 |
$P \land (Q \lor R) \equiv (P \land Q) \lor (P \land R)$ |
演算子 $\land$ と $\lor$ は掛け算のように展開・共通因数括出しが可能 |
| ド・モルガンの法則 |
$\neg(P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q$ |
括弧の外の否定を中に入れると、$\land$ と $\lor$ が反転する |
| 吸収法則 |
$P \land (P \lor Q) \equiv P$ |
式の一部が全体を吸収して簡略化される |
| 同一法則 （べき等律） |
$P \land P \equiv P$ |
同じ命題を重ねて演算しても結果は変わらない |
変換法則（含意と対偶）
プログラミングや数学で使用頻度が高いのが、「ならば」（$\to$）の変換法則です。
- 含意の定義：$P \to Q \equiv \neg P \lor Q$
「$P$ ならば $Q$」は「$P$ でない、または $Q$ である」と同義です。 - 対偶の法則：$P \to Q \equiv \neg Q \to \neg P$
「$P$ ならば $Q$」の証明が難しい場合、その対偶である「$Q$ でないなら $P$ でない」を証明することで代用できます。
ヒルベルト公理系
命題論理におけるヒルベルトの公理系（Hilbert-style Axiom System）は、最小限の公理と単一の推論規則のみから、命題論理のすべての正しい定理を機械的・厳密に導出（証明）できるように設計された形式的体系です。
基本の構成要素
一般的なヒルベルト系の命題論理では、記号の種類を絞るために演算子として否定（$\neg$）と含意（$\to$）のみを基本要素（素記号）とし、他の論理演算子（$\land, \lor$）は定義によって導出します。
- 基本演算子：
$\to$（含意）、$\neg$（否定） - 派生定義：
$A \lor B \equiv (\neg A) \to B$
$A \land B \equiv \neg(A \to \neg B)$
ルカシェヴィチの公理系
命題論理の標準的なヒルベルト系では、ルカシェヴィチ（Lukasiewicz）の３つの公理スキームが用いられます。
- 自己含意・導入の公理：
直観的意味：$A$ が真ならば、$B$ が何であれ「$B$ ならば $A$」は真である（前提を追加しても真理値が変わらない）。$$A \to (B \to A)$$ - 分配の公理：
直観的意味： 含意の分配法則。$A$ のもとで $B$ から $C$ が従うなら、「$A$ ならば $B$」から「$A$ ならば $C$」が従う。$$(A \to (B \to C)) \to ((A \to B) \to (A \to C))$$ - 二重否定・対偶の公理：
直観的意味： 背理法・対偶に相当。「$B$ でないならば $A$ でない」ならば、「$A$ ならば $B$」である」。$$(\neg B \to \neg A) \to (A \to B)$$
推論規則：三段論法（Modus Ponens）
ヒルベルト系におけるの基本的な推論規則は肯定前件式（MP、Modus Ponens）です。
$$\frac{A \quad A \to B}{B}$$
既に証明された式（または公理）として $A$ と $A \to B$ の 2 つが存在するとき、そこから $B$ を新たな定理として書き出してよいことを表します。
ヒルベルト系のメタ論理的性質
ヒルベルト系が命題論理の体系として完結していることは、以下の定理によって裏付けられています。
- 健全性（Soundness）：
公理系から証明できる命題は、真理値表で必ず常に真（トートロジー）になる。 - 完全性（Completeness）：
真理値表で常に真（トートロジー）である命題は、この公理系から必ず証明できる。 - 演繹定理（Deduction Theorem）：
仮定 $A$ のもとで $B$ が導出できることと、仮定なしで $A\to B$ が証明できることは同値である。
背理法
背理法（Reductio ad Absurdum）とは、証明したい命題の「否定」をあらかじめ仮定し、その仮定のもとで矛盾を導き出すことで、最初の仮定が誤りであった（命題が真である）と結論付ける証明手法です。
背理法の基本的な手順
- 否定を仮定する：
証明したい命題 $P$ の否定である $\neg P$（$P$ ではない） を仮定として立てる。 - 論理展開を行う：
$\neg P$ を出発点として、命題論理の公理や既知の推論規則に従って式を展開する。 - 矛盾を導く：
ある命題 $Q$ とその否定 $\neg Q$ が同時に成り立つ状態（$Q \land \neg Q$ ＝矛盾・偽）を導き出す。 - 結論づける：
矛盾が生じた原因は仮定 $\neg P$ が誤っていたためとし、$P$ が真であると判定する。
命題論理の公式における背理法
背理法が理論的に正しいことは、次の論理的同値（トートロジー）によって支えられています。
$$(\neg P \to (Q \land \neg Q)) \to P$$
または、含意の性質を用いた以下の形式で表されます。これは、$P$ でないという仮定から矛盾（偽）が導かれるならば、$P$ は真であるをいみします。
$$(\neg P \to \text{False}) \to P$$
