ポアンカレ代数とは - 理数の散策路

ポアンカレ群
ポアンカレ代数
交換関係

ポアンカレ群

ポアンカレ群（Poincaré group）は、特殊相対性理論における4次元ミンコフスキー時空のすべての連続的な等長変換（距離を保つ変換）を集めた群（リー群）です。非斉次ローレンツ群（Inhomogeneous Lorentz Group）とも呼ばれます。

特殊相対論のミンコフスキー時空では、座標変換

$$ x^\mu \longrightarrow x’^\mu $$

のうち、以下の時空の距離を保つ変換が重要です。ここで $\eta_{\mu\nu}$ はミンコフスキー計量です。

$$ ds^2=\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu $$$$ \eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix} $$

ポアンカレ群の要素による時空座標 $x^\mu$ の変換は、ローレンツ変換 $\Lambda$ と平行移動 $a$ の組み合わせとして表されます。

$$x’^\mu = {\Lambda^\mu}_\nu x^\nu + a^\mu　　-①$$

この変換は、合計 10個の独立した自由度（パラメータ）を持ちます。

時空の平行移動（４自由度）
- 時間移動（1個）：
  時刻を移動する（$t \to t + \Delta t$）
- 空間移動（3個）：
  場所を移動する（$x, y, z \to x+\Delta x, y+\Delta y, z+\Delta z$）
ローレンツ群（６自由度）
- 空間回転（３個）：
  ３次元空間内での回転（$x, y, z$ 軸周り）
- ローレンツ・ブースト（３個）:
  異なる等速直線運動をする観測者への乗り換え（$x, y, z$ 方向の速度変化）

数学構造としては、平行移動の正規部分群とローレンツ群の半直積（Semi-direct product）として表されます。

$$\text{ポアンカレ群} = \mathbb{R}^{1,3} \rtimes O(1,3)$$

ポアンカレ群は連続群（リー群）であるため、その単位元（何もしない変換）の近傍での微小な変化を調べることでポアンカレ代数（リー代数）が得られます。

ポアンカレ代数

ポアンカレ代数（Poincaré algebra）は、特殊相対性理論における時空の対称性（時空の平行移動とローレンツ変換）を記述するポアンカレ群のリー代数（無限小変換の代数）です。

ポアンカレ代数の生成子

ポアンカレ代数は、計量符号 $(+,-,-,-)$ または $(-,+,+,+)$ の4次元ミンコフスキー時空において、10個の生成子によって表現されます。

時空の平行移動の生成子（４個）：$P_\mu=i\partial_\mu　　-②$
- $P_0$：時間移動（エネルギー）
- $P_i$（$i=1,2,3$）：空間移動（運動量）
ローレンツ変換の生成子（６個）：$M_{\mu\nu} = i(x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu)　　-③$
- ３次元空間の回転（角運動量）：$J_i=\epsilon_{ijk}M_{jk}　　-④$
- ローレンツ・ブースト（速度変化）$K_i=M_{0i}　　-⑤$

交換関係

ポアンカレ代数を定義する基本的な交換関係（Lie Bracket）は以下の通りです（自然単位系 $\hbar=1$、ミンコフスキー計量を $\eta_{\mu\nu}$ とします）。

時空の平行移動同士の可換を表す（⑥の導出）。$$[P_\mu, P_\nu] = 0　　-⑥$$
平行移動演算子がローレンツ変換（４元ベクトル）としてどう変換されるかを表す（⑦の導出）。$$[M_{\mu\nu}, P_\rho] =i(\eta_{\nu\rho} P_\mu-\eta_{\mu\rho} P_\nu)　　-⑦$$
ローレンツ群 $SO(1,3)$ 自体のリー代数構造を表す（⑧の導出）。$$[M_{\mu\nu},M_{\rho\sigma}] = i\left( \eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho}-\eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma}-\eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho}+\eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma} \right)　　-⑧$$これより、角運動量 $J_k$ と速度変化 $K_i$ について、⑧より以下の関係が導かれます（⑨の導出）（⑩の導出）（⑪の導出）。

$[J_i,J_j] = i\epsilon_{ijk}J_k　　-⑨$
$[J_i,K_j] = i\epsilon_{ijk}K_k　　-⑩$
$[K_i,K_j] = -i\epsilon_{ijk}J_k　　-⑪$

⑥の導出

定義②より⑥が得られます。

$$ [P_\mu,P_\nu] = [i\partial_\mu,i\partial_\nu]=-\partial_\mu\partial_\nu+\partial_\nu\partial_\mu=0$$

⑦の導出

$$ [M_{\mu\nu},P_\rho] = \big[i(x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu),i\partial_\rho\big]=- [x_\mu\partial_\nu,\partial_\rho]+[x_\nu\partial_\mu,\partial_\rho]$$

この右辺第１項について、$\partial_\rho x_\mu = \eta_{\rho\mu}$ より、

$ [x_\mu\partial_\nu,\partial_\rho] = x_\mu\partial_\nu\partial_\rho-\partial_\rho(x_\mu\partial_\nu)$
$= x_\mu\partial_\nu\partial_\rho-\eta_{\rho\mu}\partial_\nu-x_\mu\partial_\rho\partial_\nu=-\eta_{\mu\rho}\partial_\nu$

同様に、第２項について、

$$ [x_\nu\partial_\mu,\partial_\rho] = -\eta_{\nu\rho}\partial_\mu$$

これらと②により、⑦が得られます。

$$[M_{\mu\nu},P_\rho] =-\eta_{\nu\rho}\partial_\mu+\eta_{\mu\rho}\partial_\nu=i(\eta_{\nu\rho} P_\mu-\eta_{\mu\rho} P_\nu)$$

⑧の導出

⑧の左辺に $M_{\mu\nu} = i(x_\mu \partial_\nu – x_\nu \partial_\mu)$ を代入すると、

$[M_{\mu\nu}, M_{\rho\sigma}]=-\big[(x_\mu \partial_\nu-x_\nu \partial_\mu),(x_\rho \partial_\sigma-x_\sigma \partial_\rho)\big]$
$=-[x_\mu \partial_\nu, x_\rho \partial_\sigma]+[x_\mu \partial_\nu, x_\sigma \partial_\rho]+[x_\nu \partial_\mu, x_\rho \partial_\sigma]-[x_\nu \partial_\mu, x_\sigma \partial_\rho]$

この右辺第１項について、$\partial_\nu x_\rho = \eta_{\nu\rho}$ により、

$[x_\mu \partial_\nu, x_\rho \partial_\sigma]=x_\mu\partial_\nu(x_\rho\partial_\sigma)-x_\rho\partial_\sigma(x_\mu\partial_\nu)$
$=\eta_{\nu\rho}x_\mu\partial_\sigma + x_\mu x_\rho\partial_\nu\partial_\sigma-\eta_{\sigma\mu}x_\rho\partial_\nu-x_\rho x_\mu\partial_\sigma\partial_\nu=\eta_{\nu\rho}x_\mu\partial_\sigma-\eta_{\sigma\mu}x_\rho\partial_\nu$

同様に、

$[x_\mu \partial_\nu, x_\sigma \partial_\rho]=\eta_{\nu\sigma}x_\mu\partial_\rho-\eta_{\rho\mu}x_\sigma\partial_\nu$
$[x_\nu\partial_\mu, x_\rho \partial_\sigma]=\eta_{\mu\rho}x_\nu\partial_\sigma-\eta_{\sigma\nu}x_\rho\partial_\mu$
$[x_\nu\partial_\mu, x_\sigma \partial_\rho]=\eta_{\mu\sigma}x_\nu\partial_\rho-\eta_{\rho\nu}x_\sigma\partial_\mu$

これらを合わせると⑧の右辺が得られます。

$[M_{\mu\nu}, M_{\rho\sigma}]=-\eta_{\mu\sigma}(x_\nu\partial_\rho-x_\rho\partial_\nu)+\eta_{\mu\rho}(x_\nu\partial_\sigma-x_\sigma\partial_\nu)$
$+\eta_{\nu\sigma}(x_\mu\partial_\rho-x_\rho\partial_\mu)-\eta_{\nu\rho}(x_\mu\partial_\sigma-x_\sigma\partial_\mu)$
$= i\left(\eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho}-\eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma}-\eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho}+\eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma} \right)$