共形場理論とは

共形場理論

共形場理論（Conformal Field Theory: CFT）とは、スケール変換（拡大・縮小）や角度を保つ座標変換（共形変換）に対して構造が変わらない（不変である）場の量子論です。

共形不変性

共形不変性（Conformal Invariant）とは、理論（作用）が共形変換（またはワイル変換）を施しても形を変えない性質です。物理法則や場の方程式が、スケールを変更しても不変（対称）であることを表します。

一般的な場の量子論（QFT）では、粒子には質量という特徴的な長さのスケールが存在しませんが、理論が共形不変である場合、特徴的な長さのスケールが存在しません。これは物理的に次の２つの極限的な状況で現れます。

1. 極高エネルギー（短距離）の極限：
   粒子の質量がエネルギーに比べて無視できるほど小さくなり、すべての粒子が実質的に質量ゼロとして振る舞う領域。
2. 臨界現象（相遷移点）：
   物質が相遷移を起こす臨界点（例：磁石が磁性を失う温度）では、ゆらぎの相関距離が無限大になり、ミクロな構造とマクロな構造が自他相似（フラクタル構造）になります。

共形変換

共形変換（Conformal Transformation）とは、角度（局所的な形）を保ちつつ、座標の平行移動、および、距離（スケール）を縮小・拡大・歪ませる空間座標の変換です。平坦な空間では「平行移動・回転・拡大縮小（スケール変換）・特殊共形変換」で構成されます。

座標変換 $x^\mu \to x’^\mu(x)$ に対し、計量テンソル $g_{\mu\nu}(x)$ のテンソルとしての変換則は以下のように与えられます。

$$g’_{\mu\nu}(x’) = \frac{\partial x^\alpha}{\partial x’^\mu} \frac{\partial x^\beta}{\partial x’^\nu} g_{\alpha\beta}(x)　　-①$$

この座標変換が共形変換であるとは、ある正の局所スケール因子 $\Omega(x) > 0$ が存在して、次を満たすことです。

$$g’_{\mu\nu}(x’) = \Omega^2(x) g_{\mu\nu}(x)　　-②$$

これら2つの式をあわせると、共形変換の定義式が得られます。

$$\frac{\partial x^\alpha}{\partial x’^\mu} \frac{\partial x^\beta}{\partial x’^\nu} g_{\alpha\beta}(x) = \Omega^2(x) g_{\mu\nu}(x)　　-③$$

等角変換

２つの空間のベクトル $u^\mu$ と $v^\nu$ のなす角 $\theta$ は、計量テンソル $g_{\mu\nu}$ を用いて次のように定義されます。

$$\cos\theta = \frac{\langle u, v \rangle}{\vert{}u\vert{} \vert{}v\vert{}} = \frac{g_{\mu\nu} u^\mu v^\nu}{\sqrt{(g_{\alpha\beta} u^\alpha u^\beta) (g_{\gamma\delta} v^\gamma v^\delta)}}　　-④$$

共形変換では座標が $x \to x’$ と動くため、ベクトルもヤコビアン $J^\mu{}_\rho$ を使って $u’^\mu = J^\mu{}_\rho u^\rho$ と変換します。計量テンソルの共形変換の定義式は以下になります。

$$J^\mu{}_\rho = \frac{\partial x’^\mu}{\partial x^\rho}　　-⑤$$$$J^\mu{}_\rho J^\nu{}_\sigma g_{\mu\nu}(x’) = \Omega^2(x) g_{\rho\sigma}(x)$$

これを使って、変換後の分子（内積）を計算すると、

$$\langle u’, v’ \rangle’=g_{\mu\nu}(x’) u’^\mu v’^\nu = g_{\mu\nu}(x’) (J^\mu{}_\rho u^\rho) (J^\nu{}_\sigma v^\sigma) $$$$= \left( J^\mu{}_\rho J^\nu{}_\sigma g_{\mu\nu}(x’) \right) u^\rho v^\sigma = \mathbf{\Omega^2(x)} g_{\rho\sigma}(x) u^\rho v^\sigma$$

同様に、変換後の分母（長さの積）を計算すると、

$$\vert{}u’\vert{}’ = \sqrt{\Omega^2(x) g_{\rho\sigma}(x) u^\rho u^\sigma} = \mathbf{\Omega(x)} \vert{}u\vert{}$$

従って、共形変換において、角度が保たれます。

$$\cos\theta’ = \frac{\langle u’, v’ \rangle’}{\vert{}u’\vert{}’ \vert{}v’\vert{}’} = \frac{\mathbf{\Omega^2(x)} \langle u, v \rangle}{\mathbf{\Omega(x)} \vert{}u\vert{} \cdot \mathbf{\Omega(x)} \vert{}v\vert{}} = \frac{\langle u, v \rangle}{\vert{}u\vert{} \vert{}v\vert{}} = \cos\theta$$

ワイル変換

ワイル変換（Weyl Transformation）とは、座標系 $x^\mu$ はそのまま固定し、場としての計量テンソル $g_{\mu\nu}(x)$ 自体を局所的に書き換える操作（ゲージ変換）です。

座標 $x^\mu$ を一切変化させず（$x’^\mu = x^\mu$）、各点 $x$ における計量テンソル $g_{\mu\nu}(x)$ を、任意の滑らかな関数 $\omega(x)$ を用いて次のように置き換えます。

$$g_{\mu\nu}(x) \longrightarrow g’_{\mu\nu}(x) = e^{2\omega(x)} g_{\mu\nu}(x)　　-⑥$$

または、スケール因子 $\Omega(x) = e^{\omega(x)}$ を用いて以下のように書くことができます。

$$g’_{\mu\nu}(x) = \Omega^2(x) g_{\mu\nu}(x)　　-⑦$$

共形変換との相違点

共形変換は空間の点（座標）を動かす変換ですが、ワイル変換は座標は動かさず、場（計量）のスケールを変える手で施す変換です。

等角変換

④より変換後の $\cos\theta’$ を計算すると、

$$\cos\theta’ =\frac{g_{\mu\nu}’ u^\mu v^\nu}{\sqrt{(g_{\alpha\beta}’ u^\alpha u^\beta) (g_{\gamma\delta}’ v^\gamma v^\delta)}} =\frac{\mathbf{\Omega^2(x)} g_{\mu\nu} u^\mu v^\nu}{\sqrt{\mathbf{\Omega^4(x)} (g_{\alpha\beta} u^\alpha u^\beta) (g_{\gamma\delta} v^\gamma v^\delta)}}$$$$= \frac{g_{\mu\nu} u^\mu v^\nu}{\sqrt{(g_{\alpha\beta} u^\alpha u^\beta) (g_{\gamma\delta} v^\gamma v^\delta)}} = \cos\theta$$

このように、$\cos\theta’ = \cos\theta$、すなわち $\theta’ = \theta$ となります。

変換の等価性

弦理論の作用（ポリヤコフ作用など）は、次の２つの基本的な幾何学的変換に対する不変性を持っています。

• • 微分同相不変性（一般座標変換不変性 / Diffeomorphism Invariance）
  • ワイル不変性（局所スケール不変性 / Weyl Invariance）

この２つの変換を組み合わせることで、座標を動かす共形変換の効果を、座標は動かさず計量を変えるワイル変換に置き換えることができます。ここで、２次元世界面上のスカラー場（弦の空間位置）を $X^A(\sigma)$、世界面計量を $g_{\alpha\beta}(\sigma)$ とします。

ステップ １：共形変換（微分同相写像）を施す

座標変換 $\sigma \to \sigma'(\sigma)$ を行います。一般の場や計量の微分同相変換を $\text{Diff}_\sigma$ と書くと、場および計量は次のように変化します。

$$X’^A(\sigma’) = X^A(\sigma) \quad \implies \quad X’^A(\sigma) = X^A(\sigma’^{-1}(\sigma))$$$$g’_{\alpha\beta}(\sigma’) = \frac{\partial \sigma^\gamma}{\partial \sigma’^\alpha} \frac{\partial \sigma^\delta}{\partial \sigma’^\beta} g_{\gamma\delta}(\sigma)$$

この座標変換が共形変換であるとは、計量の変化が全体のスケール因子 $\Omega^2(\sigma)$ の乗算のみで書ける特別な変換であることを意味します。

$$g’_{\alpha\beta}(\sigma’) = \Omega^{-2}(\sigma’) g_{\alpha\beta}(\sigma’) $$$$\quad \left(\text{または } \frac{\partial \sigma’^\alpha}{\partial \sigma^\gamma} \frac{\partial \sigma’^\beta}{\partial \sigma^\delta} g’_{\alpha\beta}(\sigma’) = \Omega^2(\sigma) g_{\gamma\delta}(\sigma) \right)$$

この座標変換を施した後の新しい場と計量を、同じ座標パラメータ $\sigma$ のもとで表します。

• • 新計量：$\tilde{g}_{\alpha\beta}(\sigma) = \Omega^{-2}(\sigma) g_{\alpha\beta}(\sigma)$
  • 新スカラー場：$\tilde{X}^A(\sigma) = X^A(\sigma’)$（座標の移動に伴う場のシフト）

微分同相不変性より、理論の作用 $S[X, g]$ はこの変換で値を引き継ぎます。

$$S[X, g] = S[\tilde{X}, \tilde{g}]$$

ステップ 2：ワイル変換を施す（戻し）

ステップ１で得られた計量 $\tilde{g}_{\alpha\beta}(\sigma)$ に対して、ワイル変換 $\text{Weyl}_\Omega$（座標 $\sigma$ は固定したまま計量だけを局所変化）を施します。ワイル変換は計量を $\Omega^2(\sigma)$ 倍します。

$$\tilde{g}_{\alpha\beta}(\sigma) \longrightarrow g_{\alpha\beta}'(\sigma) = \Omega^2(\sigma) \tilde{g}_{\alpha\beta}(\sigma) = \Omega^2(\sigma) \left( \Omega^{-2}(\sigma) g_{\alpha\beta}(\sigma) \right) = g_{\alpha\beta}(\sigma)$$

このように、ワイル変換により、計量 $g_{\alpha\beta}$ が元の計量に戻されています。弦理論はワイル不変であるため、作用は不変に保たれます。

$$S[X, \Omega^2 g] = S[X, g]$$

ステップ 3：合成変換の確認

座標系の共形変換（Diff）を行うと、計量と場の両方が変化します。しかし、理論がワイル不変性を持っているため、計量に生じたスケール因子の変化をワイル変換（Weyl）によって後から戻すことができます。

結果として、計量 $g_{\alpha\beta}$ を固定したまま、場 $X^A(\sigma)$ のみの共形変換として再定義されます。

1. 計量 $g_{\alpha\beta}(\sigma)$ の変化：
   $\Longrightarrow$ 計量は完全に固定（不変）$$g_{\alpha\beta}(\sigma) \xrightarrow{\text{Diff}} \Omega^{-2}(\sigma)g_{\alpha\beta}(\sigma) \xrightarrow{\text{Weyl}} g_{\alpha\beta}(\sigma)$$
2. スカラー場 $X^A(\sigma)$ の変化：
   $\Longrightarrow$ 場 $X^A$ のみが座標変換される$$X^A(\sigma) \xrightarrow{\text{Diff}} X^A(\sigma’) \xrightarrow{\text{Weyl}} X^A(\sigma’)$$

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